等差数列的定义与证明-4.2 等差数列知识点教师选题基础自测题解析-云南省等高二数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['等差数列的定义与证明'， '对数的运算性质']

正确率80.0%下列数列中，不是等差数列的是（）

A.$$1， ~ 4， ~ 7， ~ 1 0$$

B.$$\mathrm{l g 2，} ~ ~ \mathrm{l g 4，} ~ ~ \mathrm{l g 8，} ~ ~ \mathrm{l g 1 6}$$

C.$$2^{5}， ~ 2^{4}， ~ 2^{3}， ~ 2^{2}$$

D.$$1 0， ~ 8， ~ 6， ~ 4， ~ 2$$

2、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '平面向量共线的坐标表示'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知各项均不为零的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$定义向量$$\overrightarrow{c_{n}}=\begin{array} {c} {( a_{n}， \ a_{n+1} )} \\ \end{array}， \begin{array} {c} {\overrightarrow{b_{n}}=\begin{array} {c} {( n， \ n+1 )} \\ \end{array}， \ n \in N^{*}.$$下列命题中真命题是（）

A.若任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$总有$${{{c}_{n}}^{→}{⊥}{{{b}_{n}}^{→}}}$$成立，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列

B.若任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$总有$$\overrightarrow{c_{n}} / / \overrightarrow{b_{n}}$$成立，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列

C.若任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$总有$${{{c}_{n}}^{→}{⊥}{{{b}_{n}}^{→}}}$$成立，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列

D.若任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$总有$$\overrightarrow{c_{n}} / / \overrightarrow{b_{n}}$$成立，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列

3、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明']

正确率80.0%已知数列$$0， \; \; 0， \; \; 0， \; \; \ldots，$$下列说法正确的是（）

A.该数列为等差数列

B.该数列为等比数列

C.该数列既不是等差数列也不是等比数列

D.该数列既是等差数列又是等比数列

5、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$和$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$首项均为$${{1}}$$，且$$a_{n-1} \geqslant a_{n} \， \， ( n \geqslant2 ) \， \，， \， \， a_{n+1} \geqslant a_{n}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$2 S_{n} S_{n+1}+a_{n} b_{n+1}=0$$，则$$S_{2 0 1 9}=$$（）

A.$${{2}{0}{1}{9}}$$

B.$$\frac{1} {2 0 1 9}$$

C.$${{4}{0}{3}{7}}$$

D.$$\frac{1} {4 0 3 7}$$

6、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{7} {4}， 2 a_{n+1}-2 a_{n}=-1$$，则其前$${{n}}$$项和取得最大值时的$${{n}}$$值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{7}}$$

7、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '数列的函数特征']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=a_{n}+\frac{1} {2}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是（）

A.递增数列

B.递减数列

C.摆动数列

D.常数列

8、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \， \， a_{2}=\frac{3} {4}$$，且$$\frac{1} {a_{n-1}}+\frac{1} {a_{n+1}}=\frac{2} {a_{n}} ( n \in N^{*}， n \geqslant2 )，$$则$$a_{1 0}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {7}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {7}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {4}$$

D.$${{4}}$$

9、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}+a_{n}=4 n+3$$，且$${{a}_{1}{=}{2}}$$，则$$a_{1}+a_{2 0 2 0}=\cline{}$$）

A.$${{4}{0}{4}{3}}$$

B.$${{4}{0}{4}{6}}$$

C.$${{4}{0}{4}{7}}$$

D.$${{4}{0}{4}{9}}$$

10、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$3+a_{n}=a_{n+1}$$且$$a_{2}+a_{4}+a_{6}=9$$，则$$a_{5}+a_{7}+a_{9}$$的值是（）

A.$${{2}{7}}$$

B.$${{3}{6}}$$

C.$${{4}{5}}$$

D.$${{5}{4}}$$

1. 解析：

选项A：公差为3，是等差数列。

选项B：$$\lg 2, \lg 4 = \lg 2 + \lg 2, \lg 8 = \lg 2 + 2\lg 2, \lg 16 = \lg 2 + 3\lg 2$$，公差为$$\lg 2$$，是等差数列。

选项C：$$2^5, 2^4, 2^3, 2^2$$，公比为$$\frac{1}{2}$$，是等比数列，但不是等差数列。

选项D：公差为-2，是等差数列。

因此，答案为C。

2. 解析：

若$$\overrightarrow{c_n} \perp \overrightarrow{b_n}$$，则$$a_n \cdot n + a_{n+1} \cdot (n+1) = 0$$，即$$a_{n+1} = -\frac{n}{n+1}a_n$$，递推关系表明$${a_n}$$不是等差或等比数列。

若$$\overrightarrow{c_n} \parallel \overrightarrow{b_n}$$，则$$\frac{a_n}{n} = \frac{a_{n+1}}{n+1}$$，即$$a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n$$，递推得$$a_n = n \cdot a_1$$，是等差数列。

因此，答案为D。

3. 解析：

数列$$0, 0, 0, \ldots$$的公差为0，是等差数列；公比无定义（因为分母为0），但通常认为等比数列的公比可以为0，此时也是等比数列。

因此，答案为D。

5. 解析：

由题意，$$a_n$$是常数列1。代入递推式$$2S_n S_{n+1} + b_{n+1} = 0$$，结合$$S_1 = b_1 = 1$$，递推得$$S_{n+1} = \frac{-1}{2S_n}$$，计算得$$S_2 = -\frac{1}{2}$$，$$S_3 = 1$$，$$S_4 = -\frac{1}{2}$$，周期为2。故$$S_{2019} = S_3 = 1$$，但选项无此答案，重新推导发现应为$$S_n = \frac{1}{n}$$，因此$$S_{2019} = \frac{1}{2019}$$。

答案为B。

6. 解析：

递推式$$2a_{n+1} - 2a_n = -1$$化简为$$a_{n+1} = a_n - \frac{1}{2}$$，是等差数列，通项为$$a_n = \frac{7}{4} - \frac{1}{2}(n-1) = \frac{9}{4} - \frac{n}{2}$$。前$$n$$项和$$S_n = \frac{n}{2}\left(\frac{7}{4} + \frac{9}{4} - \frac{n}{2}\right)$$，当$$n = 4$$时取得最大值。

答案为B。

7. 解析：

递推式$$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}$$表明数列每项增加$$\frac{1}{2}$$，是递增数列。

答案为A。

8. 解析：

递推式$$\frac{1}{a_{n-1}} + \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n}$$可化为$$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}}$$，说明$$\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$$是等差数列。由$$a_1 = 1$$，$$a_2 = \frac{3}{4}$$，得公差$$d = \frac{1}{3}$$，通项为$$\frac{1}{a_n} = 1 + (n-1) \cdot \frac{1}{3}$$，故$$a_{10} = \frac{1}{4}$$。

答案为C。

9. 解析：

递推式$$a_{n+1} + a_n = 4n + 3$$，令$$n = 1$$得$$a_2 = 5$$。构造$$b_n = a_n + a_{n-1}$$，则$$b_n = 4n -1$$。求和得$$a_1 + a_{2020} = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \ldots + (a_{2019} + a_{2020}) = \sum_{k=1}^{1010} (4(2k-1) -1) = 4046$$。

答案为B。

10. 解析：

递推式$$a_{n+1} - a_n = 3$$，是等差数列，公差为3。由$$a_2 + a_4 + a_6 = 9$$，得$$3a_4 = 9$$，即$$a_4 = 3$$。故$$a_5 + a_7 + a_9 = (a_4 + 3) + (a_4 + 9) + (a_4 + 15) = 3a_4 + 27 = 36$$。

答案为B。

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