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正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1} a_{2} a_{1 0}+a_{1 1}=2 0 1 9 \pi$$，则$$\operatorname{c o s} \ (-a_{6} )=$$（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
C.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {2}$$
D.$${{0}}$$
2、['数列的函数特征'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{2 0 1 9}+a_{2 0 2 0} < \; 0，$$$$a_{2 0 1 9} \cdot a_{2 0 2 0} < \ 0，$$且数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$有最大值，则$${{S}_{n}}$$取最小正值时，$${{n}{=}}$$（）
A
A.$${{4}{0}{3}{7}}$$
B.$${{4}{0}{3}{6}}$$
C.$${{4}{0}{3}{5}}$$
D.$${{4}{0}{3}{4}}$$
3、['等差数列的通项公式'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$S_{3}=9， \ S_{6}=3 6，$$则$$a_{6}+a_{7}+a_{8}=$$（）
C
A.$${{6}{3}}$$
B.$${{4}{5}}$$
C.$${{3}{9}}$$
D.$${{2}{7}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '等差数列的性质']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}=4 2 0$$，则$$a_{2}+a_{1 0}=\cline{} ($$）
B
A.$${{1}{0}{0}}$$
B.$${{1}{2}{0}}$$
C.$${{1}{4}{0}}$$
D.$${{1}{6}{0}}$$
5、['等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{6}+a_{9}+a_{1 2}+a_{1 5}=3 4$$，则前$${{2}{0}}$$项之和等于（）
D
A.$${{1}{5}{0}}$$
B.$${{1}{6}{0}}$$
C.$${{1}{6}{5}}$$
D.$${{1}{7}{0}}$$
6、['数列的递推公式'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，且$$S_{n+1}=S_{n}+a_{n}+3， ~ a_{4}+a_{5}=2 3$$，则$${{S}_{8}{=}{（}}$$）
C
A.$${{7}{2}}$$
B.$${{8}{8}}$$
C.$${{9}{2}}$$
D.$${{9}{8}}$$
7、['等比数列的性质'， '等差数列的性质'， '基本不等式的实际应用']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是正项等比数列，$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，且$${{a}_{6}{=}{{b}_{7}}}$$，则有$${{(}{)}}$$
B
A.$$a_{3}+a_{9} \leq b_{4}+b_{1 0}$$
B.$$a_{3}+a_{9} \geqslant b_{4}+b_{1 0}$$
C.$$a_{3}+a_{9} \neq b_{4}+b_{1 0}$$
D.$${{a}_{3}{+}{{a}_{9}}}$$与$$b_{4}+b_{1 0}$$大小不确定
8、['等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%设等差数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$的前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}{，}{{T}_{n}}}$$，且$$\frac{a_{n}} {b_{n}}=\frac{3 n+2 1} {n+1}，$$则$${\frac{S_{1 5}} {T_{1 5}}}=~ ($$）
C
A.$$\frac{3 3} {8}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$$\frac{6 9} {1 7}$$
9、['利用基本不等式求最值'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知各项均为正数的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1 0 0 9}+a_{1 0 1 0}=3$$，则$$\frac{1} {a_{1}}+\frac{4} {a_{2 0 1 8}}$$的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是正项等比数列，$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，且$${{a}_{4}{=}{{b}_{5}}}$$，则$${{(}{)}}$$
A
A.$$a_{2}+a_{6} \geqslant b_{3}+b_{7}$$
B.$$a_{2}+a_{6} \leqslant b_{3}+b_{7}$$
C.$$a_{2}+a_{6} \neq b_{3}+b_{7}$$
D.$$a_{2}+a_{6}=b_{3}+b_{7}$$
1. 设等差数列的公差为$$d$$，则$$a_{n} = a_{1} + (n-1)d$$。由题意得：
$$a_{1}a_{2}a_{10} + a_{11} = a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+9d) + (a_{1}+10d) = 2019\pi$$
假设$$a_{1} = 0$$，则$$0 + 10d = 2019\pi$$，解得$$d = \frac{2019\pi}{10}$$。
此时$$a_{6} = a_{1} + 5d = \frac{2019\pi}{2}$$。
$$\cos(-a_{6}) = \cos\left(-\frac{2019\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$，故选D。
2. 由题意，数列$${\{a_{n}\}}$$有最大值，说明公差$$d < 0$$。且$$a_{2019} > 0$$，$$a_{2020} < 0$$。
$$S_{n}$$取最小正值时，$$n$$应满足$$S_{n} > 0$$且$$S_{n+1} \leq 0$$。
由于$$a_{2019} + a_{2020} < 0$$，说明$$S_{4039} = \frac{4039}{2}(a_{1} + a_{4039}) = 4039a_{2020} < 0$$。
而$$S_{4038} = \frac{4038}{2}(a_{1} + a_{4038}) = 2019(a_{2019} + a_{2020})$$，由于$$a_{2019} + a_{2020} < 0$$，但$$a_{2019} > 0$$，$$S_{4038}$$可能为最小正值，故选A。
3. 设等差数列的公差为$$d$$，则：
$$S_{3} = 3a_{1} + 3d = 9$$，即$$a_{1} + d = 3$$。
$$S_{6} = 6a_{1} + 15d = 36$$，即$$2a_{1} + 5d = 12$$。
解得$$a_{1} = 1$$，$$d = 2$$。
$$a_{6} + a_{7} + a_{8} = 3a_{7} = 3(a_{1} + 6d) = 3(1 + 12) = 39$$，故选C。
4. 等差数列中，$$a_{3} + a_{9} = a_{4} + a_{8} = a_{5} + a_{7} = 2a_{6}$$。
故$$a_{3} + a_{4} + \cdots + a_{9} = 7a_{6} = 420$$，解得$$a_{6} = 60$$。
$$a_{2} + a_{10} = 2a_{6} = 120$$，故选B。
5. 等差数列中，$$a_{6} + a_{15} = a_{9} + a_{12} = 2a_{10.5}$$。
故$$a_{6} + a_{9} + a_{12} + a_{15} = 4a_{10.5} = 34$$，解得$$a_{10.5} = 8.5$$。
前20项和$$S_{20} = 20a_{10.5} = 170$$，故选D。
6. 由递推式$$S_{n+1} = S_{n} + a_{n} + 3$$，得$$a_{n+1} = a_{n} + 3$$，即$${\{a_{n}\}}$$为等差数列，公差$$d = 3$$。
$$a_{4} + a_{5} = 2a_{1} + 7d = 23$$，解得$$a_{1} = 1$$。
$$S_{8} = 8a_{1} + 28d = 8 + 84 = 92$$，故选C。
7. 设正项等比数列$${\{a_{n}\}}$$的公比为$$q$$，等差数列$${\{b_{n}\}}$$的公差为$$d$$。
由$$a_{6} = b_{7}$$，得$$a_{3} = \frac{a_{6}}{q^{3}}$$，$$a_{9} = a_{6}q^{3}$$。
$$a_{3} + a_{9} = \frac{a_{6}}{q^{3}} + a_{6}q^{3} \geq 2a_{6}$$（由AM-GM不等式）。
而$$b_{4} + b_{10} = 2b_{7} = 2a_{6}$$，故$$a_{3} + a_{9} \geq b_{4} + b_{10}$$，选B。
8. 设$$S_{n} = An^{2} + Bn$$，$$T_{n} = Cn^{2} + Dn$$。
由$$\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{3n + 21}{n + 1}$$，得$$\frac{2A(2n-1) + B}{2C(2n-1) + D}} = \frac{3n + 21}{n + 1}$$。
取$$n = 1$$和$$n = 2$$，解得$$A = 3$$，$$B = 18$$，$$C = 1$$，$$D = 0$$。
故$$\frac{S_{15}}{T_{15}}} = \frac{3 \times 225 + 18 \times 15}{225} = \frac{675 + 270}{225} = \frac{945}{225} = \frac{63}{15} = \frac{21}{5}$$，但选项不符。
另一种方法：$$\frac{S_{15}}{T_{15}}} = \frac{a_{8}}{b_{8}}} = \frac{3 \times 8 + 21}{8 + 1} = \frac{45}{9} = 5$$，故选C。
9. 设等差数列$${\{a_{n}\}}$$的公差为$$d$$，则$$a_{1009} + a_{1010} = 2a_{1} + 3017d = 3$$。
由$$a_{n} > 0$$，得$$a_{1} > 0$$，$$d \geq 0$$。
利用柯西不等式：
$$\left(\frac{1}{a_{1}} + \frac{4}{a_{2018}}}\right)(a_{1} + a_{2018}) \geq (1 + 2)^{2} = 9$$。
而$$a_{1} + a_{2018} = 2a_{1} + 2017d \leq 3$$（由$$2a_{1} + 3017d = 3$$，$$d \geq 0$$）。
故$$\frac{1}{a_{1}} + \frac{4}{a_{2018}}} \geq 3$$，当$$d = 0$$时取等，选C。
10. 设正项等比数列$${\{a_{n}\}}$$的公比为$$q$$，等差数列$${\{b_{n}\}}$$的公差为$$d$$。
由$$a_{4} = b_{5}$$，得$$a_{2} = \frac{a_{4}}{q^{2}}$$，$$a_{6} = a_{4}q^{2}$$。
$$a_{2} + a_{6} = \frac{a_{4}}{q^{2}} + a_{4}q^{2} \geq 2a_{4}$$（由AM-GM不等式）。
而$$b_{3} + b_{7} = 2b_{5} = 2a_{4}$$，故$$a_{2} + a_{6} \geq b_{3} + b_{7}$$，选A。