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正确率40.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中，$$a， ~ b， ~ c$$分别为内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，若$$a， ~ c， ~ b$$成等差数列，$$3 \operatorname{c o s} C=4 \operatorname{s i n} C$$，且$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${{3}}$$，则$${{c}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{2 \sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{4 \sqrt6} {3}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{5}}$$
2、['等差中项'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '椭圆的定义']正确率60.0%已知两点$$F_{1} (-1， 0 )， \; \; F_{2} ( 1， 0 )$$，且$${{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}}$$是$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$与$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$的等差中项，则动点$${{P}}$$的轨迹是$${{(}{)}}$$
A
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.线段
3、['等差中项'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两条渐近线分别为直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$，经过右焦点$${{F}}$$且垂直于$${{l}_{1}}$$的直线$${{l}}$$分别交$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| O A |， ~ | A B |， ~ | O B |$$成等差数列，且$$\overrightarrow{F A}=\lambda\overrightarrow{F B} ( \lambda< 0 )$$，则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
4、['等差中项']正确率40.0%“$$a_{2}+a_{6}=2 a_{4}$$”是“数列｛$${{a}_{n}}$$｝为等差数列”的（）
B
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、['等差中项'， '等比数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是公比为$${{q}}$$的等比数列，若$$2 a_{1}=a_{3} a_{4}$$，且$${{a}_{5}}$$是$${{a}_{4}}$$与$${{−}{6}}$$的等差中项，则$${{q}}$$的值是（）
D
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$$\frac{1} {3}$$
6、['等差数列的通项公式'， '等差中项']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{2}=1， \， \， a_{6}=2 1$$，则$${{a}_{4}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{5}}$$
7、['等差中项'， '数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是递减的等差数列，$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和是$${{S}_{n}}$$，且$${{S}_{6}{=}{{S}_{9}}}$$，有以下四个结论：$$\oplus a_{8}=0 ;$$若对任意$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$都有$${{S}_{n}{⩽}{{S}_{k}}}$$成立，则$${{k}}$$的值等于$${{7}}$$或$${{8}}$$时；$${③}$$存在正整数$${{k}}$$，使$$S_{k}=0 ;$$存在正整数$${{m}}$$，使$$S_{m}=S_{2 m}$$.其中所有正确结论的序号是$${{(}{)}}$$
D
A.$${①{②}}$$
B.$${①{②}{③}}$$
C.$${②{③}{④}}$$
D.$${①{②}{③}{④}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差中项'， '累加法求数列通项']正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$8 a_{4} \!-\! a_{7} \!=\! 0， \， \， \， a_{1}， \! a_{2} \!+\! 1， \! a_{3}$$且成等差数列．若数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1} \!=\! a_{n} \!+\! b_{n} ( n \in N * )$$，且$${{b}_{1}{=}{1}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的通项公式$${{b}_{n}{=}{（}}$$）
B
A.$$2^{1-n}$$
B.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
C.$${{2}^{n}{+}{1}}$$
D.$$2^{2 n} \!+\! 1$$
9、['等差中项'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知两个等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$和$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{A}_{n}}$$和$${{B}_{n}}$$，且$$\frac{A_{n}} {B_{n}}=\frac{7 n+4 5} {n+3}，$$则$$\frac{a_{5}} {b_{5}}$$为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{9}}$$
10、['等差中项'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{2}+a_{8}=1 6， \， \， a_{4}=6$$，则公差$${{d}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}{2}}$$
1. 解析：
由题意，$$a, c, b$$成等差数列，则$$2c = a + b$$。根据余弦定理，$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$。
已知$$3 \cos C = 4 \sin C$$，两边平方得$$9 \cos^2 C = 16 \sin^2 C$$，结合$$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$$，解得$$\cos C = \frac{4}{5}$$，$$\sin C = \frac{3}{5}$$。
三角形面积公式为$$\frac{1}{2}ab \sin C = 3$$，代入$$\sin C = \frac{3}{5}$$得$$ab = 10$$。
由余弦定理和等差数列条件，联立解得$$c = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$$，故选B。
2. 解析：
由题意，$$|F_1F_2| = 2$$是$$|PF_1|$$与$$|PF_2|$$的等差中项，即$$|PF_1| + |PF_2| = 4$$。
根据椭圆定义，动点$$P$$的轨迹是以$$F_1$$和$$F_2$$为焦点，长轴长为$$4$$的椭圆，故选A。
3. 解析：
双曲线的渐近线为$$l_1: y = \frac{b}{a}x$$和$$l_2: y = -\frac{b}{a}x$$。右焦点$$F(c, 0)$$。
直线$$l$$垂直于$$l_1$$，斜率为$$-\frac{a}{b}$$，其方程为$$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$。
求$$l$$与$$l_1$$、$$l_2$$的交点$$A$$和$$B$$，利用条件$$|OA|, |AB|, |OB|$$成等差数列，结合向量关系$$\overrightarrow{FA} = \lambda \overrightarrow{FB}$$，解得离心率$$e = \sqrt{5}$$，故选C。
4. 解析：
“$$a_2 + a_6 = 2a_4$$”是等差数列的必要条件，但不是充分条件（例如常数列满足该式，但非等差数列也满足）。因此是必要不充分条件，故选B。
5. 解析：
由等比数列性质，$$a_3 = a_1 q^2$$，$$a_4 = a_1 q^3$$，代入$$2a_1 = a_3 a_4$$得$$2 = q^5$$，解得$$q = 1$$（舍去）或$$q = -1$$。
又$$a_5$$是$$a_4$$与$$-6$$的等差中项，即$$2a_5 = a_4 - 6$$，代入$$a_5 = a_1 q^4$$和$$a_4 = a_1 q^3$$，验证$$q = -1$$满足，故选A。
6. 解析：
等差数列的公差$$d$$满足$$a_6 - a_2 = 4d = 20$$，故$$d = 5$$。
$$a_4 = a_2 + 2d = 1 + 10 = 11$$，故选C。
7. 解析：
由$$S_6 = S_9$$，等差数列递减，说明$$a_7 + a_8 + a_9 = 0$$，即$$3a_8 = 0$$，故$$a_8 = 0$$（①正确）。
$$S_n$$的最大值出现在$$n = 7$$或$$n = 8$$时（②正确）。
由$$a_8 = 0$$，$$S_{15} = 0$$（③正确）。
$$S_m = S_{2m}$$当$$m = 15$$时成立（④正确）。故选D。
8. 解析：
等比数列满足$$8a_4 - a_7 = 0$$，即$$8a_1 q^3 = a_1 q^6$$，解得$$q = 2$$。
由$$a_1, a_2 + 1, a_3$$成等差数列，得$$2(a_2 + 1) = a_1 + a_3$$，代入$$q = 2$$解得$$a_1 = 1$$。
数列$$\{b_n\}$$满足$$b_{n+1} = a_n + b_n$$，累加得$$b_n = 2^n - 1$$，故选B。
9. 解析：
等差数列前$$n$$项和公式为$$A_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$，$$B_n = \frac{n}{2}(b_1 + b_n)$$。
由$$\frac{A_n}{B_n} = \frac{7n + 45}{n + 3}$$，取$$n = 9$$，得$$\frac{a_5}{b_5} = \frac{A_9 - A_8}{B_9 - B_8} = 11$$，故选B。
10. 解析：
由$$a_2 + a_8 = 16$$，等差数列性质得$$2a_5 = 16$$，即$$a_5 = 8$$。
又$$a_4 = 6$$，公差$$d = a_5 - a_4 = 2$$，故选A。