.jpg)
正确率60.0%$${《}$$算法统宗$${》}$$是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.$${{《}}$$算法统宗$${》}$$对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，以$${{“}}$$竹筒容米$${{”}}$$就是其中一首：家有九节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三升九，上梢四节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明!大意是：用一根$${{9}}$$节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端$${{3}}$$节可盛米$${{3}{.}{9}}$$升，上端$${{4}}$$节可盛米$${{3}}$$升，要按每节依次盛容积相差同一数量的方式盛米，中间两节可盛米多少升？由以上条件，计算出中间两节的容积为（）
A
A.$${{2}{.}{1}}$$升
B.$${{2}{.}{2}}$$升
C.$${{2}{.}{3}}$$升
D.$${{2}{.}{4}}$$升
2、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{、}{{\{}{{b}_{n}}{\}}}}$$为等差数列，$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}{{\{}{{b}_{n}}{\}}}}$$的前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}{，}{{T}_{n}}}$$，且$$\frac{S_{n}} {T_{n}}=\frac{5 n+3} {2 n+7}，$$则$$\frac{a_{5}} {b_{5}}$$的值是
C
A.$$\frac{2 8} {1 7}$$
B.$$\frac{5 3} {2 7}$$
C.$$\frac{4 8} {2 5}$$
D.$$\frac{2 3} {1 5}$$
3、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知首项为正数的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{2 0 0 5}+a_{2 0 0 6} > 0，$$，则使前项$${{S}_{n}{>}{0}}$$成立的最大自然数$${{n}}$$是（）
B
A.$${{4}{0}{0}{9}}$$
B.$${{4}{0}{1}{0}}$$
C.$${{4}{0}{1}{1}}$$
D.$${{4}{0}{1}{2}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的性质']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$${{a}_{1}{>}{0}}$$，且$$3 a_{8}=5 a_{1 3}$$，则$${{S}_{n}}$$中的最大项是$${{(}{)}}$$
B
A.$$S_{1 9}$$
B.$$S_{2 0}$$
C.$$S_{2 1}$$
D.$$S_{2 2}$$
5、['数列的递推公式'， '等差数列的前n项和的性质']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\left( 2 \left| \operatorname{s i n} \frac{n \pi} {2} \right|-1 \right) a_{n}+n$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}{0}}$$项和为
B
A.$${{2}{5}{0}{0}}$$
B.$${{2}{5}{5}{0}}$$
C.$${{5}{0}{5}{0}}$$
D.与$${{a}_{1}}$$的取值有关
6、['数列的递推公式'， '等差数列的前n项和的性质'， '分组求和法']正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n+1}+(-1 )^{n} a_{n}=2 n-1， \; S_{n}$$为其前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 0 0}=\alpha$$）
A
A.$${{2}{0}{1}{0}{0}}$$
B.$${{5}{1}{0}{0}}$$
C.$${{5}{0}{0}{0}}$$
D.$${{2}{0}{0}}$$
7、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}{，}{{T}_{n}}}$$，若$$\frac{a_{n}} {b_{n}}=\frac{2 n} {3 n+1}，$$则$$\frac{S_{2 1}} {T_{2 1}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1 3} {1 5}$$
B.$$\frac{2 3} {3 5}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1 1} {1 7}$$
8、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的性质'， '利用基本不等式求最值'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用'， '“对勾”函数的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{=}{{n}^{2}}{−}{6}{n}}$$，数列$${{\{}{|}{{a}_{n}}{|}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则$$\frac{T_{n}} {n}$$的最小值为（）
C
A.$${{6}{\sqrt {2}}{−}{6}}$$
B.$$\frac{1 3} {5}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
9、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']正确率60.0%项数为奇数的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，所有奇数项之和为$${{4}{4}}$$，所有偶数项之和为$${{3}{3}}$$，则这个数列中间项的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{3}}$$
10、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的性质']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$${{2}}$$，项数是偶数，所有奇数项之和为$${{1}{5}}$$，所有偶数项之和为$${{2}{5}}$$，则这个数列的项数为（）
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{2}{0}}$$
C.$${{3}{0}}$$
D.$${{4}{0}}$$
1. 设每节竹筒盛米的容积为等差数列 $$\{a_n\}$$，公差为 $$d$$。根据题意：
下端 3 节：$$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_1 + 3d = 3.9$$，即 $$a_1 + d = 1.3$$。
上端 4 节：$$a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 4a_1 + 26d = 3$$，即 $$2a_1 + 13d = 1.5$$。
联立解得：$$a_1 = 1.4$$，$$d = -0.1$$。
中间两节为 $$a_4 + a_5 = 2a_1 + 7d = 2.1$$。故选 A。
2. 等差数列前 $$n$$ 项和公式为 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$。由 $$\frac{S_n}{T_n} = \frac{5n + 3}{2n + 7}$$，得：
$$\frac{a_1 + a_n}{b_1 + b_n} = \frac{5n + 3}{2n + 7}$$。
令 $$n = 9$$，则 $$\frac{a_1 + a_9}{b_1 + b_9} = \frac{48}{25}$$，而 $$a_5 = \frac{a_1 + a_9}{2}$$，$$b_5 = \frac{b_1 + b_9}{2}$$，故 $$\frac{a_5}{b_5} = \frac{48}{25}$$。故选 C。
3. 设等差数列公差为 $$d$$，首项 $$a_1 > 0$$。由 $$a_{2005} + a_{2006} > 0$$，得 $$2a_1 + 4009d > 0$$。
要使 $$S_n > 0$$，即 $$\frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d) > 0$$。当 $$n = 4010$$ 时，$$S_{4010} = 2005(2a_1 + 4009d) > 0$$，但 $$S_{4011}$$ 可能小于 0。故最大自然数为 4010。故选 B。
4. 设公差为 $$d$$，由 $$3a_8 = 5a_{13}$$，得 $$3(a_1 + 7d) = 5(a_1 + 12d)$$，解得 $$d = -\frac{2}{39}a_1$$。
$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)$$，求导或分析知 $$S_{20}$$ 为最大值。故选 B。
5. 递推关系分奇偶讨论：
当 $$n$$ 为奇数时，$$a_{n+1} = a_n + n$$；当 $$n$$ 为偶数时，$$a_{n+1} = -a_n + n$$。
计算前几项发现周期性，求和得前 100 项和为 2550。故选 B。
6. 分奇偶讨论递推关系：
当 $$n$$ 为偶数时，$$a_{n+1} + a_n = 2n - 1$$；当 $$n$$ 为奇数时，$$a_{n+1} - a_n = 2n - 1$$。
通过累加得 $$S_{200} = 20100$$。故选 A。
7. 设 $$a_n = 2n$$，$$b_n = 3n + 1$$，则 $$S_{21} = \frac{21}{2}(2 + 42) = 462$$，$$T_{21} = \frac{21}{2}(4 + 64) = 714$$。
故 $$\frac{S_{21}}{T_{21}} = \frac{462}{714} = \frac{11}{17}$$。故选 D。
8. 由 $$S_n = n^2 - 6n$$，得 $$a_n = 2n - 7$$。当 $$n \leq 3$$ 时，$$a_n < 0$$；当 $$n \geq 4$$ 时，$$a_n > 0$$。
$$T_n = -S_3 + (S_n - S_3) = n^2 - 6n + 6$$，故 $$\frac{T_n}{n} = n - 6 + \frac{6}{n}$$，最小值为 $$\frac{13}{5}$$（当 $$n = 5$$ 时）。故选 B。
9. 设项数为 $$2k + 1$$，中间项为 $$a_{k+1}$$。由题意：
奇数项和 $$S_{\text{奇}} = (k + 1)a_{k+1} = 44$$，偶数项和 $$S_{\text{偶}} = k a_{k+1} = 33$$。
解得 $$a_{k+1} = 11$$。故选 C。
10. 设项数为 $$2k$$，公差 $$d = 2$$。由题意：
偶数项和减奇数项和 $$k d = 10$$，即 $$k = 5$$，故项数为 10。故选 A。