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正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}+a_{4}+a_{7}=\frac{5} {4} \pi$$，那么$$\operatorname{c o s} \ ( \ a_{3}+a_{5} ) \ =\ ($$）
B
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$- \frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$- \frac{\sqrt2} 2$$
2、['直线系方程'， '椭圆的标准方程'， '点与椭圆的位置关系'， '等差数列的性质'， '直线与椭圆的交点个数']正确率40.0%已知非零实数$${{a}{、}{b}}$$和$${{1}}$$成等差数列，直线$$a x+b y+1=0$$与椭圆$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {1 0}=1$$恒有公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围为
D
A.$$m > \frac{3} {5}$$
B.$$m \geq\frac{3} {5}$$
C.$$m > \frac{5} {3}$$
D.$$m \geq\frac{5} {3}$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '等差数列的性质']正确率40.0%若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{4} {5}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{2} {5}$$
4、['等比数列的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，有$$a_{2} a_{1 4}=8 a_{8}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$${{a}_{8}{=}{{b}_{8}}}$$，则$$S_{1 5}=$$（）
B
A.$${{2}{4}{0}}$$
B.$${{1}{2}{0}}$$
C.$${{6}{0}}$$
D.$${{3}{0}}$$
5、['等差数列的性质']正确率60.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1}+a_{1 3}=1 0$$，则$$\left( a_{5}+a_{9} \right)^{2}+4 a_{7}=\alpha$$）
A
A.$${{1}{2}{0}}$$
B.$${{1}{0}{0}}$$
C.$${{4}{5}}$$
D.$${{1}{4}{0}}$$
6、['一元二次方程根与系数的关系'， '导数的四则运算法则'， '导数与极值'， '对数的运算性质'， '等差数列的性质']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中的$$a_{2}， ~ a_{4 0 3 0}$$是函数$$f ( x )=\frac{1} {3} x^{3}-4 x^{2}+6 x-1$$的两个极值点，则$$l o g_{2} ~ ( \ a_{2 0 1 6} ) ~=~ ($$）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '等差数列的性质']正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$2， ~ S_{n}， ~ 3 a_{n}$$成等差数列，则$${{S}_{5}}$$的值是（）
B
A.$${{−}{{2}{4}{3}}}$$
B.$${{−}{{2}{4}{2}}}$$
C.$${{−}{{1}{6}{2}}}$$
D.$${{2}{4}{3}}$$
8、['等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{3}+a_{9}=8$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{1}}$$项和$$S_{1 1}$$等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{3}{3}}$$
C.$${{4}{4}}$$
D.$${{5}{5}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{7}}$$项和为$$3 5， ~ a_{1 0}=1 7$$，则$$S_{9}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
C
A.$${{4}{5}}$$
B.$${{5}{6}}$$
C.$${{6}{3}}$$
D.$${{7}{2}}$$
10、['裂项相消法求和'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率40.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{5}=1 2-a_{3}， \， \， \， a_{1 0}=9$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{2 n} a_{2 n+2}} \}$$的前$${{2}{0}{2}{0}}$$项和为（）
C
A.$$\frac{2 0 1 9} {4 0 3 9}$$
B.$$\frac{2 0 2 0} {4 0 3 9}$$
C.$$\frac{2 0 2 0} {4 0 4 1}$$
D.$$\frac{2 0 2 1} {4 0 4 1}$$
1. 已知等差数列$${\{a_n\}}$$中，$$a_1 + a_4 + a_7 = \frac{5}{4} \pi$$，求$$\cos(a_3 + a_5)$$。
解：设首项为$$a_1$$，公差为$$d$$，则$$a_4 = a_1 + 3d$$，$$a_7 = a_1 + 6d$$。
代入得：$$a_1 + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) = 3a_1 + 9d = \frac{5}{4} \pi$$。
又$$a_3 + a_5 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) = 2a_1 + 6d$$。
比较得：$$a_3 + a_5 = \frac{2}{3}(3a_1 + 9d) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} \pi = \frac{5}{6} \pi$$。
所以$$\cos(a_3 + a_5) = \cos\left(\frac{5}{6} \pi\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：B
2. 已知非零实数$$a, b$$和$$1$$成等差数列，直线$$a x + b y + 1 = 0$$与椭圆$$C: \frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{10} = 1$$恒有公共点，求实数$$m$$的取值范围。
解：由$$a, b, 1$$成等差，得$$2b = a + 1$$，即$$a = 2b - 1$$。
直线方程化为：$$(2b - 1)x + b y + 1 = 0$$。
由于恒有公共点，直线过定点。令$$b = 0$$得$$-x + 1 = 0$$，即$$x = 1$$；令$$b = 1$$得$$x + y + 1 = 0$$。
联立解得定点$$P(1, -2)$$。
代入椭圆：$$\frac{1}{m} + \frac{4}{10} \leq 1$$，即$$\frac{1}{m} \leq \frac{3}{5}$$，所以$$m \geq \frac{5}{3}$$。
答案：D
3. 若椭圆的短轴长$$2b$$，焦距$$2c$$，长轴长$$2a$$构成等差数列，求离心率$$e$$。
解：由题意：$$2 \times 2c = 2b + 2a$$，即$$2c = a + b$$。
又$$c^2 = a^2 - b^2$$，代入得：$$(a + b)^2 = 4(a^2 - b^2)$$。
展开：$$a^2 + 2ab + b^2 = 4a^2 - 4b^2$$，整理得：$$3a^2 - 2ab - 5b^2 = 0$$。
解得：$$\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$$（舍负），所以$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}$$。
答案：A
4. 已知等比数列$${\{a_n\}}$$中，$$a_2 a_{14} = 8a_8$$，数列$${\{b_n\}}$$是等差数列，其前$$n$$项和为$$S_n$$，且$$a_8 = b_8$$，求$$S_{15}$$。
解：设等比数列公比为$$q$$，则$$a_2 a_{14} = a_1 q \cdot a_1 q^{13} = a_1^2 q^{14} = (a_1 q^7)^2 = a_8^2$$。
由条件$$a_8^2 = 8a_8$$，解得$$a_8 = 8$$（$$a_8 \neq 0$$）。
所以$$b_8 = 8$$。等差数列中$$b_1 + b_{15} = 2b_8 = 16$$。
因此$$S_{15} = \frac{15}{2}(b_1 + b_{15}) = \frac{15}{2} \times 16 = 120$$。
答案：B
5. 在等差数列$${\{a_n\}}$$中，若$$a_1 + a_{13} = 10$$，求$$(a_5 + a_9)^2 + 4a_7$$。
解：由等差数列性质：$$a_1 + a_{13} = 2a_7 = 10$$，所以$$a_7 = 5$$。
又$$a_5 + a_9 = 2a_7 = 10$$。
代入得：$$10^2 + 4 \times 5 = 100 + 20 = 120$$。
答案：A
6. 等差数列$${\{a_n\}}$$中的$$a_2, a_{4030}$$是函数$$f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x^2 + 6x - 1$$的两个极值点，求$$\log_2 a_{2016}$$。
解：求导得$$f'(x) = x^2 - 8x + 6$$，极值点为$$x_1, x_2$$，则$$x_1 + x_2 = 8$$。
由题意$$a_2 + a_{4030} = 2a_{2016} = 8$$，所以$$a_{2016} = 4$$。
因此$$\log_2 4 = 2$$。
答案：A
7. 设数列$${\{a_n\}}$$的前$$n$$项和为$$S_n$$，若$$2, S_n, 3a_n$$成等差数列，求$$S_5$$。
解：由条件：$$2S_n = 2 + 3a_n$$。
又$$a_n = S_n - S_{n-1}$$（$$n \geq 2$$），代入得：$$2S_n = 2 + 3(S_n - S_{n-1})$$。
整理得：$$S_n = 3S_{n-1} - 2$$。
特征方程法解得：$$S_n = 1 + 3^{n-1}$$。
所以$$S_5 = 1 + 3^4 = 82$$，但选项为负，检查初始：$$n=1$$时$$2S_1 = 2 + 3a_1$$，即$$2a_1 = 2 + 3a_1$$，得$$a_1 = -2$$，$$S_1 = -2$$。
递推得$$S_2 = 3(-2) - 2 = -8$$，$$S_3 = -26$$，$$S_4 = -80$$，$$S_5 = -242$$。
答案：B
8. 已知等差数列$${\{a_n\}}$$中，$$a_3 + a_9 = 8$$，求前11项和$$S_{11}$$。
解：由性质：$$a_3 + a_9 = 2a_6 = 8$$，所以$$a_6 = 4$$。
因此$$S_{11} = \frac{11}{2}(a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2} \times 2a_6 = 11 \times 4 = 44$$。
答案：C
9. 已知等差数列$${\{a_n\}}$$前7项和为35，$$a_{10} = 17$$，求$$S_9$$。
解：$$S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7) = \frac{7}{2} \times 2a_4 = 7a_4 = 35$$，所以$$a_4 = 5$$。
又$$a_{10} = a_4 + 6d = 17$$，代入得$$5 + 6d = 17$$，$$d = 2$$。
则$$a_1 = a_4 - 3d = 5 - 6 = -1$$。
所以$$S_9 = \frac{9}{2}(a_1 + a_9) = \frac{9}{2} \times 2a_5 = 9a_5$$。
而$$a_5 = a_4 + d = 5 + 2 = 7$$，因此$$S_9 = 9 \times 7 = 63$$。
答案：C
10. 设等差数列$${\{a_n\}}$$的前$$n$$项和为$$S_n$$，且$$S_5 = 12 - a_3$$，$$a_{10} = 9$$，求数列$${\frac{1}{a_{2n} a_{2n+2}}}$$的前2020项和。
解：设首项$$a_1$$，公差$$d$$，则$$S_5 = 5a_1 + 10d = 12 - (a_1 + 2d)$$，即$$6a_1 + 12d = 12$$，$$a_1 + 2d = 2$$。
又$$a_{10} = a_1 + 9d = 9$$，解得$$d = 1$$，$$a_1 = 0$$？矛盾。
修正：$$a_1 + 2d = 2$$，$$a_1 + 9d = 9$$，相减得$$7d = 7$$，$$d = 1$$，$$a_1 = 0$$。
则$$a_n = n - 1$$，$$a_{2n} = 2n - 1$$，$$a_{2n+2} = 2n + 1$$。
所以$$\frac{1}{a_{2n} a_{2n+2}} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right)$$。
前2020项和为$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4041} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4040}{4041} = \frac{2020}{4041}$$。
答案：C