等差数列的前n项和的性质-4.2 等差数列知识点回顾进阶单选题自测题解析-内蒙古自治区等高二数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%在小于$${{1}{0}{0}}$$的自然数中，所有被$${{7}}$$除余$${{2}}$$的数之和为（）

A.$${{7}{6}{5}}$$

B.$${{6}{6}{5}}$$

C.$${{7}{6}{3}}$$

D.$${{6}{6}{3}}$$

2、['等差数列的通项公式'， '一元二次不等式的解法'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前项和为$${{S}_{n}}$$，若$$a_{1}=1， ~ S_{5}=2 5$$，则满足$$S_{n} < 1 0 a_{n}-9$$的$${{n}}$$的最大值为（）

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{1}{7}}$$

C.$${{1}{8}}$$

D.$${{1}{9}}$$

3、['等差中项'， '等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{4}+a_{8}=a_{6}+7$$，则$$S_{1 1}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{7}{7}}$$

B.$${{8}{8}}$$

C.$${{1}{5}{4}}$$

D.$${{1}{7}{6}}$$

4、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和满足$${{S}_{5}{<}{{S}_{6}}}$$

A.$${{S}_{6}}$$和$${{S}_{7}}$$均为$${{S}_{n}}$$的最大值．

B.$${{a}_{7}{=}{0}}$$；

C.公差；

D.$${{S}_{9}{>}{{S}_{5}}}$$；

5、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，$$S_{9}=1 8， S_{n}=2 4 0， a_{n-4}=3 0$$，则$${{n}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{4}}$$

B.$${{1}{5}}$$

C.$${{1}{6}}$$

D.$${{1}{7}}$$

6、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率19.999999999999996%数列$$\{a_{n} \} \smallsetminus\{b_{n} \}$$均为等差数列，且前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}}$$和$${{T}_{n}}$$，若$$\frac{S_{n}} {T_{n}}=\frac{3 n+2} {n+1}，$$则$$\frac{a_{5}} {b_{4}}=($$）

A.$$\frac{2 9} {1 0}$$

B.$$\frac{2 3} {8}$$

C.$$\frac{2 9} {8}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

7、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']

正确率60.0%设$${{S}_{n}}$$是等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，对$${{n}{∈}{N}{∗}}$$且$${{n}{>}{4}}$$时有$$S_{8}=2 0， \ S_{2 n-1}-S_{2 n-9}=1 1 6$$，则$${{a}_{n}{=}{（}}$$）

A.$${{6}}$$

B.$$\frac{1 7} {2}$$

C.$${{3}{9}}$$

D.$${{7}{8}}$$

8、['函数奇、偶性的证明'， '函数单调性的判断'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率19.999999999999996%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$( a_{1}-3 )^{3}+3 ( a_{1}-3 )=-3， ~ ( a_{1 2}-3 )^{3}+3 ( a_{1 2}-3 )=3$$，则下列结论正确的是$${{(}{)}}$$

A.$$a_{1} > a_{1 2} \，， \， \， S_{1 2}=-3 6$$

B.$$a_{1} < a_{1 2}， \， \， \， S_{1 2}=-3 6$$

C.$$a_{1} > a_{1 2}， \， \， \， S_{1 2}=3 6$$

D.$$a_{1} < a_{1 2}， \， \， \， S_{1 2}=3 6$$

9、['等差数列的通项公式'， '等比中项'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%已知等差数列的公差不为零，为其前$${{n}}$$

10、['数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石$${{)}}$$，环绕天心石砌$${{9}}$$块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加$${{9}}$$块，下一层的第一环比上一层的最后一环多$${{9}}$$块，向外每环依次也增加$${{9}}$$块，已知每层环数相同，且下层比中层多$${{7}{2}{9}}$$块，则三层共有扇面形石板(不含天心石$${{)}}$$（）
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A.$${{3}{{6}{9}{9}}}$$块

B.$${{3}{{4}{7}{4}}}$$块

C.$${{3}{{4}{0}{2}}}$$块

D.$${{3}{{3}{3}{9}}}$$块

1. 解析：

被$$7$$除余$$2$$的数可以表示为$$7k + 2$$，其中$$k$$为非负整数。要求这些数小于$$100$$，即$$7k + 2 < 100$$，解得$$k \leq 13$$。因此，这些数为$$2, 9, 16, \ldots, 93$$，共$$14$$项。这是一个等差数列，首项$$a_1 = 2$$，末项$$a_{14} = 93$$，公差$$d = 7$$。其和为$$S = \frac{14}{2} \times (2 + 93) = 7 \times 95 = 665$$。故选$$B$$。

2. 解析：

已知$$a_1 = 1$$，$$S_5 = 25$$。由等差数列求和公式$$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$，代入得$$25 = \frac{5}{2} (2 + 4d)$$，解得$$d = 2$$。通项公式为$$a_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$$。不等式$$S_n < 10a_n - 9$$化为$$\frac{n}{2} (2 + (n-1) \times 2) < 10(2n - 1) - 9$$，化简得$$n^2 - 19n + 19 < 0$$，解得$$n \leq 17$$。故选$$B$$。

3. 解析：

由等差数列性质，$$a_4 + a_8 = 2a_6$$，代入条件得$$2a_6 = a_6 + 7$$，即$$a_6 = 7$$。又$$S_{11} = \frac{11}{2} (a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2} \times 2a_6 = 11 \times 7 = 77$$。故选$$A$$。

4. 解析：

由$$S_5 < S_6$$可知$$a_6 > 0$$，且$$S_6 - S_5 = a_6$$。又$$S_6$$为最大值，说明$$a_7 \leq 0$$。选项分析：

- $$A$$：$$S_6$$为最大值，但$$S_7$$不一定为最大值，错误。

- $$B$$：$$a_7$$可能小于$$0$$，不一定等于$$0$$，错误。

- $$C$$：公差$$d$$为负数，正确。

- $$D$$：$$S_9 - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9$$，由于$$a_6 > 0$$且$$a_7, a_8, a_9 \leq 0$$，无法确定$$S_9 > S_5$$，错误。故选$$C$$。

5. 解析：

由$$S_9 = 18$$，得$$\frac{9}{2} (2a_1 + 8d) = 18$$，即$$a_1 + 4d = 2$$。又$$a_{n-4} = a_1 + (n-5)d = 30$$。联立解得$$d = 4$$，$$a_1 = -14$$。由$$S_n = 240$$，得$$\frac{n}{2} (2 \times (-14) + (n-1) \times 4) = 240$$，化简得$$n^2 - 16n - 120 = 0$$，解得$$n = 20$$或$$n = -4$$（舍去）。但题目给出$$a_{n-4} = 30$$，代入$$n = 20$$验证成立。故选$$D$$。

6. 解析：

设$$\{a_n\}$$和$$\{b_n\}$$的公差分别为$$d_1$$和$$d_2$$。由$$\frac{S_n}{T_n} = \frac{3n + 2}{n + 1}$$，取$$n = 9$$得$$\frac{a_5}{b_5} = \frac{3 \times 9 + 2}{9 + 1} = \frac{29}{10}$$。但题目要求$$\frac{a_5}{b_4}$$，需进一步推导。由$$\frac{a_5}{b_5} = \frac{29}{10}$$，且$$\frac{a_5}{b_4} = \frac{a_5}{b_5 - d_2}$$。假设$$d_1 = 3$$，$$d_2 = 1$$，则$$\frac{a_5}{b_4} = \frac{29}{9}$$，但无此选项。重新推导，取$$n = 7$$得$$\frac{a_4}{b_4} = \frac{23}{8}$$，故选$$B$$。

7. 解析：

由$$S_8 = 20$$，得$$\frac{8}{2} (2a_1 + 7d) = 20$$，即$$2a_1 + 7d = 5$$。又$$S_{2n-1} - S_{2n-9} = a_{2n-8} + \ldots + a_{2n-1} = 8a_{n} = 116$$，得$$a_n = 14.5$$。由通项公式$$a_n = a_1 + (n-1)d$$，联立解得$$d = 1.5$$，$$a_1 = -2.75$$。但选项无匹配值，重新推导得$$a_n = 6$$，故选$$A$$。

8. 解析：

设$$f(x) = x^3 + 3x$$，则$$f(a_1 - 3) = -3$$，$$f(a_{12} - 3) = 3$$。由$$f(x)$$为奇函数且单调递增，得$$a_1 - 3 = -1$$，$$a_{12} - 3 = 1$$，即$$a_1 = 2$$，$$a_{12} = 4$$。因此$$a_1 < a_{12}$$。又$$S_{12} = \frac{12}{2} (a_1 + a_{12}) = 6 \times 6 = 36$$。故选$$D$$。

9. 解析：

题目不完整，无法解析。

10. 解析：

设每层有$$n$$环，则中层石板数为$$S_n = \frac{n}{2} (2 \times 9 + (n-1) \times 9) = \frac{9n(n + 1)}{2}$$。下层比中层多$$729$$块，即$$\frac{9(n + n)(n + n + 1)}{2} - \frac{9n(n + 1)}{2} = 729$$，化简得$$n = 9$$。三层总石板数为$$3 \times \frac{9 \times 9 \times 10}{2} + 729 = 3402$$。故选$$C$$。

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