1、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '构造法求数列通项'， '不等式比较大小']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{n} \left( 2 S_{n}-a_{n} \right)=1$$，则下列结论中$${①}$$数列$${{\{}{{S}^{2}_{n}}{\}}}$$是等差数列；$$2$$．
D
A.仅有$${①{②}}$$正确
B.仅有$${①{③}}$$正确
C.仅有$${②{③}}$$正确
D.$${①{②}{③}}$$均正确
2、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1} \!=\! 1， \， \， a_{n} \!-\! a_{n-1} \!=\! \frac{1} {2} ( n {\geq} 2 )$$，则$${{a}_{9}}$$等于（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
3、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的性质'， '等差、等比数列的综合应用'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%在等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n} > 0 \ ( n \in N^{*} )$$，公比
，且$$a_{1} a_{5}+2 a_{3} a_{5}+a_{2} a_{8}=2 5$$，又$${{a}_{3}}$$与$${{a}_{5}}$$的等比中项为$$2， ~ b_{n}=l o g_{2} a_{n}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则当$$\frac{S_{1}} 1+\frac{S_{2}} 2+\ldots+\frac{S_{n}} n$$最大时，$${{n}}$$的值等于（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{8}}$$或$${{9}}$$
D.$${{1}{7}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '实数指数幂的运算性质'， '等差数列的定义与证明'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$5^{a_{n+1}}=2 5 \cdot5^{a_{n}}$$，且$$a_{2}+a_{4}+a_{6}=9$$，则$$\operatorname{l o g}_{\frac{1} {3}} ( a_{5}+a_{7}+a_{9} )=$$（）
A
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$- \frac{1} {3}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
5、['等差中项'， '等差数列的定义与证明'， '等比数列的定义与证明'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']正确率60.0%设$$2 0 1 8^{a}=3， 2 0 1 8^{b}=6， 2 0 1 8^{c}=1 2$$，则数列$$a， b， c \langle$$）
A
A.是等差数列，但不是等比数列
B.是等比数列，但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既非等差数列又非等比数列
6、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且$$a_{n}=\frac{1} {3} a_{n-1}+( \frac{1} {3} )^{n} ( n \geqslant2$$，且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}{）}}$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为（）
B
A.$$a_{n}=\frac{3^{n}} {n+2}$$
B.$$a_{n}=\frac{n+2} {3^{n}}$$
C.$$a_{n}=n+2$$
D.$$a_{n}=~ ( \ n+2 ) ~ 3^{n}$$
7、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{2}=3$$，且$$2 n a_{n}=( n-1 ) a_{n-1}+( n+1 ) a_{n+1}$$，则$$a_{2 0}$$的值是（）
D
A.$$4 \frac{1} {5}$$
B.$$4 \frac{2} {5}$$
C.$$4 \frac{3} {5}$$
D.$$4 \frac{4} {5}$$
8、['等差数列的定义与证明'， '函数的新定义问题'， '函数求值域'， '等比数列的定义与证明'， '函数零点个数的判定']正确率60.0%已知$${{[}{{x}}{)}}$$表示大于$${{x}}$$的最小整数，例如$$[ 3 )=4， [-1. 3 )=-1，$$下列命题中正确的是
$${①}$$函数$$f ( x )=[ x )-x$$的值域是$${{(}{{0}{，}{1}}{]}{；}}$$
$${②}$$若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，则$${{\{}{{[}{{a}_{n}}{)}}{\}}}$$也是等差数列；
$${③}$$若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，则$${{\{}{{[}{{a}_{n}}{)}}{\}}}$$也是等比数列；
$${④}$$若$$x \in( 1， 2 \， 0 1 8 )$$，则方程$$[ x )-x=\frac{1} {2}$$有$${{2}{{0}{1}{7}}}$$个根．
D
A.$${②{④}}$$
B.$${③{④}}$$
C.$${①{③}}$$
D.$${①{④}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '构造法求数列通项']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{{2}{0}{1}{6}}}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$2 0 1 7 S_{2 0 1 6}-2 0 1 6 S_{2 0 1 7}=2 0 1 6 \times2 0 1 7$$则$$S_{2 0 1 6}=\alpha$$）
C
A.$${{2}{0}{1}{8}}$$
B.$${{2}{0}{1}{7}}$$
C.$${{2}{0}{1}{6}}$$
D.$${{2}{0}{1}{5}}$$
10、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '数列的函数特征']正确率19.999999999999996%设$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，满足$$a_{n}^{2}+1=2 a_{n} S_{n}$$，且$${{a}_{n}{>}{0}}$$，若对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都有$$S_{n}^{4}-2 S_{n}^{2} \leqslant m \cdot2^{n}$$，则$${{m}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$$[ \frac{1} {2}，+\infty)$$
B.$$[ \frac{3} {8}，+\infty)$$
C.$$[ \frac{1} {4}，+\infty)$$
D.$$[ 1，+\infty)$$
1. 题目解析：
给定数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，且满足 $$a_n (2 S_n - a_n) = 1$$。我们需要分析结论①、②、③的正确性。
首先，注意到 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$（$$n \geq 2$$），代入原式得：
$$(S_n - S_{n-1})(2 S_n - (S_n - S_{n-1})) = 1$$
化简得：
$$(S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1}) = 1$$
即 $$S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1$$，这表明 $$\{S_n^2\}$$ 是一个公差为 1 的等差数列，结论①正确。
进一步，由 $$S_1^2 = a_1^2$$ 和 $$a_1 (2 S_1 - a_1) = 1$$，解得 $$S_1^2 = 1$$，因此 $$S_n^2 = n$$，即 $$S_n = \sqrt{n}$$。
从而 $$a_n = S_n - S_{n-1} = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}$$，验证结论②和③的正确性。
最终答案为 $$D$$，即①、②、③均正确。
2. 题目解析：
已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，且 $$a_n - a_{n-1} = \frac{1}{2}$$（$$n \geq 2$$）。这是一个等差数列，公差 $$d = \frac{1}{2}$$。
通项公式为：
$$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n + 1}{2}$$
因此，$$a_9 = \frac{9 + 1}{2} = 5$$，答案为 $$D$$。
3. 题目解析：
在等比数列 $$\{a_n\}$$ 中，公比 $$q$$ 满足 $$a_n > 0$$，且 $$a_1 a_5 + 2 a_3 a_5 + a_2 a_8 = 25$$。
利用等比数列性质，$$a_1 a_5 = a_3^2$$，$$a_2 a_8 = a_5^2$$，代入得：
$$a_3^2 + 2 a_3 a_5 + a_5^2 = 25$$，即 $$(a_3 + a_5)^2 = 25$$，故 $$a_3 + a_5 = 5$$。
又 $$a_3$$ 与 $$a_5$$ 的等比中项为 2，即 $$a_3 a_5 = 4$$，解得 $$a_3 = 1$$，$$a_5 = 4$$ 或反之。
由此可求出通项公式，进一步计算 $$b_n = \log_2 a_n$$ 和 $$S_n$$，分析 $$\frac{S_1}{1} + \frac{S_2}{2} + \cdots + \frac{S_n}{n}$$ 的最大值点。
最终答案为 $$C$$，即 $$n = 8$$ 或 $$9$$ 时取得最大值。
4. 题目解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$5^{a_{n+1}} = 25 \cdot 5^{a_n}$$，即 $$5^{a_{n+1}} = 5^{2 + a_n}$$，故 $$a_{n+1} = a_n + 2$$。
这是一个等差数列，公差 $$d = 2$$，通项公式为 $$a_n = a_1 + 2(n-1)$$。
已知 $$a_2 + a_4 + a_6 = 9$$，代入得 $$3a_1 + 10d = 9$$，解得 $$a_1 = -\frac{11}{3}$$。
因此，$$a_5 + a_7 + a_9 = 3a_1 + 18d = -11 + 36 = 25$$。
所求为 $$\log_{\frac{1}{3}} 25 = -3$$，答案为 $$A$$。
5. 题目解析：
设 $$2018^a = 3$$，$$2018^b = 6$$，$$2018^c = 12$$，取对数得：
$$a = \log_{2018} 3$$，$$b = \log_{2018} 6$$，$$c = \log_{2018} 12$$。
计算 $$2b = \log_{2018} 36$$，$$a + c = \log_{2018} 36$$，故 $$2b = a + c$$，即 $$a, b, c$$ 成等差数列。
但 $$b^2 \neq a c$$，故不是等比数列，答案为 $$A$$。
6. 题目解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，且 $$a_n = \frac{1}{3} a_{n-1} + \left(\frac{1}{3}\right)^n$$（$$n \geq 2$$）。
设 $$b_n = 3^n a_n$$，代入递推式得：
$$b_n = b_{n-1} + 1$$，故 $$b_n = b_1 + (n-1) = 3 + n - 1 = n + 2$$。
因此，$$a_n = \frac{n + 2}{3^n}$$，答案为 $$B$$。
7. 题目解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 3$$，且 $$2n a_n = (n-1) a_{n-1} + (n+1) a_{n+1}$$。
整理得：
$$(n+1) a_{n+1} - n a_n = n a_n - (n-1) a_{n-1}$$，说明 $$\{n a_n\}$$ 是等差数列。
由 $$1 \cdot a_1 = 1$$，$$2 \cdot a_2 = 6$$，公差 $$d = 5$$，故 $$n a_n = 1 + 5(n-1) = 5n - 4$$。
因此，$$a_{20} = \frac{5 \cdot 20 - 4}{20} = \frac{96}{20} = \frac{24}{5} = 4 \frac{4}{5}$$，答案为 $$D$$。
8. 题目解析：
定义 $$[x)$$ 为大于 $$x$$ 的最小整数，分析各命题：
① 函数 $$f(x) = [x) - x$$ 的值域为 $$(0, 1]$$，正确。
② 若 $$\{a_n\}$$ 是等差数列，$$[a_n)$$ 不一定是等差数列，例如 $$a_n = n + 0.5$$ 时 $$[a_n) = n + 1$$ 是等差数列，但一般情况下不成立。
③ 若 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，$$[a_n)$$ 不一定是等比数列，例如 $$a_n = 2^n$$ 时 $$[a_n) = 2^n$$ 是等比数列，但一般情况下不成立。
④ 方程 $$[x) - x = \frac{1}{2}$$ 在 $$x \in (1, 2018)$$ 时有 $$2017$$ 个解，正确。
综上，答案为 $$D$$（①④正确）。
9. 题目解析：
等差数列 $$\{a_n\}$$ 中，$$a_1 = 2016$$，前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，满足 $$2017 S_{2016} - 2016 S_{2017} = 2016 \times 2017$$。
利用等差数列性质，$$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$，代入化简得：
$$2017 \cdot \frac{2016}{2} (2 \cdot 2016 + 2015 d) - 2016 \cdot \frac{2017}{2} (2 \cdot 2016 + 2016 d) = 2016 \times 2017$$。
解得 $$d = -2$$，因此 $$S_{2016} = \frac{2016}{2} (2 \cdot 2016 + 2015 \cdot (-2)) = 2016 \times 1 = 2016$$，答案为 $$C$$。
10. 题目解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_n^2 + 1 = 2 a_n S_n$$，且 $$a_n > 0$$。
由 $$S_n = S_{n-1} + a_n$$，代入得 $$a_n^2 + 1 = 2 a_n (S_{n-1} + a_n)$$，整理得 $$S_{n-1} = \frac{1 - a_n^2}{2 a_n}$$。
进一步推导可得 $$S_n = \frac{1}{a_{n+1}}$$，从而 $$a_n = \frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n-1}}$$。
代入原式解得 $$S_n = \sqrt{n}$$，因此 $$S_n^4 - 2 S_n^2 = n^2 - 2n$$。
问题转化为求 $$n^2 - 2n \leq m \cdot 2^n$$ 对所有 $$n \in \mathbb{N}^*$$ 成立的最小 $$m$$。
分析函数 $$f(n) = \frac{n^2 - 2n}{2^n}$$ 的最大值，可得 $$m \geq \frac{3}{8}$$，答案为 $$B$$。
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