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正确率60.0%$${{△}{A}{B}{C}}$$的三边$$a， ~ b， ~ c$$的对角分别为$$A， ~ B， ~ C$$，若$${{B}}$$是$${{A}}$$与$${{C}}$$的等差中项，$${{b}{=}{\sqrt {3}}}$$，则$${{a}{+}{c}}$$的最大值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\sqrt6+\sqrt2$$
2、['等差数列的通项公式'， '等差中项'， '等比数列的通项公式'， '等比中项'， '特殊角的三角函数值']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等比数列，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是等差数列，若$$a_{4} \cdot a_{8} \cdot a_{9}=-3 \sqrt{3}， \ b_{4}+b_{8}+b_{9}=5 \pi$$，则$$\operatorname{t a n} \frac{b_{4}+b_{1 0}} {a_{3} \cdot a_{1 1}-1}=\c($$$${）}$$
A
A.$${{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
3、['正弦定理及其应用'， '等差中项'， '正弦（型）函数的定义域和值域'， '两角和与差的正弦公式']正确率19.999999999999996%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$三内角$$A， ~ B， ~ C$$所对边分别为$$a， ~ b， ~ c$$，若$$A， ~ B， ~ C$$成等差数列，则（）
C
A.$$a+c=2 b$$
B.$$a+c \geqslant2 b$$
C.$$a+c \leq2 b$$
D.$${{a}{+}{c}}$$与$${{2}{b}}$$的大小不能确定
4、['正弦定理及其应用'， '等差中项'， '同角三角函数的商数关系'， '等差数列的性质']正确率40.0%设$$a， b， c$$分别是$${{Δ}{A}{B}{C}}$$内角$$A， B， C$$的对边，若$$\frac{1} {\operatorname{t a n} A}， \frac{1} {\operatorname{t a n} B}， \frac{1} {\operatorname{t a n} C}$$依次成等差数列，则
B
A.$$a， b， c$$依次成等差数列
B.$$a^{2}， b^{2}， c^{2}$$依次成等差数列
C.$$\sqrt{a}， \sqrt{b}， \sqrt{c}$$依次成等比数列
D.$$a^{2}， b^{2}， c^{2}$$依次成等比数列
5、['等差中项'， '空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直'， '用向量的坐标表示两个向量垂直的条件'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知向量$$\vec{m} ~=( 1， 2， y )$$垂直，且$$x， \sqrt{3}， y$$成等比数列，则正实数$${{x}{，}{y}}$$的等差中项为（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{±}{2}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['等差中项'， '双曲线的离心率'， '等比中项']正确率60.0%两个正数$${{a}{，}{b}}$$的等差中项是$$\frac{7} {2}，$$一个等比中项是$${{2}{\sqrt {3}}{，}}$$且$${{a}{<}{b}{，}}$$则双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率$${{e}}$$等于（）
A
A.$$\frac{5} {3}$$
B.$$\frac{1 5} {2}$$
C.$$\frac{5} {4}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
8、['等差中项'， '等差数列的定义与证明']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$${{d}}$$，若$$b_{n}=2^{a_{n}}$$，且$$b_{1}+b_{3}=1 7， \， \， b_{2}+b_{4}=6 8$$，则$${{d}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['古典概型的概率计算公式'， '等差中项'， '古典概型的应用'， '等差数列的定义与证明'， '二项展开式的通项']正确率40.0%在二项式$$( \sqrt{x}+\frac{1} {2 \sqrt{x}} )^{n}$$的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（）
D
A.$$\frac{1} {6}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$$\frac{1} {3}$$
D.$$\frac{5} {1 2}$$
10、['等差中项'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{2}+a_{8}=1 6， \， \， a_{4}=6$$，则公差$${{d}}$$的值是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{0}{2}}$$
1. 由于$$B$$是$$A$$和$$C$$的等差中项，故$$2B = A + C$$。又因为$$A + B + C = \pi$$，所以$$3B = \pi$$，即$$B = \frac{\pi}{3}$$。根据正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
其中$$2R = \frac{b}{\sin B} = \frac{\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi}{3}} = 2$$。因此$$a + c = 2(\sin A + \sin C)$$。利用和差化积公式：
$$\sin A + \sin C = 2 \sin \left( \frac{A + C}{2} \right) \cos \left( \frac{A - C}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi - B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - C}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \left( \frac{A - C}{2} \right)$$
所以$$a + c = 2 \sqrt{3} \cos \left( \frac{A - C}{2} \right)$$，当$$A = C$$时取得最大值$$2 \sqrt{3}$$。答案为$$B$$。
2. 设等比数列$$\{a_n\}$$的公比为$$q$$，则$$a_4 \cdot a_8 \cdot a_9 = a_1^3 q^{18} = -3 \sqrt{3}$$，解得$$a_1 q^6 = -\sqrt{3}$$。设等差数列$$\{b_n\}$$的公差为$$d$$，则$$b_4 + b_8 + b_9 = 3b_1 + 18d = 5\pi$$，解得$$b_1 + 6d = \frac{5\pi}{3}$$。因此：
$$\tan \frac{b_4 + b_{10}}{a_3 \cdot a_{11} - 1} = \tan \frac{2b_1 + 12d}{(a_1 q^2)(a_1 q^{10}) - 1} = \tan \frac{2 \cdot \frac{5\pi}{3}}{(-\sqrt{3})^2 - 1} = \tan \frac{10\pi}{9} = \tan \left( \pi + \frac{\pi}{9} \right) = \tan \frac{\pi}{9}$$
但题目选项中没有$$\tan \frac{\pi}{9}$$，可能计算有误。重新检查：
注意到$$a_3 \cdot a_{11} = a_7^2 = (a_1 q^6)^2 = 3$$，因此分母为$$3 - 1 = 2$$。分子$$b_4 + b_{10} = 2b_7 = 2 \left( b_1 + 6d \right) = \frac{10\pi}{3}$$。所以：
$$\tan \frac{\frac{10\pi}{3}}{2} = \tan \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}$$
答案为$$A$$。
3. 由于$$A, B, C$$成等差数列，故$$2B = A + C$$，且$$A + B + C = \pi$$，解得$$B = \frac{\pi}{3}$$。根据余弦定理：
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = a^2 + c^2 - ac$$
由不等式$$a^2 + c^2 \geq 2ac$$，得$$b^2 \geq ac$$。又因为$$(a + c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac \leq 3(a^2 + c^2 - ac) = 3b^2$$，所以$$a + c \leq \sqrt{3} b \leq 2b$$（因为$$\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$$）。答案为$$C$$。
4. 由题意，$$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$$。利用$$\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$$，得：
$$2 \cot B = \cot A + \cot C$$
根据正弦定理和余弦定理，化简得：
$$2 \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}$$
其中$$S$$为三角形面积。化简后得$$2a^2 + 2c^2 - 2b^2 = 2b^2$$，即$$a^2 + c^2 = 2b^2$$。因此$$a^2, b^2, c^2$$成等差数列。答案为$$B$$。
5. 题目描述不完整，假设向量$$\vec{m} = (1, 2, y)$$与某向量垂直，且$$x, \sqrt{3}, y$$成等比数列。由等比数列性质：
$$(\sqrt{3})^2 = x y \Rightarrow 3 = x y$$
又因为$$\vec{m}$$与某向量垂直，假设与$$\vec{n} = (x, \sqrt{3}, 0)$$垂直，则：
$$\vec{m} \cdot \vec{n} = x + 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = -2\sqrt{3}$$
但$$x$$为正实数，矛盾。可能题目描述有误。若假设$$\vec{m}$$与自身垂直，则$$1 + 4 + y^2 = 0$$无解。因此无法确定答案。
6. 由题意：
$$\frac{a + b}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow a + b = 7$$
$$\sqrt{a b} = 2 \sqrt{3} \Rightarrow a b = 12$$
解得$$a = 3$$，$$b = 4$$（因为$$a < b$$）。双曲线的离心率：
$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$$
答案为$$A$$。
8. 设$$a_n = a_1 + (n-1)d$$，则$$b_n = 2^{a_n}$$。由题意：
$$b_1 + b_3 = 2^{a_1} + 2^{a_1 + 2d} = 17$$
$$b_2 + b_4 = 2^{a_1 + d} + 2^{a_1 + 3d} = 68$$
设$$2^{a_1} = x$$，$$2^d = y$$，则：
$$x + x y^2 = 17$$
$$x y + x y^3 = 68$$
由第二式得$$x y (1 + y^2) = 68$$，结合第一式$$x (1 + y^2) = 17$$，解得$$y = 4$$，$$x = 1$$。因此$$d = 2$$。答案为$$B$$。
9. 二项式展开的前三项系数为$$1$$，$$\frac{n}{2}$$，$$\frac{n(n-1)}{8}$$。由等差数列性质：
$$2 \cdot \frac{n}{2} = 1 + \frac{n(n-1)}{8} \Rightarrow n = 8$$
展开式共有$$9$$项，有理项为第$$1$$、$$3$$、$$5$$、$$7$$、$$9$$项（共$$5$$项）。不相邻的概率为：
$$\frac{\text{非有理项排列数} \times \text{有理项插入空隙数}}{\text{总排列数}} = \frac{4! \times C(5, 4)}{9!} = \frac{24 \times 5}{362880} = \frac{1}{3024}$$
但选项中没有此答案，可能计算有误。更简单的方法是总排列数为$$9!$$，不相邻的排列数为$$4! \times 5!$$，概率为$$\frac{4! \times 5!}{9!} = \frac{1}{126}$$。仍不匹配选项。可能题目理解有误。
10. 由等差数列性质：
$$a_2 + a_8 = 2a_5 = 16 \Rightarrow a_5 = 8$$
又$$a_4 = 6$$，故公差$$d = a_5 - a_4 = 2$$。答案为$$A$$。