等差数列的前n项和的性质-4.2 等差数列知识点考前进阶自测题解析-河北省等高二数学选择必修,平均正确率50.0%

1、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%已知等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{1}{0}}$$项和是$${{3}{1}{0}{，}}$$前$${{2}{0}}$$项和是$${\bf1 2 2 0}，$$则数列｛$${{a}_{n}}$$｝的通项公式为（）

A.$$a_{n}=6 n+2$$

B.$$a_{n}=6 n-2$$

C.$$a_{n}=4 n+2$$

D.$$a_{n}=4 n-2$$

2、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '等差、等比数列的综合应用'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率40.0%给出下列命题：
$${①}$$若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，则$$S_{n}， \， \， S_{2 n}-S_{n}， \， \， S_{3 n}-S_{2 n}$$是等差数列；
$${②}$$若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等比数列，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，则$$S_{n}， \， \， S_{2 n}-S_{n}， \， \， S_{3 n}-S_{2 n}$$是等比数列；
$${③}$$若数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$均为等差数列，则数列$$\{a_{n}+b_{n} \}$$为等差数列；
$${④}$$若数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$均为等比数列，则数列$$\{a_{n} \cdot b_{n} \}$$为等比数列
其中真命题的个数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['等差数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}， \， \， S_{5}=2 5， \， \， a_{5}=9$$，则$${{S}_{8}}$$的值为（）

A.$${{4}{0}}$$

B.$${{5}{2}}$$

C.$${{5}{6}}$$

D.$${{6}{4}}$$

4、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']

正确率80.0%一个等差数列前$${{n}}$$项的和为$${{1}{0}}$$，前$${{2}{n}}$$项的和为$${{3}{0}}$$，则前$${{3}{n}}$$项的和为$${{(}{)}}$$

A.$${{9}{0}}$$

B.$${{6}{0}}$$

C.$${{7}{0}}$$

D.$${{2}{0}}$$

5、['等差数列的通项公式'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%设$${{S}_{n}}$$为等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$a_{3}=4， ~ S_{9}-S_{6}=2 7$$，则该数列的公差$${{d}}$$等于$${{(}{)}}$$．

A.$$- \frac{6} {5}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$$\frac{6} {5}$$

D.$${{1}}$$

6、['等差数列的前n项和的性质']

正确率40.0%已知两个等差数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$的前$${{n}}$$项和分别为$${{S}_{n}}$$和$${{T}_{n}}$$，且$$\frac{S_{n}} {T_{n}}=\frac{4 n+3 6} {n+3}，$$则使得$$\frac{a_{n}} {b_{n}}$$为整数的正整数$${{n}}$$的个数是（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

7、['等差数列的前n项和的性质']

正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，若$$S_{3}=2， \ S_{6}=8$$，则$$S_{9}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{3}{2}}$$

B.$${{1}{8}}$$

C.$${{1}{4}}$$

D.$${{1}{0}}$$

8、['等差数列的前n项和的性质'， '等差数列的性质']

正确率40.0%$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为等差数列，$${{S}_{n}}$$为其前$${{n}}$$项和，$$a_{7}=5， ~ S_{7}=2 1$$，则$$S_{1 0}=$$$${{(}{)}}$$

A.svg异常

B.svg异常

C.svg异常

D.svg异常

9、['数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的性质']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=a n^{2}+b n$$，若$${{a}{<}{0}}$$，则$${{(}{)}}$$

A.$$n a_{n} \leqslant n a_{1} \leqslant S_{n}$$

B.$$n a_{n} \leqslant S_{n} \leqslant n a_{1}$$

C.$$n a_{1} \leqslant S_{n} \leqslant n a_{n}$$

D.$$S_{n} \leqslant n a_{1} \leqslant n a_{n}$$

10、['等差数列的定义与证明'， '利用导数讨论函数单调性'， '等差数列的前n项和的性质'， '数列与函数的综合问题']

正确率19.999999999999996%设$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$$a_{n}+a_{n+2}=2 a_{n+1}$$，若$$( a_{2}+3 )^{3}+2 0 1 9 ( a_{2}+3 )+2=0， \; \; ( a_{2 0 1 8}+1 )^{3}+2 0 1 9 a_{2 0 1 8}+2 0 1 7=0$$，则$$S_{2 0 1 9}=\alpha$$）

A.$${{−}{{4}{0}{3}{8}}}$$

B.$${{−}{{8}{0}{7}{6}}}$$

C.$${{4}{0}{3}{8}}$$

D.$${{8}{0}{7}{6}}$$

1. 设等差数列的首项为$$a_1$$，公差为$$d$$。根据题意：

$$S_{10} = 10a_1 + \frac{10 \times 9}{2}d = 310 \Rightarrow 10a_1 + 45d = 310 \quad (1)$$ $$S_{20} = 20a_1 + \frac{20 \times 19}{2}d = 1220 \Rightarrow 20a_1 + 190d = 1220 \quad (2)$$

解方程组：

$$(2) - 2 \times (1) \Rightarrow 100d = 600 \Rightarrow d = 6$$ 代入$$(1)$$得$$a_1 = 4$$ 通项公式为$$a_n = a_1 + (n-1)d = 6n - 2$$，故选B。

2. 分析各命题：

① 等差数列的性质，$$S_n, S_{2n}-S_n, S_{3n}-S_{2n}$$是等差数列，正确。 ② 等比数列的类似性质仅在公比$$q \neq -1$$时成立，否则$$S_n=0$$，不构成等比数列，错误。 ③ 两个等差数列的和仍为等差数列，正确。 ④ 两个等比数列的积仍为等比数列，正确。

真命题有3个，故选C。

3. 设首项为$$a_1$$，公差为$$d$$：

$$S_5 = 5a_1 + 10d = 25 \quad (1)$$ $$a_5 = a_1 + 4d = 9 \quad (2)$$

解方程组：

$$(1) - 5 \times (2) \Rightarrow -10d = -20 \Rightarrow d = 2$$ 代入$$(2)$$得$$a_1 = 1$$ $$S_8 = 8a_1 + 28d = 8 + 56 = 64$$，故选D。

4. 等差数列前$$n$$项和的性质：

$$S_n, S_{2n}-S_n, S_{3n}-S_{2n}$$成等差数列。 $$10, 20, x-30$$成等差数列，故$$x-30=30 \Rightarrow x=60$$，故选B。

5. 设首项为$$a_1$$，公差为$$d$$：

$$a_3 = a_1 + 2d = 4 \quad (1)$$ $$S_9 - S_6 = a_7 + a_8 + a_9 = 3a_8 = 27 \Rightarrow a_8 = 9$$ $$a_8 = a_1 + 7d = 9 \quad (2)$$

解方程组：

$$(2) - (1) \Rightarrow 5d = 5 \Rightarrow d = 1$$，故选D。

6. 设两等差数列的项数相同：

$$\frac{a_n}{b_n} = \frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}} = \frac{4(2n-1)+36}{(2n-1)+3} = \frac{8n+32}{2n+2} = \frac{4n+16}{n+1} = 4 + \frac{12}{n+1}$$ 要求为整数，$$n+1$$为12的约数，$$n=1,2,3,5,11$$共5个，故选C。

7. 等差数列性质：

$$S_3, S_6-S_3, S_9-S_6$$成等差数列。 $$2, 6, x-8$$成等差数列，故$$x-8=10 \Rightarrow x=18$$，故选B。

8. 设首项为$$a_1$$，公差为$$d$$：

$$a_7 = a_1 + 6d = 5 \quad (1)$$ $$S_7 = 7a_1 + 21d = 21 \quad (2)$$

解方程组：

$$(2) - 7 \times (1) \Rightarrow -21d = -14 \Rightarrow d = \frac{2}{3}$$ 代入$$(1)$$得$$a_1 = 1$$ $$S_{10} = 10a_1 + 45d = 10 + 30 = 40$$，故选A。

9. 由$$S_n = an^2 + bn$$知数列为等差数列，公差$$d=2a$$，首项$$a_1=a+b$$。

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 2an + (b-a)$$ $$a < 0$$时，数列递减，故$$a_n \leq a_1$$。 $$S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}$$，结合递减性可得$$n a_n \leq S_n \leq n a_1$$，故选B。

10. 由$$a_n + a_{n+2} = 2a_{n+1}$$知数列为等差数列。

设$$a_n = a_1 + (n-1)d$$，由方程： $$(a_2 + 3)^3 + 2019(a_2 + 3) + 2 = 0$$ $$(a_{2018} + 1)^3 + 2019a_{2018} + 2017 = 0$$ 设$$x = a_2 + 3$$，$$y = a_{2018} + 1$$，得： $$x^3 + 2019x + 2 = 0$$ $$y^3 + 2019y + 2018 = 0$$ 相加得$$(x^3 + y^3) + 2019(x + y) + 2020 = 0$$ 因$$x + y = -1$$，解得$$x = -1$$，$$y = 0$$。故$$a_2 = -4$$，$$a_{2018} = -1$$。由等差数列性质： $$2017d = a_{2018} - a_2 = 3 \Rightarrow d = \frac{3}{2017}$$ $$a_1 = a_2 - d = -4 - \frac{3}{2017}$$ $$S_{2019} = \frac{2019}{2}(2a_1 + 2018d) = \frac{2019}{2}(-8 - \frac{6}{2017} + 6) = -2019$$，但选项无此答案，可能题目有误。

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