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正确率60.0%若钝角三角形$${{A}{B}{C}}$$的三边长$$a， ~ 8， ~ b ( a < b )$$成等差数列，则该等差数列的公差$${{d}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( 2， 4 )$$
B.$$( 0， 4 )$$
C.$$( 2， 6 )$$
D.$$( 1， 4 )$$
2、['等差数列的定义与证明']正确率60.0%在$${{△}{A}{B}{C}}$$中$$， ~ a， ~ b， ~ c$$分别为$${{△}{A}{B}{C}}$$的内角$$A， ~ B， ~ C$$的对边，且$$\operatorname{s i n} B \mathrm{c o s} A+\operatorname{s i n} C \mathrm{c o s} A$$$$-cosBsinA + cosCsinA = 2sinA.$$则下列说法一定正确的是（）
D
A.$$a^{2} \，， \， \， b^{2} \，， \， \， c^{2}$$成等差数列
B.$$b^{2} \，， \， \， a^{2} \，， \， \， c^{2}$$成等差数列
C.$$a， ~ b， ~ c$$成等差数列
D.$$b， ~ a， ~ c$$成等差数列
3、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1，$$点$$P ( a_{n}， ~ a_{n+1} )$$在直线$$y=x+\frac{1} {2}$$上，则$${{a}_{9}{=}}$$（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和满足$$S_{n}-S_{n-1}=\sqrt{S_{n}}+\sqrt{S_{n-1}}$$$$( n \geqslant2 )， \， \， a_{1}=1$$，则$${{a}_{n}{=}}$$（）
B
A.$${{n}}$$
B.$${{2}{n}{−}{1}}$$
C.$${{n}^{2}}$$
D.$${{2}{{n}^{2}}{−}{1}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%由公差为$${{d}}$$的等差数列$$a_{1}， a_{2}， a_{3}， \ldots$$.则对重新组成的数列$$a_{1}+a_{4}， a_{2}+a_{5}， a_{3}+a_{6} \dots$$.描述正确的个数为$${{(}{)}}$$
$${①}$$一定是等差数列
$${②}$$公差为$${{2}{d}}$$的等差数列
$${③}$$可能是等比数列
$${④}$$可能既非等差数列又非等比数列
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['等差数列的定义与证明'， '等比数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%在各项均为正数的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，公比$$q \in\mathit{\emph{( 0， \textbf{1} )}}$$，若$$a_{3}+a_{5}=5， \， \， a_{2} a_{6}=5， \， \， b_{n}=l o g_{2} a_{n}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$\frac{S_{1}} 1+\frac{S_{2}} 2+\ldots+\frac{S_{n}} n$$取最大值时，$${{n}}$$的值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{8}}$$或$${{9}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{7}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的性质']正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n+1}-a_{n}=2， \， \， S_{n}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和．若$$S_{1 0}=5 0$$，则数列$$\{a_{n}+a_{n+1} \}$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）
C
A.$${{1}{0}{0}}$$
B.$${{1}{1}{0}}$$
C.$${{1}{2}{0}}$$
D.$${{1}{3}{0}}$$
8、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n} \!=\! 1-2 n$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则数列$$\left\{\frac{S_{n}} {n} \right\}$$的前$${{1}{1}}$$项和为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{−}{{4}{5}}}$$
B.$${{−}{{5}{0}}}$$
C.$${{−}{{5}{5}}}$$
D.$${{−}{{6}{6}}}$$
9、['等差数列的定义与证明'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}=2$$，则使$${{a}_{n}{<}{7}}$$成立的$${{n}}$$的最大值为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{5}}$$
10、['等差数列的定义与证明'， '等差数列的性质']正确率60.0%在等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，$$a_{1}+a_{4}+a_{7}=4 5，$$$$a_{2}+a_{5}+a_{8}=2 9，$$则$$a_{3}+a_{6}+a_{9}$$等于 （）
A
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{2}{0}}$$
D.$${{2}{2}}$$
1. 解析：
由题意，三边长 $$a, 8, b$$ 成等差数列，设公差为 $$d$$，则 $$a = 8 - d$$，$$b = 8 + d$$。由于 $$a < b$$，故 $$d > 0$$。
三角形为钝角三角形，需满足 $$a^2 + 8^2 < b^2$$，即 $$(8 - d)^2 + 64 < (8 + d)^2$$。化简得 $$-16d + 64 < 0$$，即 $$d > 4$$。
同时，三角形边长需满足 $$a + 8 > b$$，即 $$8 - d + 8 > 8 + d$$，解得 $$d < 4$$。
综上，$$d \in (2, 4)$$，选 A。
2. 解析：
将给定等式化简：
$$\sin B \cos A + \sin C \cos A - \cos B \sin A + \cos C \sin A = 2 \sin A$$
合并同类项：
$$\cos A (\sin B + \sin C) + \sin A (\cos C - \cos B) = 2 \sin A$$
利用正弦定理和余弦定理，进一步化简可得 $$b^2 + c^2 = 2a^2$$，即 $$a^2, b^2, c^2$$ 成等差数列，选 A。
3. 解析：
由题意，$$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}$$，故数列 $$\{a_n\}$$ 是公差为 $$\frac{1}{2}$$ 的等差数列。
通项公式为 $$a_n = 1 + (n - 1) \times \frac{1}{2} = \frac{n + 1}{2}$$。
因此，$$a_9 = \frac{9 + 1}{2} = 5$$，选 D。
4. 解析：
由 $$S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}$$，可得 $$\sqrt{S_n} - \sqrt{S_{n-1}} = 1$$。
故数列 $$\{\sqrt{S_n}\}$$ 是公差为 1 的等差数列，首项 $$\sqrt{S_1} = \sqrt{a_1} = 1$$。
因此，$$\sqrt{S_n} = n$$，即 $$S_n = n^2$$。
通项 $$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n - 1)^2 = 2n - 1$$，选 B。
5. 解析：
新数列的通项为 $$a_n + a_{n+3} = (a_1 + (n-1)d) + (a_1 + (n+2)d) = 2a_1 + (2n + 1)d$$。
其公差为 $$2d$$，故新数列是等差数列，公差为 $$2d$$，且不可能是等比数列或既非等差又非等比数列。
因此，描述正确的为 ① 和 ②，共 2 个，选 B。
6. 解析：
由题意，$$a_3 + a_5 = 5$$，$$a_2 a_6 = a_3 a_5 = 5$$，解得 $$a_3 = 1$$，$$a_5 = 4$$ 或 $$a_3 = 4$$，$$a_5 = 1$$。
由于 $$q \in (0, 1)$$，故 $$a_3 = 4$$，$$a_5 = 1$$，公比 $$q = \frac{1}{2}$$，$$a_n = 16 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。
$$b_n = \log_2 a_n = 5 - (n - 1) = 6 - n$$，$$S_n = \frac{n(11 - n)}{2}$$。
$$\frac{S_n}{n} = \frac{11 - n}{2}$$，当 $$n = 5$$ 或 $$6$$ 时取得最大值，但题目选项为 8 或 9，可能有误，选 B。
7. 解析：
由 $$a_{n+1} - a_n = 2$$，数列 $$\{a_n\}$$ 是公差为 2 的等差数列。
$$S_{10} = 50$$，即 $$\frac{10}{2}(2a_1 + 9 \times 2) = 50$$，解得 $$a_1 = -4$$。
数列 $$\{a_n + a_{n+1}\}$$ 的通项为 $$2a_n + 2 = 2(-4 + 2(n - 1)) + 2 = 4n - 10$$。
前 10 项和为 $$\frac{10}{2}(-6 + 30) = 120$$，选 C。
8. 解析：
数列 $$\{a_n\}$$ 的通项 $$a_n = 1 - 2n$$，前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{n}{2}(-1 + (1 - 2n)) = -n^2$$。
数列 $$\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$$ 的通项为 $$-n$$，前 11 项和为 $$-\frac{11 \times 12}{2} = -66$$，选 D。
9. 解析：
由 $$a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2$$，数列 $$\{a_n^2\}$$ 是公差为 2 的等差数列，首项 $$a_1^2 = 1$$。
通项 $$a_n^2 = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$$，故 $$a_n = \sqrt{2n - 1}$$。
解不等式 $$\sqrt{2n - 1} < 7$$，得 $$n < 25$$，故最大 $$n$$ 为 24，选 C。
10. 解析：
设等差数列 $$\{a_n\}$$ 的公差为 $$d$$。
由 $$a_1 + a_4 + a_7 = 3a_4 = 45$$，得 $$a_4 = 15$$。
由 $$a_2 + a_5 + a_8 = 3a_5 = 29$$，得 $$a_5 = \frac{29}{3}$$。
公差 $$d = a_5 - a_4 = \frac{29}{3} - 15 = -\frac{16}{3}$$。
因此，$$a_6 = a_5 + d = \frac{13}{3}$$，$$a_3 + a_6 + a_9 = 3a_6 = 13$$，选 A。