等差数列的基本量-4.2 等差数列知识点课后进阶选择题自测题答案-江苏省等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1. 该问题描述了一个等差数列的织布量：首项 $$a_1 = 5$$，末项 $$a_{30} = 1$$，天数 $$n = 30$$。设公差为 $$d$$，由等差数列通项公式：$$a_n = a_1 + (n-1)d$$，代入得：$$1 = 5 + 29d$$，解得：$$d = -\frac{4}{29}$$。

求第11天织布量：$$a_{11} = a_1 + 10d = 5 + 10 \times (-\frac{4}{29}) = 5 - \frac{40}{29} = \frac{145 - 40}{29} = \frac{105}{29}$$。

答案：B

2. 在等差数列中，$$a_2 + a_6 = (a_1 + d) + (a_1 + 5d) = 2a_1 + 6d = 10$$，即 $$a_1 + 3d = 5$$。又 $$a_5 = a_1 + 4d = 9$$。

联立方程：$$\begin{cases} a_1 + 3d = 5 \\ a_1 + 4d = 9 \end{cases}$$，相减得：$$d = 4$$，代入得 $$a_1 = -7$$。

则 $$a_{10} = a_1 + 9d = -7 + 36 = 29$$。

答案：D

3. 已知 $$a_1 = 1$$，且 $$a_1, a_2, a_4$$ 成等比数列，即 $$(a_2)^2 = a_1 \cdot a_4$$。

代入通项：$$a_2 = 1 + d$$，$$a_4 = 1 + 3d$$，得：$$(1 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 3d)$$，即 $$1 + 2d + d^2 = 1 + 3d$$，整理得：$$d^2 - d = 0$$，解得 $$d = 1$$（因 $$d \neq 0$$）。

前 $$n$$ 项和：$$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} (2 + n - 1) = \frac{n(n + 1)}{2}$$。

答案：D

4. 给定 $$a_n (4 + \cos n\pi) = n (2 - \cos n\pi)$$。注意 $$\cos n\pi = (-1)^n$$。

当 $$n$$ 为奇数时，$$\cos n\pi = -1$$，则 $$a_n (4 - 1) = n (2 + 1)$$，即 $$3a_n = 3n$$，所以 $$a_n = n$$。

当 $$n$$ 为偶数时，$$\cos n\pi = 1$$，则 $$a_n (4 + 1) = n (2 - 1)$$，即 $$5a_n = n$$，所以 $$a_n = \frac{n}{5}$$。

求 $$S_{40} = \sum_{k=1}^{40} a_k$$。将奇偶项分开：

奇数项和：$$\sum_{m=1}^{20} (2m - 1) = 20^2 = 400$$。

偶数项和：$$\sum_{m=1}^{20} \frac{2m}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{20 \cdot 21}{2} = \frac{2}{5} \cdot 210 = 84$$。

总和：$$S_{40} = 400 + 84 = 484$$。

答案：D

5. 等差数列前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$。

已知 $$S_9 = 27$$，即 $$\frac{9}{2} (2a_1 + 8d) = 27$$，化简得：$$2a_1 + 8d = 6$$，即 $$a_1 + 4d = 3$$。

求 $$S_6 - S_3 = [\frac{6}{2} (2a_1 + 5d)] - [\frac{3}{2} (2a_1 + 2d)] = 3(2a_1 + 5d) - \frac{3}{2}(2a_1 + 2d) = 6a_1 + 15d - 3a_1 - 3d = 3a_1 + 12d$$。

由 $$a_1 + 4d = 3$$，得 $$3a_1 + 12d = 3(a_1 + 4d) = 3 \times 3 = 9$$。

答案：B

6. 对任意正整数 $$n$$，有 $$a_n + a_{n+1} = 2n + 3$$。

当 $$n = 1$$ 时：$$a_1 + a_2 = 5$$。

当 $$n = 2$$ 时：$$a_2 + a_3 = 7$$。

当 $$n = 3$$ 时：$$a_3 + a_4 = 9$$。

观察得：$$a_{n+1} - a_{n-1} = (a_{n+1} + a_n) - (a_n + a_{n-1}) = (2n + 3) - (2(n-1) + 3) = 2$$（$$n \geq 2$$）。

即奇数项和偶数项分别构成公差为2的等差数列。

求 $$a_{2019}$$：2019为奇数，设 $$a_1 = x$$，则奇数项公差为2。

由 $$a_1 + a_2 = 5$$，且 $$a_2 = a_1 + d_{even}$$？更直接：由 $$a_1 + a_2 = 5$$ 和 $$a_2 + a_3 = 7$$，得 $$a_3 - a_1 = 2$$，验证奇数项公差为2。

实际上，由 $$a_{n+1} - a_{n-1} = 2$$，对奇数 $$n$$，即间隔2项差为2。

所以 $$a_{2019} = a_1 + (\frac{2019 - 1}{2}) \times 2 = a_1 + 2018$$。

需确定 $$a_1$$：由 $$a_1 + a_2 = 5$$ 和 $$a_2 + a_3 = 7$$，及 $$a_3 = a_1 + 2$$，代入得：$$a_2 = 5 - a_1$$，且 $$(5 - a_1) + (a_1 + 2) = 7$$，恒成立。无法确定 $$a_1$$？但选项为具体数，暗示所有可能序列的 $$a_{2019}$$ 相同。

实际上，由递推，$$a_{2019}$$ 可求：令 $$n = 2018$$：$$a_{2018} + a_{2019} = 2 \times 2018 + 3 = 4039$$。

令 $$n = 2019$$：$$a_{2019} + a_{2020} = 2 \times 2019 + 3 = 4041$$。

两式相减：$$a_{2020} - a_{2018} = 2$$，但不止于此。

正确做法：写出前几项：设 $$a_1 = c$$，则 $$a_2 = 5 - c$$。

由 $$a_2 + a_3 = 7$$，得 $$a_3 = 7 - a_2 = 7 - (5 - c) = 2 + c$$。

由 $$a_3 + a_4 = 9$$，得 $$a_4 = 9 - a_3 = 9 - (2 + c) = 7 - c$$。

由 $$a_4 + a_5 = 11$$，得 $$a_5 = 11 - a_4 = 11 - (7 - c) = 4 + c$$。

可见奇数项：$$a_1 = c$$, $$a_3 = c + 2$$, $$a_5 = c + 4$$,... 公差2。

偶数项：$$a_2 = 5 - c$$, $$a_4 = 7 - c$$, $$a_6 = 9 - c$$,... 公差2。

所以 $$a_{2019}$$ 为奇数项，$$a_{2019} = a_1 + (\frac{2019 - 1}{2}) \times 2 = c + 2018$$。

但 $$c$$ 未定？然而由选项，应为定值，可能题目有误或理解偏差。实际上，由 $$a_n + a_{n+1} = 2n + 3$$，这是递推，但首项自由？但选项为2018,2019,2020,2021，接近 $$n$$。

注意：当 $$n$$ 很大，$$a_n \approx n$$，但精确：由 $$a_{2019} + a_{2020} = 4041$$ 和 $$a_{2020} + a_{2021} = 4043$$，相减得 $$a_{2021} - a_{2019} = 2$$，但需求 $$a_{2019}$$。

另一种思路：$$a_{n+1} - a_{n-1} = 2$$，所以奇数项和偶数项均为公差2的等差数列。

则 $$a_{2019} = a_1 + 1009 \times 2$$，但 $$a_1$$ 未知。

然而，结合选项，可能题目本意是常数列？但不对。

重新审题："若对任意正整数 n, a_n + a_{n+1} = 2n + 3 恒成立"，这强制了序列。

实际上，可解出通项：由 $$a_n + a_{n+1} = 2n + 3$$ 和 $$a_{n-1} + a_n = 2(n-1) + 3 = 2n + 1$$（n>=2）。

相减得：$$a_{n+1} - a_{n-1} = 2$$，对 n>=2。

所以，当 n 为奇数，令 n=2k-1，则 $$a_{2k} - a_{2k-2} = 2$$。

当 n 为偶数，令 n=2k，则 $$a_{2k+1} - a_{2k-1} = 2$$。

所以奇偶子列公差均为2。

由 $$a_1 + a_2 = 5$$，且 $$a_2 + a_3 = 7$$，得 $$a_3 = a_1 + 2$$。

无法确定 $$a_1$$，但 $$a_{2019}$$ 是奇数项，$$a_{2019} = a_1 + (\frac{2019 - 1}{2}) \times 2 = a_1 + 2018$$。

而 $$a_1$$ 可由初始条件？只有一个方程，自由。但选项为固定值，可能题目有误，或我误。

可能 "恒成立" 意味着对 all n，包括 n=0？但 n 为正整数。

或许序列是唯一的？由 $$a_1 + a_2 = 5$$, $$a_2 + a_3 = 7$$, $$a_3 + a_4 = 9$$,... 可表达所有项 in terms of a1.

但 a2019 仍含 a1。

然而，选项为 2018,2019,2020,2021，接近 index，所以可能 a1=1？例如，若 a1=1，则 a2=4, a3=3, a4=6, a5=5,... 模式：奇数项:1,3,5,...；偶数项:4,6,8,...；则 a2019=1+1009*2=2019。

且满足 a_n + a_{n+1}：1+4=5, 4+3=7, 3+6=9, 6+5=11,... 正确。

所以 a1=1，则 a2019=2019。

答案：B

7. 等差数列中，$$b_{20} = b_8 + 12d$$，即 $$24 = 12 + 12d$$，解得 $$d = 1$$。

答案：D

8. 在等差数列中，$$a_5 + a_9 = 2a_7$$，所以 $$2a_5 + 3a_7 + 2a_9 = 2(a_5 + a_9) + 3a_7 = 4a_7 + 3a_7 = 7a_7 = 14$$，得 $$a_7 = 2$$。

则 $$S_{13} = \frac{13}{2} (a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2} \times 2a_7 = 13 \times 2 = 26$$。

答案：A

9. 给定 $$S_n = \frac{n}{n-1} (a_n^2 - a_1^2)$$ 对 $$n \geq 2$$。

令 $$n=2$$：$$S_2 = \frac{2}{1} (a_2^2 - a_1^2) = 2(a_2^2 - a_1^2)$$。

但 $$S_2 = a_1 + a_2$$，所以 $$a_1 + a_2 = 2(a_2^2 - a_1^2) = 2(a_2 - a_1)(a_2 + a_1)$$。

因 $$a_n > 0$$，可除以 $$a_1 + a_2$$：$$1 = 2(a_2 - a_1)$$，得 $$a_2 - a_1 = \frac{1}{2}$$。

令 $$n=3$$：$$S_3 = \frac{3}{2} (a_3^2 - a_1^2)$$，即 $$a_1 + a_2 + a_3 = \frac{3}{2} (a_3 - a_1)(a_3 + a_1)$$。

由等差，设公差 d，则 $$a_2 = a_1 + d$$, $$a_3 = a_1 + 2d$$，且 d=1/2。

代入：$$a_1 + (a_1 + \frac{1}{2}) + (a_1 + 1) = \frac{3}{2} [(a_1 + 1) - a_1] [(a_1 + 1) + a_1] = \frac{3}{2} \times 1 \times (2a_1 + 1)$$。

左边：$$3a_1 + \frac{3}{2}$$，右边：$$\frac{3}{2} (2a_1 + 1) = 3a_1 + \frac{3}{2}$$，恒成立。

所以公差 $$d = \frac{1}{2}$$。

则 $$S_{20} = \frac{20}{2} [2a_1 + 19d] = 10 (2a_1 + \frac{19}{2})$$。

$$S_{10} = \frac{10}{2} [2a_1 + 9d] = 5 (2a_1 + \frac{9}{2})$$。

所以 $$S_{20} - 2S_{10} = 10 (2a_1 + \frac{19}{2}) - 2 \times 5 (2a_1 + \frac{9}{2}) = 10 (2a_1 + \frac{19}{2}) - 10 (2a_1 + \frac{9}{2}) = 10 \times (\frac{19}{2} - \frac{9}{2}) = 10 \times 5 = 50$$。

答案：A

10. 在等差数列中，$$a_4 + a_8 = 2a_6 = 4$$，所以 $$a_6 = 2$$。

又 $$a_{10 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}