数列的递推公式-4.1 数列的概念知识点教师选题进阶选择题自测题解析-广东省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['余弦定理及其应用'， '数列的递推公式'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%设$${{△}{{A}_{n}}{{B}_{n}}{{C}_{n}}}$$的三边长分别为$$a_{n}， \， \， b_{n}， \， \， c_{n}， \， \， n \in N^{*}$$，若$$a_{n+1}=a_{n}， \ b_{1}+c_{1}=2 \sqrt{3} a_{1}， \ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3} a_{n}+c_{n}} {2}， \ c_{n+1}=\frac{\sqrt{3} a_{n}+b_{n}} {2}$$则$${{c}{o}{s}{{A}_{n}}}$$的最小值是（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\frac{5} {6}$$

D.$$\begin{array} {c} {6} \\ {\frac{7} {}} \\ \end{array}$$

2、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列的基本量']

正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}-a_{n}-1=2^{n}，$$则$${{a}_{n}}$$等于（）

A.$$2^{n}+n-2$$

B.$$2^{n-1}+n-1$$

C.$$2^{n+1}+n-4$$

D.$$2^{n+1}+2 n-2$$

3、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$满足$$x_{n+3} \!=\! x_{n}， \， \， x_{n+2} \!=\! | x_{n+1} \!-\! x_{n} | \， ( n {\in} \mathbf{N^{*}} )$$，若$$x_{1} \!=\! 1， \， \， \， x_{2} \!=\! a \， ( a {\le} 1， a {\ne} 0 )$$，则数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}{1}{8}}$$项的和$$S_{2 0 1 8}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{6}{6}{9}}$$

B.$$6 7 0+a$$

C.$${{{1}{3}{4}{5}}{+}{a}}$$

D.$${{1}{3}{3}{8}}$$

4、['数列的递推公式'， '数列的函数特征']

正确率60.0%对于数列$$\left\{a_{n} \right\}， \， \， a_{1}=4， \， \， a_{n+1}=f \left( a_{n} \right)$$，$${{n}{∈}{{N}^{+}}}$$，则$$a_{2 0 1 8}$$等于（）

$${{x}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{3}}$$	$${{4}}$$	$${{5}}$$
$${{f}{{(}{x}{)}}}$$	$${{5}}$$	$${{4}}$$	$${{3}}$$	$${{1}}$$	$${{2}}$$

A.$${{5}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

5、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']

正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1 \l， \ a_{n+1}=a_{n}+\operatorname{l n} ( 1+\frac{1} {n} )$$，则$$a_{n}=( \eta)$$

A.$$1+n l n n$$

B.$$1+( n-1 ) l n n$$

C.$$1+l n n$$

D.$$1+n+l n n$$

6、['数列的递推公式']

正确率40.0%svg异常

A.$$\frac{1} {5}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{3} {5}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

7、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '等比数列的性质'， '等差数列的性质']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n} > 0， \， \， a_{n+1}^{2}=4 S_{n}+4 n+1$$，若不等式$$4 n^{2}-8 n+3 < ~ ( 5-m ) ~ 2^{n} \cdot a_{n}$$对任意的正整数$${{n}}$$恒成立，则整数$${{m}}$$的最大值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

8、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$.若数列$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$是首项为$${{1}}$$，公比为$${{2}}$$的等比数列，则$$a_{2 0 2 0}=$$（）

A.$${{2}{0}{1}{9}}$$

B.$${{2}{0}{2}{0}}$$

C.$$2^{2 0 1 8}$$

D.$$2^{2 0 1 9}$$

9、['数列的递推公式']

正确率0.0%设$$a， ~ b \in\mathbf{R}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=a， \， \， a_{n+1}=a_{n}^{2}+b， \， \， n \in{\bf N}^{*}$$，则（）

A.当$$b=\frac{1} {2}$$时，$$a_{1 0} > 1 0$$

B.当$$b=\frac{1} {4}$$时，$$a_{1 0} > 1 0$$

C.当$${{b}{{=}{−}}{2}}$$时，$$a_{1 0} > 1 0$$

D.当$${{b}{{=}{−}}{4}}$$时，$$a_{1 0} > 1 0$$

10、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是首项为$${{1}}$$的正项数列，$$a_{n+1}=2 a_{n}+3， \ S_{n}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则下列结论正确的是（）
①$${{a}_{3}{=}{{1}{3}}}$$；
②$$S_{n}=2^{n+1}-n-2$$；
③$$a_{n}=4 n-3$$；
④数列$$\{a_{n}+3 \}$$是等比数列.

A.①②

B.①③

C.③④

D.①④

1. 题目解析：

对于三角形$$△A_nB_nC_n$$，边长满足递推关系： $$a_{n+1}=a_n, \quad b_1+c_1=2\sqrt{3}a_1,$$ $$b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}a_n+c_n}{2}, \quad c_{n+1}=\frac{\sqrt{3}a_n+b_n}{2}.$$ 观察到$$b_{n+1}+c_{n+1}=\sqrt{3}a_n+\frac{b_n+c_n}{2}$$，设$$S_n=b_n+c_n$$，则递推关系为： $$S_{n+1}=\sqrt{3}a_n+\frac{S_n}{2}.$$ 由于$$a_n$$为常数，设为$$a$$，解得： $$S_n=2\sqrt{3}a\left(1-\frac{1}{2^n}\right).$$ 由余弦定理： $$\cos A_n=\frac{b_n^2+c_n^2-a^2}{2b_nc_n}.$$ 利用$$b_n+c_n=S_n$$和$$b_{n+1}-c_{n+1}=-\frac{1}{2}(b_n-c_n)$$，可得$$b_n-c_n$$趋于0。因此，当$$n \to \infty$$时，$$b_n=c_n=\sqrt{3}a\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$。代入余弦定理得： $$\cos A_n \geq \frac{(\sqrt{3}a)^2-a^2}{2 \cdot \sqrt{3}a \cdot \sqrt{3}a}=\frac{1}{2}.$$ 最小值为$$\frac{1}{2}$$，选项B正确。

2. 题目解析：

递推关系为： $$a_{n+1}-a_n=2^n+1.$$ 累加得： $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k+1)=1+\frac{2^n-2}{1}+(n-1)=2^n+n-2.$$ 选项A正确。

3. 题目解析：

数列满足$$x_{n+3}=x_n$$，且$$x_{n+2}=|x_{n+1}-x_n|$$。给定$$x_1=1$$，$$x_2=a$$，计算前几项： $$x_3=|a-1|=1-a,$$ $$x_4=|1-a-a|=|1-2a|,$$ $$x_5=||1-2a|-(1-a)|,$$ $$x_6=x_3=1-a, \quad x_7=x_4=|1-2a|, \ldots$$ 数列周期为6。计算前2018项和： $$2018=6 \times 336 + 2,$$ $$S_{2018}=336 \times (1+a+(1-a)+|1-2a|+\ldots)+1+a.$$ 具体计算得$$S_{2018}=1345+a$$，选项C正确。

4. 题目解析：

数列定义为$$a_{n+1}=f(a_n)$$，$$a_1=4$$。根据表格： $$f(1)=5, \quad f(2)=4, \quad f(3)=3, \quad f(4)=1, \quad f(5)=2.$$ 计算前几项： $$a_1=4, \quad a_2=f(4)=1,$$ $$a_3=f(1)=5, \quad a_4=f(5)=2,$$ $$a_5=f(2)=4, \quad a_6=f(4)=1, \ldots$$ 周期为4。$$2018=4 \times 504 + 2$$，故$$a_{2018}=a_2=1$$，选项D正确。

5. 题目解析：

递推关系为： $$a_{n+1}=a_n+\ln\left(1+\frac{1}{n}\right).$$ 累加得： $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=1+\ln\left(\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{k}\right)=1+\ln n.$$ 选项C正确。

7. 题目解析：

递推关系为： $$a_{n+1}^2=4S_n+4n+1.$$ 利用$$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$$，得： $$a_{n+1}^2-a_n^2=4a_n+4.$$ 解得$$a_n=2n-1$$。不等式化为： $$4n^2-8n+3 < (5-m)2^n(2n-1).$$ 分析得$$m < 5-\frac{4n^2-8n+3}{2^n(2n-1)}$$，最大整数$$m=4$$，选项B正确。

8. 题目解析：

数列$$\{S_n\}$$为等比数列，$$S_n=2^{n-1}$$。因此： $$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}-2^{n-2}=2^{n-2} \quad (n \geq 2).$$ $$a_{2020}=2^{2018}$$，选项C正确。

9. 题目解析：

递推关系为$$a_{n+1}=a_n^2+b$$。选项A：$$b=\frac{1}{2}$$，$$a_1=\frac{1}{2}$$时，$$a_{10}$$趋近于不动点$$\frac{1}{2}$$，不满足$$a_{10}>10$$。选项B：$$b=\frac{1}{4}$$，$$a_1=2$$时，$$a_{10}$$会非常大，满足$$a_{10}>10$$。选项C和D：$$b=-2$$或$$b=-4$$时，数列可能发散或循环，不保证$$a_{10}>10$$。选项A正确。

10. 题目解析：

递推关系为$$a_{n+1}=2a_n+3$$，$$a_1=1$$。解递推得： $$a_n=4 \cdot 2^{n-1}-3=2^{n+1}-3.$$ 验证： ①$$a_3=2^4-3=13$$正确； ②$$S_n=\sum_{k=1}^n (2^{k+1}-3)=2^{n+2}-4-3n \neq 2^{n+1}-n-2$$错误； ③$$a_n=4n-3$$错误； ④$$a_n+3=2^{n+1}$$是等比数列正确。选项D正确。

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