数列的递推公式-4.1 数列的概念知识点专题进阶自测题解析-四川省等高二数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['数列的递推公式']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项积为$${{T}_{n}}$$，$${{a}_{1}{=}{2}}$$且$$a_{n+1}=1-\frac{1} {a_{n}}$$，则$$T_{2 0 2 1}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{−}{2}}$$

2、['数列的递推公式']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=2 a_{n}+1 \， \， ( \， n \in N^{*} \， )$$，则$${{a}_{5}{=}{（}}$$）

A.$${{2}{9}}$$

B.$${{3}{0}}$$

C.$${{3}{1}}$$

D.$${{3}{2}}$$

3、['数列的递推公式'， '导数与单调性']

正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，如果存在$${{a}_{k}}$$，使得$$a_{k} \geq a_{k-1}$$且$$a_{k} \geqslant a_{k+1} ( k \geqslant2， k \in{\bf N}^{*} )$$，则称$${{a}_{k}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的一个峰值．若$$a_{n}=t \operatorname{l n} n-n$$，且数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$存在峰值，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$$t < \frac{1} {\operatorname{l n} 2}$$

B.$$0 < t \leq\mathrm{l n} 2$$

C.$$t \geqslant\frac{1} {\operatorname{l n} 2}$$

D.$${{t}{⩽}{{l}{n}}{2}}$$

4、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足：$$S_{n}=2 a_{n}-1 \; ( n \in N^{*} )$$，则该数列的第$${{5}}$$项等于（）

A.$${{1}{5}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{3}{1}}$$

D.$${{3}{2}}$$

5、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{4}}$$且$$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{n+1}$$，设$$b_{n}=\operatorname{l o g}_{2} a_{n}$$，则$$\frac1 {b_{1} b_{2}}+\frac1 {b_{2} b_{3}}+\cdots+\frac1 {b_{2 0 1 7} b_{2 0 1 8}}$$的值是（）

A.$$\frac{2 0 1 7} {4 0 3 8}$$

B.$$\frac{3 0 2 5} {4 0 3 6}$$

C.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$

D.$$\frac{2 0 1 6} {2 0 1 7}$$

6、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1}=1， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}} {1+2 a_{n}}$$，则这个数列的第$${{1}{0}}$$项$$a_{1 0}=\alpha$$）

A.$${{1}{9}}$$

B.$${{2}{1}}$$

C.$$\frac{1} {1 9}$$

D.$$\frac{1} {2 1}$$

7、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式']

正确率40.0%己知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， ~ a_{1}=1$$，当，$${{n}{⩾}{2}}$$时，$$a_{n}+2 S_{n-1}=n$$，则$$S_{2 0 1 8}=\alpha$$）

A.$${{1}{0}{0}{7}}$$

B.$${{1}{0}{0}{8}}$$

C.$${{1}{0}{0}{9}}$$

D.$${{1}{0}{1}{0}}$$

8、['数列的递推公式'， '累乘法求数列通项'， '裂项相消法求和']

正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$满足$$S_{n}=n ( 2 n-1 ) a_{n}$$，且$${{a}_{1}{=}{1}}$$，则$$S_{1 0}=$$

A.$$\frac{2 7} {1 9}$$

B.$$\frac{1 0} {7}$$

C.$$\frac{1 8} {1 9}$$

D.$$\frac{2 0} {2 1}$$

9、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式']

正确率60.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n}-a_{n+1}=a_{n} \cdot a_{n+1}$$，则$$a_{1 0}=( \eta)$$

A.$$\frac{1} {1 0}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$

D.$${{9}}$$

10、['数列的递推公式'， '等比数列的性质']

正确率40.0%设等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公比为$${{q}}$$，其前$${{n}}$$项之积为$${{T}_{n}}$$，并且满足条件：$${{a}_{1}{>}{1}}$$，$$a_{2 0 1 9} a_{2 0 2 0} > 1$$，$$\frac{a_{2 0 1 9}-1} {a_{2 0 2 0}-1} < 0$$，给出下
列结论：①$$0 < q < 1$$；②$$a_{2 0 1 9} a_{2 0 2 1}-1 > 0$$；③$$T_{2 0 1 9}$$是数列$${{\{}{{T}_{n}}{\}}}$$中的最大项；④使$${{T}_{n}{>}{1}}$$成立的最大自然数等于$${{4}{0}{3}{9}}$$，其中正确结论的序号为$${{(}{)}}$$

A.①②

B.①③

C.①③④

D.①②③④

1. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{a_n}$$，且 $$a_1 = 2$$。计算前几项：

$$a_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

$$a_3 = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} = -1$$

$$a_4 = 1 - \frac{1}{-1} = 2$$

$$a_5 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

发现数列周期为 3，即 $$a_{n+3} = a_n$$。

计算前 2021 项的积 $$T_{2021}$$：

$$2021 = 3 \times 673 + 2$$，因此 $$T_{2021} = (a_1 a_2 a_3)^{673} \times a_1 \times a_2 = (2 \times \frac{1}{2} \times (-1))^{673} \times 2 \times \frac{1}{2} = (-1)^{673} \times 1 = -1$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

2. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1} = 2a_n + 1$$，且 $$a_1 = 1$$。

计算前几项：

$$a_2 = 2 \times 1 + 1 = 3$$

$$a_3 = 2 \times 3 + 1 = 7$$

$$a_4 = 2 \times 7 + 1 = 15$$

$$a_5 = 2 \times 15 + 1 = 31$$

答案为 $$\boxed{C}$$。

3. 解析：

定义峰值 $$a_k$$ 满足 $$a_k \geq a_{k-1}$$ 且 $$a_k \geq a_{k+1}$$。

给定 $$a_n = t \ln n - n$$，求导得 $$a_n' = \frac{t}{n} - 1$$。

令 $$a_n' = 0$$，得 $$n = t$$。

因此峰值出现在 $$n = \lfloor t \rfloor$$ 或 $$n = \lceil t \rceil$$。

需满足 $$a_{\lfloor t \rfloor} \geq a_{\lfloor t \rfloor -1}$$ 且 $$a_{\lfloor t \rfloor} \geq a_{\lfloor t \rfloor +1}$$。

解得 $$t \leq \ln 2$$ 且 $$t > 0$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

4. 解析：

给定 $$S_n = 2a_n - 1$$，且 $$a_1 = 1$$（由 $$S_1 = 2a_1 - 1$$ 得）。

递推关系为 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n - 2a_{n-1}$$，即 $$a_n = 2a_{n-1}$$。

因此 $$a_n = 2^{n-1}$$。

$$a_5 = 2^4 = 16$$。

答案为 $$\boxed{B}$$。

5. 解析：

给定 $$a_1 + a_2 + \cdots + a_n = a_{n+1}$$，且 $$a_1 = 4$$。

递推关系为 $$a_{n+1} = 2a_n$$（因为 $$a_{n+1} = S_n = a_n + S_{n-1} = 2a_n$$）。

因此 $$a_n = 4 \times 2^{n-1} = 2^{n+1}$$。

$$b_n = \log_2 a_n = n + 1$$。

求和 $$\sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{2017} \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2019}$$。

化简得 $$\frac{2017}{4038}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

6. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 2a_n}$$。

取倒数得 $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 2$$。

因此 $$\frac{1}{a_n} = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$$。

$$a_{10} = \frac{1}{19}$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。

7. 解析：

给定递推关系 $$a_n + 2S_{n-1} = n$$，且 $$a_1 = 1$$。

由 $$S_n = S_{n-1} + a_n$$，代入得 $$S_n + S_{n-1} = n$$。

递推得 $$S_n = n - S_{n-1}$$。

计算前几项：

$$S_1 = 1$$

$$S_2 = 2 - 1 = 1$$

$$S_3 = 3 - 1 = 2$$

$$S_4 = 4 - 2 = 2$$

发现 $$S_{2k} = k$$，$$S_{2k-1} = k$$。

因此 $$S_{2018} = 1009$$。

答案为 $$\boxed{C}$$。

8. 解析：

给定 $$S_n = n(2n-1)a_n$$，且 $$a_1 = 1$$。

递推关系为 $$a_n = S_n - S_{n-1} = n(2n-1)a_n - (n-1)(2n-3)a_{n-1}$$。

解得 $$a_n = \frac{(n-1)(2n-3)}{n(2n-1) - 1}a_{n-1} = \frac{(n-1)(2n-3)}{(2n+1)(n-1)}a_{n-1} = \frac{2n-3}{2n+1}a_{n-1}$$。

递推得 $$a_n = \frac{1 \times 3 \times \cdots \times (2n-3)}{5 \times 7 \times \cdots \times (2n+1)}$$。

计算 $$S_{10} = 10 \times 19 \times a_{10}$$，化简得 $$\frac{20}{21}$$。

答案为 $$\boxed{D}$$。

9. 解析：

给定递推关系 $$a_n - a_{n+1} = a_n a_{n+1}$$。

取倒数得 $$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 1$$。

因此 $$\frac{1}{a_n} = n$$，即 $$a_n = \frac{1}{n}$$。

$$a_{10} = \frac{1}{10}$$。

答案为 $$\boxed{A}$$。

10. 解析：

由条件 $$a_{2019}a_{2020} > 1$$ 和 $$\frac{a_{2019}-1}{a_{2020}-1} < 0$$，得 $$a_{2019} > 1$$ 且 $$a_{2020} < 1$$。

因此 $$0 < q < 1$$（①正确）。

$$a_{2019}a_{2021} = a_{2019}^2 q < a_{2019}^2$$，但 $$a_{2019} > 1$$，无法确定是否大于 1（②错误）。

$$T_{2019}$$ 是最大项（③正确）。

$$T_n > 1$$ 的最大自然数为 4038（④错误）。

答案为 $$\boxed{B}$$。

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