1、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '两角和与差的正切公式']正确率40.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的公差为$$\frac{\pi} {9}，$$前$${{8}}$$项和为$${{6}{π}}$$，记$$\operatorname{t a n} \frac{\pi} {9}=k，$$则数列$$\{\operatorname{t a n} a_{n} \operatorname{t a n} a_{n+1} \}$$的前$${{7}}$$项和是（）
C
A.$$\frac{7 k^{2}-3} {k^{2}-1}$$
B.$$\frac{3-7 k^{2}} {k^{2}-1}$$
C.$$\frac{1 1-7 k^{2}} {k^{2}-1}$$
D.$$\frac{7 k^{2}-1 1} {k^{2}-1}$$
2、['数列的前n项和'， '利用诱导公式化简'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%数列｛$${{a}_{n}}$$｝的通项公式$$a_{n}=n \mathrm{c o s} \ \frac{n \pi} {2}，$$其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$则$$S_{2 0 1 2}=$$（）
A
A.$${{1}{0}{0}{6}}$$
B.$${{2}{0}{1}{2}}$$
C.$${{5}{0}{3}}$$
D.$${{0}}$$
3、['数列的前n项和'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且$$S_{n}=2 a_{n}+n ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则$${{a}_{3}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{7}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{7}}$$
4、['数列的前n项和'， '函数奇偶性的应用']正确率40.0%定义在$$( \ -1， \ 1 )$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$满足：$$f ( x )-f ( y )=f ( \frac{x-y} {1-x y} )$$，当$$x \in\textsubscript{(}-1， \textbigcirc0 \textsubscript{)}$$时，有$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) > 0$$，且$$f (-\frac{1} {2} )=1$$．设$$m=f ( \frac{1} {5} )+f ( \frac{1} {1 1} )+\ldots+f ( \frac{1} {n^{2}+n-1} )， \， \， \， n \geqslant2， \， \， \， n \in N^{*}$$，则实数$${{m}}$$与$${{−}{1}}$$的大小关系为（）
C
A.$${{m}{<}{−}{1}}$$
B.$${{m}{=}{−}{1}}$$
C.$${{m}{>}{−}{1}}$$
D.不确定
5、['数列的前n项和'， '裂项相消法求和'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$$a_{n}=\frac{1} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ( n \in N^{*} ) \，， \， \， \， S_{n}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，满足$$S_{n} > 9 \left( n \in N^{*} \right)$$，则$${{n}}$$的最小值为（）
C
A.$${{9}{8}}$$
B.$${{9}{9}}$$
C.$${{1}{0}{0}}$$
D.$${{1}{0}{1}}$$
6、['数列的前n项和'， '数列的函数特征']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=2， \， \， a_{n+1}=1-\frac{1} {a_{n}}$$，设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${_{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 7}=\alpha$$）
D
A.$${{1}{0}{0}{7}}$$
B.$${{1}{0}{0}{8}}$$
C.$$1 0 0 9. 5$$
D.$${{1}{0}{1}{0}}$$
7、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n+1}+(-1 )^{n} a_{n}=3 n-1， ( n \in N^{*} )$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{4}{0}}$$项的和为（）
B
A.$${{8}{6}{0}}$$
B.$${{1}{2}{4}{0}}$$
C.$${{1}{8}{3}{0}}$$
D.$${{2}{4}{2}{0}}$$
8、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{1}=1， \， \， S_{n}=3 a_{n+1}-3$$，则$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
A
A.$$( \frac{4} {3} )^{n-1}$$
B.$$( \frac{3} {4} )^{n-1}$$
C.$$3^{n-1}$$
D.$$( \frac{1} {3} )^{n-1}$$
9、['数列的前n项和'， '数列的函数特征']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=-n^{2}+9 n$$，则$${{S}_{n}}$$的最大值是（）
A
A.$${{2}{0}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{2}{2}}$$
D.$${{2}{3}}$$
10、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=S_{n}+1$$，则$${{S}_{9}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{2}{9}}$$
B.$${{5}{1}{1}}$$
C.$${{1}{0}{2}{3}}$$
D.$${{2}{0}{1}{8}}$$
1. 解析：
设等差数列的首项为$$a_1$$，公差为$$d = \frac{\pi}{9}$$。前8项和为$$6\pi$$，即：
$$S_8 = 8a_1 + 28d = 6\pi$$
代入$$d$$得：
$$8a_1 + 28 \cdot \frac{\pi}{9} = 6\pi$$
解得：
$$a_1 = \frac{6\pi - \frac{28\pi}{9}}{8} = \frac{54\pi - 28\pi}{72} = \frac{26\pi}{72} = \frac{13\pi}{36}$$
数列$$\{\tan a_n \tan a_{n+1}\}$$的前7项和为：
$$\sum_{n=1}^7 \tan a_n \tan a_{n+1}$$
利用$$\tan(a_{n+1} - a_n) = \tan \frac{\pi}{9} = k$$，以及$$\tan a_{n+1} = \frac{\tan a_n + k}{1 - k \tan a_n}$$，可以推导出：
$$\tan a_n \tan a_{n+1} = \frac{\tan^2 a_n + k \tan a_n}{1 - k \tan a_n}$$
进一步化简求和为：
$$\sum_{n=1}^7 \tan a_n \tan a_{n+1} = \frac{7k^2 - 3}{k^2 - 1}$$
故选A。
2. 解析：
数列的通项公式为$$a_n = n \cos \frac{n\pi}{2}$$，其周期性为4：
- 当$$n=1$$时，$$a_1 = 1 \cdot 0 = 0$$
- 当$$n=2$$时，$$a_2 = 2 \cdot (-1) = -2$$
- 当$$n=3$$时，$$a_3 = 3 \cdot 0 = 0$$
- 当$$n=4$$时，$$a_4 = 4 \cdot 1 = 4$$
每4项的和为$$0 - 2 + 0 + 4 = 2$$。$$2012$$项共有$$503$$个周期，总和为$$503 \times 2 = 1006$$。故选A。
3. 解析：
由递推关系$$S_n = 2a_n + n$$，且$$S_{n-1} = 2a_{n-1} + (n-1)$$，两式相减得：
$$a_n = 2a_n - 2a_{n-1} + 1$$
化简得：
$$a_n = 2a_{n-1} - 1$$
初始条件为$$S_1 = a_1 = 2a_1 + 1$$，解得$$a_1 = -1$$。递推得：
$$a_2 = 2(-1) - 1 = -3$$
$$a_3 = 2(-3) - 1 = -7$$
故选A。
4. 解析：
函数满足$$f(x) - f(y) = f\left(\frac{x-y}{1-xy}\right)$$，令$$x = y = 0$$得$$f(0) = 0$$。令$$y = -x$$得：
$$f(x) - f(-x) = f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$$
由$$x \in (-1, 0)$$时$$f(x) > 0$$，可知$$f$$为奇函数。进一步推导得：
$$f\left(\frac{1}{n^2+n-1}\right) = f\left(\frac{1}{n-1}\right) - f\left(\frac{1}{n}\right)$$
因此：
$$m = f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right) + f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{3}\right) + \cdots + f\left(\frac{1}{n-1}\right) - f\left(\frac{1}{n}\right) = f(1) - f\left(\frac{1}{n}\right)$$
由$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = 1$$及奇函数性质得$$f\left(\frac{1}{2}\right) = -1$$。令$$x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}$$代入函数关系得：
$$f(1) = -2$$
因此$$m = -2 - f\left(\frac{1}{n}\right)$$。由于$$f\left(\frac{1}{n}\right) < 0$$，故$$m > -2$$，但更精确计算得$$m = -1$$。故选B。
5. 解析：
通项公式为$$a_n = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$，前$$n$$项和为：
$$S_n = \sqrt{n+1} - 1$$
要求$$S_n > 9$$，即：
$$\sqrt{n+1} - 1 > 9$$
解得：
$$n+1 > 100 \Rightarrow n > 99$$
故最小$$n$$为100。故选C。
6. 解析：
递推关系为$$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{a_n}$$，计算前几项：
$$a_1 = 2$$
$$a_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
$$a_3 = 1 - 2 = -1$$
$$a_4 = 1 - (-1) = 2$$
发现数列周期为3。2017项共有672个周期余1项，总和为：
$$672 \times \left(2 + \frac{1}{2} - 1\right) + 2 = 672 \times 1.5 + 2 = 1008 + 2 = 1010$$
故选D。
7. 解析：
递推关系为$$a_{n+1} + (-1)^n a_n = 3n - 1$$。分奇偶讨论：
- 当$$n$$为奇数时，$$a_{n+1} - a_n = 3n - 1$$
- 当$$n$$为偶数时，$$a_{n+1} + a_n = 3n - 1$$
通过累加得前40项和为：
$$\sum_{k=1}^{40} a_k = 1240$$
故选B。
8. 解析：
递推关系为$$S_n = 3a_{n+1} - 3$$，且$$S_{n-1} = 3a_n - 3$$，两式相减得：
$$a_n = 3a_{n+1} - 3a_n$$
化简得：
$$a_{n+1} = \frac{4}{3} a_n$$
初始条件为$$a_1 = 1$$，因此通项为：
$$a_n = \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}$$
但验证$$S_1 = a_1 = 1$$与$$3a_2 - 3 = 1$$得$$a_2 = \frac{4}{3}$$，符合。故选A。
9. 解析：
前$$n$$项和为$$S_n = -n^2 + 9n$$，为二次函数，最大值在顶点处：
$$n = \frac{9}{2} = 4.5$$
取$$n = 4$$或$$5$$：
$$S_4 = -16 + 36 = 20$$
$$S_5 = -25 + 45 = 20$$
故最大值为20。故选A。
10. 解析：
递推关系为$$a_{n+1} = S_n + 1$$，且$$a_n = S_n - S_{n-1}$$，代入得：
$$S_n - S_{n-1} = S_{n-1} + 1$$
化简得：
$$S_n = 2S_{n-1} + 1$$
解递推关系得：
$$S_n = 2^n - 1$$
因此：
$$S_9 = 2^9 - 1 = 511$$
故选B。
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