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正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}{，}}$$且$$a_{n+1}=\frac{a_{n}} {n a_{n}+1}，$$则$$a_{1 0}=$$（）
B
A.$$\frac{1} {4 5}$$
B.$$\frac{1} {4 6}$$
C.$$\frac{1} {5 5}$$
D.$$\frac{1} {5 6}$$
3、['等差数列的通项公式'， '数列的通项公式']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{3}{，}}$$$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为等差数列，且$$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}，$$若$$b_{3}=-2， \， \， b_{1 0}=1 2，$$则$${{a}_{8}}$$等于（）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{1}}$$
4、['数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{S}_{n}{=}{{3}^{n}}}$$，求$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
B
A.$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {3， n=1} \\ {3^{n-1}， n \geq2} \\ \end{array} \right.$$
B.$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {3， n=1} \\ {2 \cdot3^{n-1}， n \geq2} \\ \end{array} \right.$$
C.$$a_{n}=2 \cdot3^{n-1}$$
D.$$a_{n}=3^{n-1}$$
5、['二项式系数的性质'， '二项式定理的应用'， '数列的通项公式']正确率60.0%$${（{1}{−}{x}{）^{5}}}$$展开式$${{x}^{3}}$$的系数是（）
A
A.$${{−}{{1}{0}}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{−}{5}}$$
D.$${{5}}$$
7、['数列的函数特征'， '数列的通项公式'， '数列的分类']正确率40.0%已知常数$${{k}{∈}{（}{0}{，}{1}{）}}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{n}{=}{n}{⋅}{{k}^{n}}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$．下面说法正确的是（）
$${①}$$当$$k=\frac{1} {2}$$时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为递减数列；
$${②}$$当$$0 < k < \frac{1} {2}$$时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为递减数列；
$${③}$$当$$\frac{1} {2} < k < 1$$时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$不一定有最大项；
$${④}$$当$$\frac{k} {1-k}$$为正整数时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$必有两项相等的最大项．
C
A.$${①{②}}$$
B.$${②{③}}$$
C.$${②{④}}$$
D.$${③{④}}$$
8、['数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=\frac{1} {2}$$，且对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$$a_{n+1}=\frac{1-a_{n}} {1+a_{n}}$$成立，则$$a_{2 0 1 9}=\langle$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
9、['归纳推理'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列的前五项分别为$$\frac{1} {3}， ~ \frac{1} {2}， ~ \frac{3} {5}， ~ \frac{2} {3}， ~ \frac{5} {7}，$$则该数列的一个通项公式为（）
D
A.$$\frac{2 n} {3 n-1}$$
B.$$\frac{n} {n-2}$$
C.$$\frac{2 n} {2 n-1}$$
D.$$\frac{n} {n+2}$$
10、['函数奇偶性的应用'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知函数$$f ( x )=\frac{2} {3^{x}-1}+c$$是奇函数，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=\frac{1} {f ( n )-c} ( n \in N * )$$，则$${{a}_{3}{+}{2}{c}}$$的值是
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{1}{0}}$$
以下是各题的详细解析：
2. 解析：
已知递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{n a_n + 1}$$，且 $$a_1 = 1$$。
计算前几项：
$$a_2 = \frac{a_1}{1 \cdot a_1 + 1} = \frac{1}{2}$$
$$a_3 = \frac{a_2}{2 \cdot a_2 + 1} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + 1} = \frac{1}{4}$$
$$a_4 = \frac{a_3}{3 \cdot a_3 + 1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4} + 1} = \frac{1}{7}$$
$$a_5 = \frac{a_4}{4 \cdot a_4 + 1} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{4}{7} + 1} = \frac{1}{11}$$
观察分母规律：1, 2, 4, 7, 11，其差分序列为 1, 2, 3, 4，故分母通项为 $$d_n = \frac{n(n-1)}{2} + 1$$。
因此 $$a_{10} = \frac{1}{d_{10}} = \frac{1}{46}$$，选项 B 正确。
3. 解析：
设 $$\{b_n\}$$ 为等差数列，公差为 $$d$$，由 $$b_3 = -2$$ 和 $$b_{10} = 12$$ 得：
$$b_3 = b_1 + 2d = -2$$
$$b_{10} = b_1 + 9d = 12$$
解得 $$d = 2$$，$$b_1 = -6$$，故 $$b_n = -6 + 2(n-1) = 2n - 8$$。
由 $$b_n = a_{n+1} - a_n$$，累加得：
$$a_8 = a_1 + \sum_{k=1}^7 b_k = 3 + \sum_{k=1}^7 (2k - 8) = 3 + (2 \cdot 28 - 56) = 3$$，选项 B 正确。
4. 解析：
已知 $$S_n = 3^n$$，则 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 3^n - 3^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$$（$$n \geq 2$$）。
当 $$n = 1$$ 时，$$a_1 = S_1 = 3$$。
故通项为 $$a_n = \begin{cases} 3, & n = 1 \\ 2 \cdot 3^{n-1}, & n \geq 2 \end{cases}$$，选项 B 正确。
5. 解析：
展开 $$(1 - x)^5$$ 的二项式系数为 $$C(5, k) \cdot (-1)^k$$。
$$x^3$$ 的系数为 $$C(5, 3) \cdot (-1)^3 = 10 \cdot (-1) = -10$$，选项 A 正确。
7. 解析：
分析数列 $$a_n = n \cdot k^n$$：
① 当 $$k = \frac{1}{2}$$ 时，$$a_{n+1} - a_n = (n+1) \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} - n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} (1 - n)$$，当 $$n \geq 2$$ 时为负，数列递减，正确。
② 当 $$0 < k < \frac{1}{2}$$ 时，$$a_{n+1} - a_n = k^n (k(n+1) - n)$$，由于 $$k < \frac{n}{n+1}$$ 对所有 $$n$$ 成立，数列递减，正确。
③ 当 $$\frac{1}{2} < k < 1$$ 时，数列可能存在最大项（如 $$k = 0.6$$ 时 $$a_2$$ 为最大项），错误。
④ 当 $$\frac{k}{1 - k}$$ 为正整数 $$m$$ 时，$$a_m = a_{m+1}$$ 为两项相等的最大项，正确。
综上，选项 C（②④）正确。
8. 解析：
递推关系 $$a_{n+1} = \frac{1 - a_n}{1 + a_n}$$，计算前几项：
$$a_1 = \frac{1}{2}$$，$$a_2 = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$，$$a_3 = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$$。
发现数列周期为 2，故 $$a_{2019} = a_1 = \frac{1}{2}$$，选项 C 正确。
9. 解析：
观察数列 $$\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{5}{7}$$，分子分母分别成规律：
分子序列：1, 1, 3, 2, 5，可表示为 $$n$$ 或 $$2n - 1$$ 交替。
分母序列：3, 2, 5, 3, 7，可表示为 $$n + 2$$。
通项公式为 $$\frac{n}{n + 2}$$，选项 D 正确。
10. 解析：
函数 $$f(x) = \frac{2}{3^x - 1} + c$$ 为奇函数，故 $$f(0) = 0$$，解得 $$c = -1$$。
$$S_n = \frac{1}{f(n) - c} = \frac{1}{\frac{2}{3^n - 1} + 1 + 1} = \frac{3^n - 1}{2 + 3^n - 1} = \frac{3^n - 1}{3^n + 1}$$。
计算 $$a_3 = S_3 - S_2 = \frac{26}{28} - \frac{8}{10} = \frac{13}{14} - \frac{4}{5} = \frac{9}{70}$$。
$$a_3 + 2c = \frac{9}{70} - 2 = -\frac{131}{70}$$，但选项无此答案，可能题目描述有误。