正确率40.0%已知对任意$$a_{1} \in( 0, 1 ),$$由关系式$$a_{n+1}=f ( a_{n} )$$得到的数列{$${{a}_{n}}$$}满足$$a_{n+1} < a_{n},$$则函数$$y=f ( x )$$在$$( 0, 1 )$$上的图象可能是()
A
A.svg异常
B.svg异常
C.svg异常
D.svg异常
2、['数列的前n项和', '数列的递推公式', '数列的函数特征']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$满足$$x_{n+3} \!=\! x_{n}, \, \, x_{n+2} \!=\! | x_{n+1} \!-\! x_{n} | \, ( n {\in} \mathbf{N^{*}} )$$,若$$x_{1} \!=\! 1, \, \, \, x_{2} \!=\! a \, ( a {\le} 1, a {\ne} 0 )$$,则数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}{1}{8}}$$项的和$$S_{2 0 1 8}$$为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{6}{6}{9}}$$
B.$$6 7 0+a$$
C.$${{{1}{3}{4}{5}}{+}{a}}$$
D.$${{1}{3}{3}{8}}$$
3、['等差中项', '数列的函数特征', '等差数列的性质', '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$,且满足$$S_{2 0 1 7} > 0, \, \, S_{2 0 1 8} < 0$$,若对任意正整数$${{n}{、}{k}}$$都有$$| a_{n} | \geqslant| a_{k} |$$,则$${{k}}$$的值为()
B
A.$${{1}{0}{0}{8}}$$
B.$${{1}{0}{0}{9}}$$
C.$${{1}{0}{1}{0}}$$
D.$${{1}{0}{1}{1}}$$
4、['等差数列的通项公式', '数列的函数特征']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=n^{2}+b n$$,若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是单调递增数列,则实数$${{b}}$$的取值范围为()
C
A.$$[ 1, ~+\infty)$$
B.$$[-2, ~+\infty)$$
C.$$( \ -3, \ \ +\infty)$$
D.$$( \begin{array} {c c} {-\frac{9} {2},} & {+\infty} \\ \end{array} )$$
5、['数列的递推公式', '数列的函数特征']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2, \, \, 2 a_{n} a_{n+1}=a_{n}^{2}+1$$,设$$b_{n}=\frac{a_{n}-1} {a_{n}+1}$$,则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$是()
D
A.常数列
B.摆动数列
C.递增数列
D.递减数列
6、['数列的函数特征', '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%对$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$,设$${{x}_{n}}$$是关于$${{x}}$$的方程$$n x^{3}+2 x-n=0$$的实数根,$$a_{n}=[ \begin{array} {c c c} {( n+1 )} & {x_{n}} \\ \end{array} ], \; \; \; ( \begin{array} {c c c} {n=2,} & {3 \ldots} \\ \end{array} )$$符号$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数).则$$\frac{a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{2 0 1 8}} {2 0 1 7}=\c($$)
A
A.$${{1}{0}{1}{0}}$$
B.$${{1}{0}{1}{2}}$$
C.$${{2}{0}{1}{8}}$$
D.$${{2}{0}{2}{0}}$$
7、['数列的递推公式', '数列的函数特征', '归纳推理', '并项求和法']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{2}}$$,且数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+1} {a_{n}-1}$$,数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$,则$$S_{2 0 1 6}$$为()
C
A.$${{5}{0}{3}{7}}$$
B.$${{5}{0}{3}{8}}$$
C.$${{5}{0}{4}{0}}$$
D.$${{5}{0}{4}{2}}$$
8、['数列的函数特征', '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=\frac{1} {2^{n}-1 5}$$,其最大和最小项分别为()
A
A.$$1, ~-\frac{1} {7}$$
B.$$0. ~-\frac{1} {7}$$
C.$$\frac{1} {7}, ~-\frac{1} {7}$$
D.$$1, ~-\frac{1} {1 1}$$
9、['等差数列的通项公式', '数列的函数特征', '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%等差数列$$a_{1}, a_{2} \ldots, a_{n} ( n \in N^{*} )$$,满足,则$${{(}{)}}$$
A
A.$${{n}}$$的最大值是$${{5}{0}}$$
B.$${{n}}$$的最小值是$${{5}{0}}$$
C.$${{n}}$$的最大值是$${{5}{1}}$$
D.$${{n}}$$的最小值是$${{5}{1}}$$
10、['数列的递推公式', '数列的函数特征', '函数的周期性']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\left\{\begin{aligned} {2 a_{n} \left( 0 \leqslant a_{n} \leqslant\frac{1} {2} \right)} \\ {2 a_{n}-1} \\ \end{aligned} \right.$$,若$$a_{1}=\frac{4} {5}$$,则$$a_{2 0 1 7}$$的值为
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$\frac{2} {5}$$
C.$$\frac{3} {5}$$
D.$$\frac{4} {5}$$
1. 解析:
由题意,数列 $$\{a_n\}$$ 单调递减,即 $$f(x) < x$$ 对所有 $$x \in (0,1)$$ 成立。因此,函数 $$y=f(x)$$ 的图像必须在直线 $$y=x$$ 下方。观察选项,只有选项 A 满足这一条件。
答案:A
2. 解析:
由递推关系 $$x_{n+3} = x_n$$ 和 $$x_{n+2} = |x_{n+1} - x_n|$$,结合初始条件 $$x_1=1$$ 和 $$x_2=a$$,可以推导出数列的周期性。计算前几项:
$$x_3 = |x_2 - x_1| = |a - 1| = 1 - a$$
$$x_4 = |x_3 - x_2| = |(1 - a) - a| = |1 - 2a|$$
$$x_5 = |x_4 - x_3| = |(1 - 2a) - (1 - a)| = | -a | = a = x_2$$
因此,数列每 3 项重复一次。2018 项共有 672 个完整周期($$2016$$ 项)和剩余的 2 项。总和为:
$$S_{2018} = 672 \times (1 + a + (1 - a)) + 1 + a = 672 \times 2 + 1 + a = 1345 + a$$
答案:C
3. 解析:
由等差数列的性质,$$S_{2017} = \frac{2017}{2}(a_1 + a_{2017}) > 0$$ 和 $$S_{2018} = \frac{2018}{2}(a_1 + a_{2018}) < 0$$,可得 $$a_1 + a_{2017} > 0$$ 且 $$a_1 + a_{2018} < 0$$。因为 $$a_n$$ 是等差数列,$$a_{2017} = a_1 + 2016d$$ 和 $$a_{2018} = a_1 + 2017d$$,代入得:
$$2a_1 + 2016d > 0$$ 且 $$2a_1 + 2017d < 0$$
解得 $$a_1 > -1008d$$ 且 $$a_1 < -1008.5d$$。因此,$$a_n$$ 在 $$n=1009$$ 时取得最大绝对值。
答案:B
4. 解析:
数列 $$\{a_n\}$$ 单调递增的条件是 $$a_{n+1} > a_n$$ 对所有 $$n \in \mathbb{N}^*$$ 成立。即:
$$(n+1)^2 + b(n+1) > n^2 + b n$$
化简得 $$2n + 1 + b > 0$$。对于最小的 $$n=1$$,有 $$3 + b > 0$$,即 $$b > -3$$。
答案:C
5. 解析:
由递推关系 $$2 a_n a_{n+1} = a_n^2 + 1$$,可以变形为 $$a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 1}{2 a_n}$$。设 $$b_n = \frac{a_n - 1}{a_n + 1}$$,计算 $$b_{n+1}$$:
$$b_{n+1} = \frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1} + 1} = \frac{\frac{a_n^2 + 1}{2 a_n} - 1}{\frac{a_n^2 + 1}{2 a_n} + 1} = \frac{(a_n - 1)^2}{(a_n + 1)^2} = b_n^2$$
因为 $$b_1 = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$$,所以 $$b_n = \left(\frac{1}{3}\right)^{2^{n-1}}$$,显然 $$\{b_n\}$$ 是递减数列。
答案:D
6. 解析:
方程 $$n x^3 + 2x - n = 0$$ 的根 $$x_n$$ 满足 $$x_n \approx 1 - \frac{2}{3n}$$(泰勒展开近似)。因此:
$$(n+1)x_n \approx (n+1)\left(1 - \frac{2}{3n}\right) = n + 1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3n} \approx n + \frac{1}{3}$$
取整后 $$a_n = [ (n+1)x_n ] = n$$。因此,求和为:
$$\frac{a_2 + a_3 + \cdots + a_{2018}}{2017} = \frac{2 + 3 + \cdots + 2018}{2017} = \frac{2017 \times 1010}{2017} = 1010$$
答案:A
7. 解析:
由递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_n - 1}$$,计算前几项:
$$a_1 = 2$$
$$a_2 = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$
$$a_3 = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$$
$$a_4 = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$
可见数列周期为 2。2016 项共有 1008 个周期,总和为:
$$S_{2016} = 1008 \times (2 + 3) = 5040$$
答案:C
8. 解析:
分析 $$a_n = \frac{1}{2^n - 15}$$ 的单调性:
当 $$2^n > 15$$ 时,$$a_n$$ 随 $$n$$ 增大而减小。计算前几项:
$$n=1: a_1 = \frac{1}{2 - 15} = -\frac{1}{13}$$
$$n=2: a_2 = \frac{1}{4 - 15} = -\frac{1}{11}$$
$$n=3: a_3 = \frac{1}{8 - 15} = -\frac{1}{7}$$
$$n=4: a_4 = \frac{1}{16 - 15} = 1$$
$$n=5: a_5 = \frac{1}{32 - 15} = \frac{1}{17}$$
显然,最大项为 $$a_4 = 1$$,最小项为 $$a_3 = -\frac{1}{7}$$。
答案:A
9. 解析:
由题意,等差数列满足 $$|a_{k}| \leq |a_n|$$ 对所有 $$n$$ 成立,即 $$a_k$$ 是最接近零的项。结合 $$S_{2017} > 0$$ 和 $$S_{2018} < 0$$,可得 $$n$$ 的最小值为 51(因为 $$a_{51}$$ 是第一个负项)。
答案:D
10. 解析:
由递推关系 $$a_{n+1} = 2a_n$$(若 $$0 \leq a_n \leq \frac{1}{2}$$)或 $$2a_n - 1$$(若 $$\frac{1}{2} < a_n \leq 1$$),初始值 $$a_1 = \frac{4}{5}$$:
$$a_2 = 2 \times \frac{4}{5} - 1 = \frac{3}{5}$$
$$a_3 = 2 \times \frac{3}{5} - 1 = \frac{1}{5}$$
$$a_4 = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$$
$$a_5 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$$
可见数列周期为 4。2017 除以 4 余 1,因此 $$a_{2017} = a_1 = \frac{4}{5}$$。
答案:D