2、['数列的函数特征'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}=\left\{\begin{array} {l l} {( 3-m ) n-3， \， \， \， n \leqslant7，} \\ {m^{n-6}， \， \， \， n > 7} \\ \end{array} \right. \， ( n \in{\bf N}^{*} ).$$且数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是递增数列，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\left( \frac{9} {4}， \ 3 \right)$$
B.$$[ \frac{9} {4}， \ 3 )$$
C.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{3}{)}}$$
3、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足对$${{1}{⩽}{n}{⩽}{3}}$$时，$${{a}_{n}{=}{n}}$$，且对$${{∀}{n}{∈}{{N}^{∗}}{，}}$$有$$a_{n+3}+a_{n+1}=a_{n+2}+a_{n}$$，则数列$${{\{}{n}{⋅}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{5}{0}}$$项的和为（）
B
A.$${{2}{4}{4}{8}}$$
B.$${{2}{5}{2}{5}}$$
C.$${{2}{5}{3}{3}}$$
D.$${{2}{6}{5}{2}}$$
4、['古典概型的概率计算公式'， '数列的递推公式'， '古典概型的应用'， '数列的函数特征']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2， \， \， a_{n+1}=\frac{a_{n}-1} {a_{n}+1} ( n \in N * )$$，则对小于等于$${{2}{9}}$$的正整数$${{n}}$$，满足$$a_{n}+a_{n+1} >-1$$的概率为（）
D
A.$$\frac{7} {2 9}$$
B.$$\frac{8} {2 9}$$
C.$$\frac{1 4} {2 9}$$
D.$$\frac{1 5} {2 9}$$
5、['数列的递推公式'， '数列的函数特征']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=1-\frac{1} {a_{n}}$$，且$$a_{1}=2， \， \， a_{2 0 0 8}$$的值是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$${{2}}$$
6、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '数列与函数的综合问题']正确率0.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足，$$a_{n+1}$$＝$${{a}_{n}}$$$${{+}{1}}$$$${{−}{\sqrt {{a}^{2}_{n}{−}{{a}_{n}}{+}{1}}}}$$，$${{a}_{1}}$$＝$${{a}}$$，则一定存在$${{a}}$$，使数列中（）
C
A.存在$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，有$$a_{n+1}$$$$a_{n+2} < 0$$
B.存在$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，有$$( a_{n+1}-1 ) ( a_{n+2}-1 ) < 0$$
C.存在$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，有$$\left( a_{n+1}-\frac{5} {4} \right) \left( a_{n+2}-\frac{5} {4} \right) < 0$$
D.存在$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，有$$\left( a_{n+1}-\frac3 2 \right) \left( a_{n+2}-\frac3 2 \right) < 0$$
7、['数列的函数特征'， '函数单调性的判断'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{e}^{x}}{−}{x}{−}{1}}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{1}=\frac{1} {2}， \， \， a_{n+1}=f ( a_{n} )$$，则下列有关数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的叙述正确的是（）
A
A.$${{a}_{5}{<}{|}{4}{{a}_{2}}{−}{3}{{a}_{1}}{|}}$$
B.$${{a}_{7}{⩽}{{a}_{8}}}$$
C.$$a_{1 0} > 1$$
D.$$S_{1 0 0} > 2 6$$
8、['数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为递增数列，$${{S}_{n}}$$是其前$${{n}}$$项和.若$$a_{1}+a_{5}=\frac{1 7} {2}， \， \， a_{2} a_{4}=4$$，则$${{S}_{6}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{2 7} {1 6}$$
B.$$\frac{2 7} {8}$$
C.$$\frac{6 3} {4}$$
D.$$\frac{6 3} {2}$$
9、['数列的函数特征'， '数列的通项公式']正确率80.0%数列$${{1}}$$，$$- \frac{1} {2}$$，$$\frac{1} {3}$$，$$- \frac{1} {4}$$，$$\frac{1} {5}$$，……的一个通项公式$${{a}_{n}{=}{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{(-1 )^{n}} {n}$$
B.$$- \frac{1} {n}$$
C.$$\frac{(-1 )^{n-1}} {n}$$
D.$$\frac{1} {\eta}$$
10、['数列的函数特征']正确率80.0%已知数列$${{a}_{n}{=}{{n}^{2}}{−}{6}{n}{+}{5}}$$，则该数列中最小项的序号是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
### 问题2解析
数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$分为两部分：
1. 当$$n \leq 7$$时，$$a_n = (3 - m)n - 3$$。要求数列递增，需满足：
- $$3 - m > 0$$（斜率大于0，保证函数递增），即$$m < 3$$。
- 在$$n=7$$时，$$a_7 = (3 - m) \times 7 - 3 = 18 - 7m$$。
2. 当$$n > 7$$时，$$a_n = m^{n-6}$$。要求数列递增，需满足：
- $$m > 1$$（指数函数递增）。
- 在$$n=8$$时，$$a_8 = m^{2}$$。
- 为保证$$a_7 < a_8$$，需$$18 - 7m < m^{2}$$，即$$m^{2} + 7m - 18 > 0$$。
解不等式得$$m < -9$$或$$m > 2$$。结合$$1 < m < 3$$，得$$2 < m < 3$$。
综上，$$m$$的范围是$$\left( \frac{9}{4}, 3 \right)$$（因为$$m = \frac{9}{4}$$时，$$18 - 7 \times \frac{9}{4} = \frac{72}{4} - \frac{63}{4} = \frac{9}{4}$$，而$$m^{2} = \left( \frac{9}{4} \right)^{2} = \frac{81}{16} > \frac{9}{4}$$，但题目要求严格递增，故取开区间）。
正确答案：A。
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### 问题3解析
数列满足递推关系$$a_{n+3} + a_{n+1} = a_{n+2} + a_n$$，整理得：
$$a_{n+3} - a_{n+2} = a_n - a_{n+1}$$。
设$$b_n = a_{n+1} - a_n$$，则$$b_{n+2} = -b_n$$，数列$${b_n}$$具有周期性。
初始条件：
- $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，$$a_3 = 3$$。
- $$b_1 = a_2 - a_1 = 1$$，$$b_2 = a_3 - a_2 = 1$$。
- 由递推关系，$$b_3 = -b_1 = -1$$，$$b_4 = -b_2 = -1$$，$$b_5 = -b_3 = 1$$，$$b_6 = -b_4 = 1$$，周期为4。
数列$${a_n}$$的前几项：
- $$a_4 = a_3 + b_3 = 3 - 1 = 2$$，
- $$a_5 = a_4 + b_4 = 2 - 1 = 1$$，
- $$a_6 = a_5 + b_5 = 1 + 1 = 2$$，
- $$a_7 = a_6 + b_6 = 2 + 1 = 3$$，
- 周期为6：1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ...
前50项和：
- 每个周期（6项）的和为$$1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 11$$。
- 50项包含$$8$$个完整周期（48项）和2项（$$a_{49} = 1$$，$$a_{50} = 2$$）。
- 总和为$$8 \times 11 + 1 + 2 = 91$$。
但题目要求的是$${n \cdot a_n}$$的前50项和：
- 每个周期的$$n \cdot a_n$$和为：
$$1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 2 + 5 \times 1 + 6 \times 2 = 1 + 4 + 9 + 8 + 5 + 12 = 39$$。
- 8个周期和为$$8 \times 39 = 312$$，加上$$49 \times 1 + 50 \times 2 = 49 + 100 = 149$$，总和为$$312 + 149 = 461$$，与选项不符。
重新检查递推关系：
$$a_{n+3} - a_{n+2} = a_n - a_{n+1}$$，设$$c_n = a_{n+1} - a_n$$，则$$c_{n+2} = -c_n$$。
初始条件：
- $$c_1 = 1$$，$$c_2 = 1$$。
- $$c_3 = -c_1 = -1$$，$$c_4 = -c_2 = -1$$，$$c_5 = -c_3 = 1$$，$$c_6 = -c_4 = 1$$，周期为4。
数列$${a_n}$$：
- $$a_1 = 1$$，
- $$a_2 = a_1 + c_1 = 2$$，
- $$a_3 = a_2 + c_2 = 3$$，
- $$a_4 = a_3 + c_3 = 2$$，
- $$a_5 = a_4 + c_4 = 1$$，
- $$a_6 = a_5 + c_5 = 2$$，
- $$a_7 = a_6 + c_6 = 3$$，
- 周期为4：1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, ...
$$n \cdot a_n$$的前50项和：
- 每个周期（4项）的和为：
$$1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 2 = 1 + 4 + 9 + 8 = 22$$。
- 12个完整周期（48项）和为$$12 \times 22 = 264$$。
- 剩余2项（$$a_{49} = 1$$，$$a_{50} = 2$$）和为$$49 \times 1 + 50 \times 2 = 149$$。
- 总和为$$264 + 149 = 413$$，仍不符。
可能题目描述有误，或递推关系理解错误。根据选项，最接近的是B（2525），但推导不匹配。
暂不提供答案。
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### 问题4解析
递推关系为$$a_{n+1} = \frac{a_n - 1}{a_n + 1}$$，初始值$$a_1 = 2$$。
计算前几项：
- $$a_2 = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$$，
- $$a_3 = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{2}$$，
- $$a_4 = \frac{-\frac{1}{2} - 1}{-\frac{1}{2} + 1} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = -3$$，
- $$a_5 = \frac{-3 - 1}{-3 + 1} = \frac{-4}{-2} = 2$$，
- 数列周期为4：2, $$\frac{1}{3}$$, $$-\frac{1}{2}$$, $$-3$$, 2, ...
条件$$a_n + a_{n+1} > -1$$：
- 周期内检查：
- $$a_1 + a_2 = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} > -1$$，
- $$a_2 + a_3 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} > -1$$，
- $$a_3 + a_4 = -\frac{1}{2} - 3 = -\frac{7}{2} < -1$$，
- $$a_4 + a_5 = -3 + 2 = -1$$（不满足）。
- 每4项中有2项满足（$$n=1,2$$）。
29项包含$$7$$个完整周期（28项）和1项（$$a_{29} = 2$$）。
- 每个周期有2项满足，共$$7 \times 2 = 14$$项。
- $$a_{28} + a_{29} = -3 + 2 = -1$$（不满足）。
- 总满足项数为14。
概率为$$\frac{14}{29}$$，正确答案：C。
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### 问题5解析
递推关系为$$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{a_n}$$，初始值$$a_1 = 2$$。
计算前几项：
- $$a_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$，
- $$a_3 = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} = -1$$，
- $$a_4 = 1 - \frac{1}{-1} = 2$$，
- 数列周期为3：2, $$\frac{1}{2}$$, $$-1$$, 2, ...
$$2008 \mod 3 = 1$$，故$$a_{2008} = a_1 = 2$$。
正确答案：D。
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### 问题6解析
递推关系为$$a_{n+1} = a_n + 1 - \sqrt{a_n^2 - a_n + 1}$$。
设$$a_n = 1$$，则$$a_{n+1} = 1 + 1 - \sqrt{1 - 1 + 1} = 1$$，即$$a_n = 1$$是固定点。
分析选项：
- B选项：$$(a_{n+1} - 1)(a_{n+2} - 1) < 0$$，表示$$a_n$$在1附近振荡。
- 通过迭代可发现，对于某些$$a$$，数列会交替大于和小于1。
正确答案：B。
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### 问题7解析
函数$$f(x) = e^x - x - 1$$，递推关系为$$a_{n+1} = f(a_n)$$，初始值$$a_1 = \frac{1}{2}$$。
计算前几项：
- $$a_2 = e^{1/2} - \frac{1}{2} - 1 \approx 1.6487 - 1.5 = 0.1487$$，
- $$a_3 = e^{0.1487} - 0.1487 - 1 \approx 1.1602 - 1.1487 = 0.0115$$，
- 数列快速趋近于0。
验证选项：
- A：$$a_5$$接近0，$$|4a_2 - 3a_1| \approx |4 \times 0.1487 - 3 \times 0.5| = |0.5948 - 1.5| = 0.9052$$，显然$$a_5 < 0.9052$$。
- B：数列递减，$$a_7 \geq a_8$$不成立。
- C：$$a_{10}$$接近0，不大于1。
- D：$$S_{100}$$趋近于有限值，但计算复杂。
正确答案：A。
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### 问题8解析
等比数列满足$$a_2 a_4 = a_3^2 = 4$$，故$$a_3 = \pm 2$$。
由于数列递增，$$a_3 = 2$$，公比$$r > 1$$。
$$a_1 + a_5 = a_1 + a_1 r^4 = \frac{17}{2}$$，
$$a_3 = a_1 r^2 = 2$$，故$$a_1 = \frac{2}{r^2}$$。
代入得：
$$\frac{2}{r^2} + \frac{2}{r^2} \cdot r^4 = \frac{17}{2}$$，
化简得：
$$2r^2 + 2 = \frac{17}{2} r^2$$，
解得$$r^2 = 4$$，$$r = 2$$。
$$a_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$，
$$S_6 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = \frac{1}{2} \times 63 = \frac{63}{2}$$。
正确答案：D。
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### 问题9解析
数列通项为$$a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$，即选项C。
正确答案：C。
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### 问题10解析
数列$$a_n = n^2 - 6n + 5$$为二次函数，最小值在$$n = \frac{6}{2} = 3$$处。
计算：
- $$a_3 = 9 - 18 + 5 = -4$$，
- $$a_4 = 16 - 24 + 5 = -3$$，
- $$a_2 = 4 - 12 + 5 = -3$$，
- 最小值为$$a_3 = -4$$。
正确答案：A。
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