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正确率60.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$且$$S_{n}=n^{2}+2^{n}，$$则$${{a}_{3}{=}}$$
（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{2}}$$
3、['数列的前n项和'， '等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '等比中项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， ~ a_{1}=1，$$当$${{n}{⩾}{2}}$$且$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$时$$a_{n}， ~ S_{n}， ~ S_{n}-1$$成等比数列，则$${{a}_{5}{=}}$$（）
D
A.$$\frac{1} {5}$$
B.$$- \frac{1} {5}$$
C.$$\frac{1} {2 0}$$
D.$$- \frac{1} {2 0}$$
4、['数列的前n项和'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}+a_{n-1}=(-1 )^{\frac{n \left( n+1 \right)} {2}} \cdot\left( n+1 \right) \left( n \geqslant2 \right)， S_{n}$$是其前$${{n}}$$项和，若$$S_{2 0 1 7}=-1 0 0 7-b， \; \; ($$其中$$a_{1} b > 0 )$$，则$$\frac{2} {a_{1}}+\frac{3} {b}$$的最小值是（）
D
A.$${{5}{−}{2}{\sqrt {6}}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
D.$${{5}{+}{2}{\sqrt {6}}}$$
5、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$和为$$S_{n}， ~ a_{1}=1$$，当$${{n}{⩾}{2}}$$时，$$a_{n}+2 S_{n-1}=n$$，则$$S_{2 0 1 7}=\alpha$$）
D
A.$${{1}{0}{0}{6}}$$
B.$${{1}{0}{0}{7}}$$
C.$${{1}{0}{0}{8}}$$
D.$${{1}{0}{0}{9}}$$
6、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '导数中不等式恒成立与存在性问题']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，对任意$$n \in N^{*}， \， \， S_{n}=\， ( \mathrm{~-~ 1 ~} ) \， \，^{n} a_{n}+\frac{1} {2^{n}}+2 n-6$$，且$$( \mathbf{a}_{n+1}-\boldsymbol{p} ) / ( \mathbf{a}_{n}-\boldsymbol{p} ) / < 0$$恒成立，则实数$${{p}}$$的取值范围是（）
A
A.$$( ~-~ \frac{7} {4}， ~ \frac{2 3} {4} )$$
B.$$( ~-\infty， ~ \frac{2 3} {4} )$$
C.$$( \mathbf{\tau}-\mathbf{\frac{7} {4}}， \mathbf{6} )$$
D.$$( \mathit{\Pi-2， \} \frac{2 3} {4} )$$
7、['数列的前n项和'， '等比数列的性质']正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝为等比数列$${，{{S}_{n}}}$$为其前$${{n}}$$项和，且$$S_{n}=2 \; 0 1 8 \times2 \; 0 2 0^{n}-2 \; 0 1 9 t，$$则常数$${{t}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{2 \， 0 1 6} {2 \， 0 1 7}$$
B.$$\frac{2 \， 0 1 7} {2 \， 0 1 8}$$
C.$$\frac{2 \， 0 1 8} {2 \， 0 1 9}$$
D.$$\frac{2 \， 0 1 9} {2 \， 0 2 0}$$
8、['数列的前n项和'， '函数的新定义问题'， '利用导数讨论函数单调性']正确率40.0%已知对$$\forall n \in N *，$$关于$${{x}}$$的函数$$f_{n} \， \left( \， x \right) \， \，=x+\， \， \left( \， 1-a_{n} \， \right) \， \， \l n x \， \， ( \， n < x < n+1$$都不单调，其中$$a_{n} \， \left( \begin{matrix} {n=1，} & {2，} & {\ldots，} & {k，} & {\ldots} \\ \end{matrix} \right)$$为常数，定义$${{[}{x}{]}}$$为不超过实数$${{x}}$$的最大整数，如$$[ 0. 8 ]=0， ~ [ \pi]=3$$，设$$b_{n}=[ \sqrt{a_{n}} ]$$，记常数$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{1 0 0}$$的值为（）
D
A.$${{3}{1}{0}}$$
B.$${{3}{0}{9}}$$
C.$${{3}{0}{8}}$$
D.$${{3}{0}{7}}$$
10、['数列的前n项和'， '裂项相消法求和']正确率60.0%数列$$1， {\frac{1} {1+2}}， {\frac{1} {1+2+3}}， \cdots{\frac{1} {1+2+3+\ldots+n}}， \cdots$$的前$${{n}}$$项和为（）
B
A.$$\frac{n} {n+1}$$
B.$$\frac{2 n} {n+1}$$
C.$$\frac{4 n} {n+1}$$
D.$$\frac{n} {2 \， ( n+1 )}$$
### 题目1解析已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = n^2 + 2^n$$，求 $$a_3$$。
步骤1：理解题意
数列的第 $$n$$ 项 $$a_n$$ 可以通过前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 与前 $$n-1$$ 项和 $$S_{n-1}$$ 的差来求得，即：
$$a_n = S_n - S_{n-1}$$
步骤2：计算 $$S_3$$ 和 $$S_2$$
根据给定的 $$S_n$$ 公式：
$$S_3 = 3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17$$
$$S_2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$$
步骤3：求 $$a_3$$
利用步骤1的公式：
$$a_3 = S_3 - S_2 = 17 - 8 = 9$$
最终答案
选项 C 正确，即 $$a_3 = 9$$。
已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，且 $$a_1 = 1$$，当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n$$、$$S_n$$、$$S_n - 1$$ 成等比数列，求 $$a_5$$。
步骤1：理解题意
题目说明当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n$$、$$S_n$$、$$S_n - 1$$ 成等比数列，因此有：
$$S_n^2 = a_n (S_n - 1)$$
步骤2：递推关系
注意到 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$，将其代入上式：
$$S_n^2 = (S_n - S_{n-1})(S_n - 1)$$
展开整理得：
$$S_n^2 = S_n^2 - S_n - S_n S_{n-1} + S_{n-1}$$
化简后得到：
$$S_n + S_n S_{n-1} - S_{n-1} = 0$$
即：
$$S_n (1 + S_{n-1}) = S_{n-1}$$
因此：
$$S_n = \frac{S_{n-1}}{1 + S_{n-1}}$$
步骤3：计算前几项
已知 $$a_1 = 1$$，所以 $$S_1 = 1$$。
利用递推关系：
$$S_2 = \frac{S_1}{1 + S_1} = \frac{1}{2}$$
$$S_3 = \frac{S_2}{1 + S_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$$
$$S_4 = \frac{S_3}{1 + S_3} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$$
$$S_5 = \frac{S_4}{1 + S_4} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5}$$
步骤4：求 $$a_5$$
利用 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$：
$$a_5 = S_5 - S_4 = \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{20}$$
最终答案
选项 D 正确，即 $$a_5 = -\frac{1}{20}$$。
已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_n + a_{n-1} = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)$$（$$n \geq 2$$），且 $$S_{2017} = -1007 - b$$，其中 $$a_1 b > 0$$，求 $$\frac{2}{a_1} + \frac{3}{b}$$ 的最小值。
步骤1：分析数列递推关系
递推关系为：
$$a_n + a_{n-1} = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)$$
注意到 $$\frac{n(n+1)}{2}$$ 是三角数，其奇偶性决定了符号。
步骤2：计算前几项
设 $$a_1 = k$$，则：
$$a_2 + a_1 = (-1)^3 \cdot 3 = -3 \Rightarrow a_2 = -3 - k$$
$$a_3 + a_2 = (-1)^6 \cdot 4 = 4 \Rightarrow a_3 = 4 - a_2 = 7 + k$$
$$a_4 + a_3 = (-1)^{10} \cdot 5 = 5 \Rightarrow a_4 = 5 - a_3 = -2 - k$$
$$a_5 + a_4 = (-1)^{15} \cdot 6 = -6 \Rightarrow a_5 = -6 - a_4 = -4 + k$$
可以发现数列的奇数项和偶数项分别呈现某种规律。
步骤3：求和 $$S_{2017}$$
由于 $$2017$$ 是奇数，可以将数列分成 $$1008$$ 对（$$a_2 + a_3$$, $$a_4 + a_5$$, ..., $$a_{2016} + a_{2017}$$）加上 $$a_1$$。
每对的和为：
$$a_{2m} + a_{2m+1} = (-1)^{\frac{(2m+1)(2m+2)}{2}} \cdot (2m+2) = (-1)^{(2m+1)(m+1)} \cdot (2m+2)$$
注意到 $$(2m+1)(m+1)$$ 的奇偶性与 $$m+1$$ 相同，因此：
$$a_{2m} + a_{2m+1} = (-1)^{m+1} \cdot (2m+2)$$
因此：
$$S_{2017} = a_1 + \sum_{m=1}^{1008} (a_{2m} + a_{2m+1}) = k + \sum_{m=1}^{1008} (-1)^{m+1} \cdot (2m+2)$$
计算求和部分：
$$\sum_{m=1}^{1008} (-1)^{m+1} \cdot (2m+2) = 4 - 6 + 8 - 10 + \cdots + 2018$$
这是一个交错数列，每两项的和为 $$-2$$，共有 $$504$$ 对：
$$504 \times (-2) = -1008$$
因此：
$$S_{2017} = k - 1008$$
题目给出 $$S_{2017} = -1007 - b$$，因此：
$$k - 1008 = -1007 - b \Rightarrow b = 1 - k$$
步骤4：利用约束条件
题目给出 $$a_1 b > 0$$，即 $$k(1 - k) > 0$$，解得 $$0 < k < 1$$。
步骤5：求最小值
需要最小化 $$\frac{2}{k} + \frac{3}{1 - k}$$，其中 $$0 < k < 1$$。
设 $$f(k) = \frac{2}{k} + \frac{3}{1 - k}$$，求导得：
$$f'(k) = -\frac{2}{k^2} + \frac{3}{(1 - k)^2}$$
令导数为零：
$$-\frac{2}{k^2} + \frac{3}{(1 - k)^2} = 0 \Rightarrow \frac{3}{(1 - k)^2} = \frac{2}{k^2}$$
解得：
$$\sqrt{3}k = \sqrt{2}(1 - k) \Rightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$$
代入计算最小值：
$$f\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}\right) = 5 + 2\sqrt{6}$$
最终答案
选项 D 正确，即最小值为 $$5 + 2\sqrt{6}$$。
已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，且 $$a_1 = 1$$，当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n + 2 S_{n-1} = n$$，求 $$S_{2017}$$。
步骤1：建立递推关系
题目给出 $$a_n + 2 S_{n-1} = n$$，而 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$，因此：
$$S_n - S_{n-1} + 2 S_{n-1} = n \Rightarrow S_n + S_{n-1} = n$$
步骤2：解递推关系
这是一个非齐次递推关系，先解齐次部分：
$$S_n + S_{n-1} = 0$$ 的通解为 $$S_n = C (-1)^n$$。
猜测特解为 $$S_n = An + B$$，代入递推关系：
$$An + B + A(n-1) + B = n \Rightarrow 2An - A + 2B = n$$
比较系数得：
$$2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$$
$$-A + 2B = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{4}$$
因此通解为：
$$S_n = C (-1)^n + \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$$
步骤3：利用初始条件确定常数
已知 $$S_1 = a_1 = 1$$，代入通解：
$$1 = C (-1) + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \Rightarrow -C + \frac{3}{4} = 1 \Rightarrow C = -\frac{1}{4}$$
因此：
$$S_n = -\frac{1}{4} (-1)^n + \frac{n}{2} + \frac{1}{4}$$
步骤4：计算 $$S_{2017}$$
代入 $$n = 2017$$：
$$S_{2017} = -\frac{1}{4} (-1)^{2017} + \frac{2017}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2017}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2017}{2} + \frac{1}{2} = 1009$$
最终答案
选项 D 正确，即 $$S_{2017} = 1009$$。
已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = (-1)^n a_n + \frac{1}{2^n} + 2n - 6$$，且 $$(a_{n+1} - p)(a_n - p) < 0$$ 恒成立，求实数 $$p$$ 的取值范围。
步骤1：求通项公式
利用 $$a_n = S_n - S_{n-1}$$（$$n \geq 2$$）：
$$a_n = (-1)^n a_n + \frac{1}{2^n} + 2n - 6 - \left[ (-1)^{n-1} a_{n-1} + \frac{1}{2^{n-1}} + 2(n-1) - 6 \right]$$
化简得：
$$a_n = (-1)^n a_n - (-1)^{n-1} a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2$$
整理得：
$$a_n + (-1)^n a_n = -(-1)^{n-1} a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2$$
分奇偶讨论：
当 $$n$$ 为偶数时：
$$a_n + a_n = a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2 \Rightarrow 2a_n = a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2$$
当 $$n$$ 为奇数时：
$$a_n - a_n = -a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2 \Rightarrow 0 = -a_{n-1} - \frac{1}{2^n} + 2 \Rightarrow a_{n-1} = 2 - \frac{1}{2^n}$$
这表明奇数项的 $$a_{n-1}$$ 可以直接求出。
步骤2：确定数列形式
设 $$n = 2k$$（偶数），则：
$$2a_{2k} = a_{2k-1} - \frac{1}{2^{2k}} + 2$$
而 $$a_{2k-1} = 2 - \frac{1}{2^{2k-1}}$$（由奇数项公式），因此：
$$2a_{2k} = 2 - \frac{1}{2^{2k-1}} - \frac{1}{2^{2k}} + 2 = 4 - \frac{3}{2^{2k}}$$
因此：
$$a_{2k} = 2 - \frac{3}{2^{2k+1}}$$
类似地，对于奇数项：
$$a_{2k-1} = 2 - \frac{1}{2^{2k-1}}$$
步骤3：分析不等式条件
题目要求 $$(a_{n+1} - p)(a_n - p) < 0$$ 对所有 $$n$$ 成立，即 $$a_n$$ 在 $$p$$ 两侧摆动。
计算前几项：
$$a_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
$$a_2 = 2 - \frac{3}{8} = \frac{13}{8}$$
$$a_3 = 2 - \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$$
$$a_4 = 2 - \frac{3}{32} = \frac{61}{32}$$
观察到 $$a_n$$ 在 $$\frac{3}{2}$$ 和 $$2$$ 之间摆动，因此 $$p$$ 应满足：
$$\frac{3}{2} < p < 2$$
但需要更精确的范围。
步骤4：确定 $$p$$ 的范围
由于 $$a_{2k} \to 2$$ 和 $$a_{2k-1} 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱