数列的函数特征-4.1 数列的概念知识点月考进阶单选题自测题答案-广东省等高二数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['数列的函数特征'， '等比数列的性质'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%已知等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝和公差不为零的等差数列｛$${{b}_{n}}$$｝都是无穷数列，当$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$时，下列说法正确的是（）

A.若｛$${{a}_{n}}$$｝是递增数列，则数列｛$${{n}{{a}_{n}}}$$｝是递增数列

B.若｛$${{b}_{n}}$$｝是递增数列，则数列｛$${{n}{{b}_{n}}}$$｝是递增数列

C.若数列｛$${{n}{{a}_{n}}}$$｝是递增数列，则数列｛$${{a}_{n}}$$｝是递增数列

D.若数列｛$${{n}{{b}_{n}}}$$｝是递增数列，则数列｛$${{b}_{n}}$$｝是递增数列

2、['数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列的定义与证明']

正确率40.0%设$${{f}{（}{x}{）}}$$是定义在$${{R}}$$上恒不为零的函数，且对任意的$$x， \， \， y \in R$$，都有$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) \cdot f \left( \begin{matrix} {y} \\ \end{matrix} \right) \ =f \left( \begin{matrix} {x} \\ {+y} \\ \end{matrix} \right)$$若$$a_{1}={\frac{1} {2}}， \， \， a_{n}=f \， \， ( \， n ) \， \， \， \， ( \， n \in N_{+} \， )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$的取值范围是（）

A.$$( 1， \ 2 )$$

B.$$[ \frac{1} {2}， \ 1 )$$

C.$$[ \frac{2} {3}， \ 1 )$$

D.$$( 1， ~ \frac{3} {2} ]$$

3、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '函数单调性的判断'， '数列的通项公式']

正确率40.0%定义数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{“}}$$项的倒数的$${{n}}$$倍和数$${{”}}$$为$$T_{n}=\frac{1} {a_{1}}+\frac{2} {a_{2}}+\ldots+\frac{n} {a_{n}} ( n \in N^{*} )$$，已知$$T_{n}=\frac{n^{2}} {2} \ ( \ n \in N^{*} )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是（）

A.单调递减的

B.单调递增的

C.先增后减的

D.先减后增的

4、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式']

正确率40.0%已知数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$满足$$a_{1}=1， \， \， \， \frac{a_{n+1}} {a_{n}}=\frac{1} {3 a_{n}+2}， \， \， \， a_{n} b_{n}=1$$，则使$${{b}_{n}{>}{{1}{0}{1}}}$$的最小的$${{n}}$$为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

5、['数列的定义与概念'， '数列的函数特征'， '数列的通项公式']

正确率60.0%下列说法不正确的是$${{(}{)}}$$

A.数列不一定有通项公式

B. 数列的通项公式不一定唯一

C.数列可以用一群孤立的点表示

D. 数列的项不能相等

7、['数列的函数特征'， '指数方程与指数不等式的解法'， '数列的通项公式'， '不等式比较大小'， '数列与函数的综合问题']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=( n+2 ) \cdot\left( {\frac{9} {1 0}} \right)^{n} ( n \in N^{*} )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的最大项是$${{(}{)}}$$

A.第$${{6}}$$项或第$${{7}}$$项

B.第$${{7}}$$项或第$${{8}}$$项

C.第$${{8}}$$项或第$${{9}}$$项

D.第$${{7}}$$项

8、['数列的函数特征'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%设等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{1 3} > 0， \; S_{1 4} < 0$$，则$${{S}_{n}}$$取最大值时$${{n}}$$的值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{3}}$$

9、['数列的函数特征']

正确率80.0%大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其部分项如下：$${{0}}$$，$${{2}}$$，$${{4}}$$，$${{8}}$$，$${{1}{2}}$$，$${{1}{8}}$$，$${{2}{4}}$$，$${{3}{2}}$$，$${{4}{0}}$$，$${{5}{0}}$$，……，由此规律得到下列选项错误的是$${{(}{)}}$$

A.$$a_{1 1}=6 0$$

B.$$a_{1 2}=7 2$$

C.$$a_{1 3}=8 4$$

D.$$a_{1 4}=9 4$$

10、['等差数列的通项公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的应用'， '充要条件']

正确率40.0%无穷等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{a}_{1}}$$，公差为$${{d}}$$，前$${{n}}$$项和为$$S_{n} ( n \in{\bf N}^{*} )$$，则“$$a_{1}+d > 0$$”是“$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$为递增数列”的$${{(}{)}}$$条件．

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

1. 解析：

对于选项A，若$${a_n}$$是递增等比数列，设公比$$q>1$$，则$$n a_n = n a_1 q^{n-1}$$。当$$n$$增大时，$$q^{n-1}$$的增长可能无法抵消$$n$$的线性增长，因此$$n a_n$$不一定递增，A错误。

对于选项B，若$${b_n}$$是递增等差数列，设公差$$d>0$$，则$$n b_n = n (b_1 + (n-1)d)$$。当$$n$$增大时，$$n^2 d$$主导增长，因此$$n b_n$$递增，B正确。

对于选项C，若$${n a_n}$$递增，可能$${a_n}$$递减但$$n$$的增长补偿，因此$${a_n}$$不一定递增，C错误。

对于选项D，若$${n b_n}$$递增，由于$$n$$严格递增，$${b_n}$$必须递增，否则$$n b_n$$无法保证递增，D正确。

综上，正确答案为BD，但题目为单选题，可能存在争议。

2. 解析：

函数$$f(x)$$满足$$f(x+y)=f(x)f(y)$$，且$$f(1)=\frac{1}{2}$$，因此$$f(n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n$$。

数列$${a_n}$$是等比数列，首项$$a_1=\frac{1}{2}$$，公比$$q=\frac{1}{2}$$。

前$$n$$项和$$S_n = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$$，取值范围为$$\left[\frac{1}{2}, 1\right)$$，故选B。

3. 解析：

已知$$T_n = \frac{n^2}{2}$$，则$$\frac{n}{a_n} = T_n - T_{n-1} = \frac{2n-1}{2}$$。

因此$$a_n = \frac{2n}{2n-1}$$，分析$$a_{n+1} - a_n = \frac{2(n+1)}{2n+1} - \frac{2n}{2n-1} = \frac{-2}{(2n+1)(2n-1)} < 0$$，数列单调递减，选A。

4. 解析：

由递推关系$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3a_n + 2}$$，取倒数得$$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 + \frac{2}{a_n}$$。

设$$c_n = \frac{1}{a_n}$$，则$$c_{n+1} = 2 + 3c_n$$，解得$$c_n = 3^n - 1$$。

因此$$b_n = \frac{1}{a_n} = 3^n - 1$$，解$$3^n - 1 > 101$$得$$n \geq 5$$，选B。

5. 解析：

选项D错误，数列的项可以相等（如常数列）。其他选项均正确，故选D。

7. 解析：

求$$a_n = (n+2)\left(\frac{9}{10}\right)^n$$的最大项，比较相邻项比值$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+3}{n+2} \cdot \frac{9}{10}$$。

当$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$$时，解得$$n \leq 7$$，因此最大项为第7或8项，选B。

8. 解析：

由$$S_{13} = 13a_7 > 0$$和$$S_{14} = 7(a_7 + a_8) < 0$$，得$$a_7 > 0$$且$$a_8 < 0$$。

因此$$S_n$$在$$n=7$$时取最大值，选B。

9. 解析：

观察大衍数列规律：偶数项$$a_{2n} = 2n^2$$，奇数项$$a_{2n-1} = 2n(n-1)$$。

计算$$a_{14} = 2 \times 7^2 = 98 \neq 94$$，故选D。

10. 解析：

等差数列$${S_n}$$递增的条件是$$d > 0$$或$$d = 0$$且$$a_1 > 0$$。

“$$a_1 + d > 0$$”不能保证$$d > 0$$（如$$a_1 = 2$$，$$d = -1$$），因此是既不充分也不必要条件，选D。

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