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正确率40.0%高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号$${{.}}$$用他名字定义的函数称为高斯函数$$f ( x )=[ x ]$$，其中$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数$${{.}}$$已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{n}=\frac{1} {2} ( a_{n}+\frac{1} {a_{n}} )$$，令$$b_{n}=\frac{1} {S_{n}+S_{n+2}}$$，则$$[ b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{9 9} ]=( \mathrm{~ \} )$$
A.$${{7}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{7}}$$
D.$${{1}{8}}$$
2、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=a，$$且$$a_{n+1}=\left\{\begin{array} {l} {{\frac{1} {2} a_{n}， \ n=2 k-1， \ k \in\mathbf{N}^{*}，}} \\ {{2 a_{n}， \ n=2 k， \ k \in\mathbf{N}^{*}.}} \\ \end{array} \right.$$设$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$S_{2 0 2 0}=1，$$则$${{a}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {3 0 3 0}$$
B.$$\frac{1} {2 0 2 0}$$
C.$$\frac{1} {1 5 1 5}$$
D.$${{1}}$$
3、['数列的递推公式']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是各项均为整数的递增数列，且$${{a}_{1}{⩾}{3}}$$.若$$a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=1 0 0，$$则$${{n}}$$的最大值为（）
C
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
4、['数列的递推公式']正确率60.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=n^{2}+2 n ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则$${{a}_{6}{=}}$$（）
A
A.$${{1}{3}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{5}}$$
D.$${{1}{6}}$$
5、['数列的递推公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=\frac{3} {5}， \ a_{n}=1-\frac{1} {a_{n-1}} ( n \geqslant2 )$$，则$$a_{2 0 1 2}=( \eta)$$
C
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{3} {5}$$
C.$$- \frac{2} {3}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
6、['数列的递推公式'， '数列的函数特征']正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2， \ a_{n+1}=\frac{1+a_{n}} {1-a_{n}}$$，则$$a_{2 0 1 8}$$的值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
7、['数列的递推公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，$$a_{1}=-2， \， \， a_{n+1}=S_{n}$$，那么$${{a}_{5}{=}{（}}$$）
C
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{−}{8}}$$
C.$${{−}{{1}{6}}}$$
D.$${{−}{{3}{2}}}$$
8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中；$$a_{1}=3， a_{2}=6$$且$$a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$$，则数列的第$${{1}{0}{0}}$$项为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{−}{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{−}{6}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的定义与证明']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{n}=2 a_{n}-4 ( n \in{\bf N}^{*} )$$，则$${{a}_{n}}$$等于（）
A
A.$$2^{n+1}$$
B.$${{2}^{n}}$$
C.$$2^{n-1}$$
D.$$2^{n-2}$$
10、['数列的递推公式']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=3， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}-1} {a_{n}}$$则$$a_{2 0 1 5}=( \eta)$$
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{3}}$$
C.$$- \frac{1} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
1. 首先根据递推关系式 $$S_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right)$$，可以推导出 $$a_{n}$$ 的通项公式。当 $$n=1$$ 时，$$S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}\left(a_{1}+\frac{1}{a_{1}}\right)$$，解得 $$a_{1}=1$$。进一步计算 $$a_{2}$$ 和 $$a_{3}$$ 可以发现 $$a_{n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$$。于是 $$S_{n}=\sqrt{n}$$，因此 $$b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{2}$$。求和得 $$\sum_{k=1}^{99} b_{k}=\frac{\sqrt{101}-1}{2} \approx 4.52$$，取整后为 $$4$$，但选项中没有，可能是计算错误。重新推导发现 $$S_{n}+S_{n+2}=\sqrt{n}+\sqrt{n+2}$$，因此 $$b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}=\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{2}$$，求和后为 $$\frac{\sqrt{101}-1}{2} \approx 4.52$$，取整为 $$4$$，但选项最接近的是 $$8$$，可能是题目理解有误。
3. 要使 $$n$$ 最大，需要数列 $$\{a_{n}\}$$ 尽可能小且递增。设 $$a_{1}=3$$，$$a_{2}=4$$，依此类推，$$a_{n}=n+2$$。求和公式为 $$S_{n}=\frac{n(n+5)}{2}$$。令 $$\frac{n(n+5)}{2} \leq 100$$，解得 $$n \leq 12$$。验证 $$n=12$$ 时 $$S_{12}=102$$ 超过 100，$$n=11$$ 时 $$S_{11}=88$$，剩余 $$100-88=12$$ 可以分配给 $$a_{12}=14$$，但总和为 $$102$$ 仍超过 100。调整 $$a_{11}=13$$，$$S_{11}=88$$，$$a_{12}=12$$ 不满足递增。因此最大 $$n=11$$，选项 C 正确。
5. 递推关系式为 $$a_{n}=1-\frac{1}{a_{n-1}}$$，计算前几项：$$a_{1}=\frac{3}{5}$$，$$a_{2}=-\frac{2}{3}$$，$$a_{3}=\frac{5}{2}$$，$$a_{4}=\frac{3}{5}$$，发现数列周期为 3。因为 $$2012 \mod 3 = 2$$，所以 $$a_{2012}=a_{2}=-\frac{2}{3}$$，选项 C 正确。
7. 递推关系式为 $$a_{n+1}=S_{n}$$，且 $$a_{1}=-2$$。计算前几项：$$S_{1}=-2$$，$$a_{2}=-2$$，$$S_{2}=-4$$，$$a_{3}=-4$$，$$S_{3}=-8$$，$$a_{4}=-8$$，$$S_{4}=-16$$，$$a_{5}=-16$$，选项 C 正确。
9. 根据 $$S_{n}=2a_{n}-4$$，当 $$n=1$$ 时 $$S_{1}=a_{1}=2a_{1}-4$$，解得 $$a_{1}=4$$。对于 $$n \geq 2$$，$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2a_{n}-2a_{n-1}$$，整理得 $$a_{n}=2a_{n-1}$$，因此 $$a_{n}=4 \times 2^{n-1}=2^{n+1}$$，选项 A 正确。