1、['数列的前n项和'， '数列中的数学文化问题'， '数列的通项公式']正确率40.0%大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前$${{1}{0}}$$项依次是$$0， ~ 2， ~ 4， ~ 8， ~ 1 2， ~ 1 8， ~ 2 4，$$$$3 2， ~ 4 0， ~ 5 0，$$则下列说法正确的是（）
B
A.此数列的第$${{1}{9}}$$项是$${{1}{8}{2}}$$
B.此数列的第$${{2}{0}}$$项是$${{2}{0}{0}}$$
C.此数列偶数项的通项公式为$$a_{2 n}=2 n+1 ( n \in{\bf N}^{*} )$$
D.此数列的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}=n \cdot( n-1 ) ( n \in{\bf N}^{*} )$$
2、['数列的通项公式']正确率80.0%数列$$3， ~ 2， ~ \frac{9} {5}， ~ \frac{1 2} {7}， ~ \frac{5} {3}， ~ \dots$$的一个通项公式为$${{a}_{n}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{3 n} {2 n+1}$$
B.$$\frac{3 n} {2 n-1}$$
C.$$\frac{3 n} {2 n-3}$$
D.$$\frac{3 n} {2 n+3}$$
3、['数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前项$${{4}}$$项为$$2， ~ 0， ~ 2， ~ 0$$，则该数列的通项不可能是$${{(}{)}}$$
C
A.$$a_{n}=(-1 )^{n+1}+1$$
B.$$a_{n}=\left\{\begin{matrix} {2， n \sharp\xrightarrow{\neq} \# \j} \\ {0， n \sharp\xrightarrow{\bigoplus} \xleftarrow{\sharp} \sharp\j} \\ \end{matrix} \right.$$
C.$$a_{n}=2 \operatorname{s i n} \frac{n \pi} {2}$$
D.$$a_{n}=\operatorname{c o s} ( n-1 ) \pi+1$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足递推关系：$$a_{1}=\frac{1} {2}，$$$$a_{n}=\frac{a_{n-1}} {1+a_{n-1}} ( n \geqslant2， n \in{\bf N}^{*} )$$，则$$a_{2 0 1 8}$$等于（）
D
A.$$\frac{1} {2 0 1 6}$$
B.$$\frac{1} {2 0 1 7}$$
C.$$\frac{1} {2 0 1 8}$$
D.$$\frac{1} {2 0 1 9}$$
5、['裂项相消法求和'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=n^{2}+2 n$$，则数列$$\{\frac1 {a_{n} \cdot a_{n+1}} \}$$的前$${{6}}$$项和为（）
A
A.$$\frac2 {1 5}$$
B.$$\frac{4} {1 5}$$
C.$$\frac{5} {1 1}$$
D.$$\frac{1 0} {1 1}$$
6、['数列中的新定义问题'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的乘积为$${{T}_{n}}$$，且$$a_{n}=2^{9-n}$$，则下列等式中正确的是（）
C
A.$$T_{1}=T_{1 9}$$
B.$$T_{3}=T_{1 7}$$
C.$$T_{5}=T_{1 2}$$
D.$$T_{8}=T_{1 1}$$
7、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '数列中的新定义问题'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$\left( n+1 \right) a_{n}=n a_{n}+1， \， \， \， a_{1}=1$$，定义$$a_{n}+1 \otimes a_{n}=\frac{a_{n+1} a_{n}} {a_{n+1}-a_{n}}$$，则$$\frac{1} {a_{2} \otimes a_{1}}-\frac{1} {a_{3} \otimes a_{2}}-\ldots-\frac{1} {a_{2 0 0 9} \otimes a_{2 0 0 8}}=($$）
C
A.$$- \frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
B.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
C.$$\frac{1} {2 0 1 9}$$
D.$$- \frac1 {2 0 1 9}$$
8、['数列的定义与概念'， '等差数列的定义与证明'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$$3.$$那么$${{8}{1}}$$是它的第几项（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{3}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}{5}}$$
9、['数学归纳法的应用'， '函数的周期性'， '数列的通项公式']正确率40.0%若$${{a}_{1}{=}{1}}$$，对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$${{a}_{n}{>}{0}}$$，且$$n a_{n+1}^{\， \， \， \， 2}-( 2 n-1 ) a_{n+1} a_{n}-2 a_{n}^{\， \， \， \， 2}=0$$，设$${{M}{(}{x}{)}}$$表示整数$${{x}}$$的个位数字，则$$M ( a_{2 \ 0 1 9} )=$$（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
10、['数列的定义与概念'， '数列的通项公式']正确率80.0%数列$$- \frac1 5， \frac1 7，-\frac1 9， \frac1 {1 1}， \cdots$$的通项公式可能是$$a_{n}=( \textsubscript{\Pi} )$$
D
A.$$\frac{(-1 )^{n-1}} {2 n+3}$$
B.$$\frac{\left(-1 \right)^{n-1}} {3 n+2}$$
C.$$\frac{(-1 )^{n}} {3 n+2}$$
D.$$\frac{(-1 )^{n}} {2 n+3}$$
1. 大衍数列的解析：
根据题目描述，大衍数列的前10项为0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40, 50。观察规律：
偶数项：2, 8, 18, 32, 50，可以表示为$$a_{2n} = 2n^2$$。
奇数项：0, 4, 12, 24, 40，可以表示为$$a_{2n-1} = 2n(n-1)$$。
验证选项：
A. 第19项是奇数项，$$a_{19} = 2 \times 10 \times 9 = 180 \neq 182$$，错误。
B. 第20项是偶数项，$$a_{20} = 2 \times 10^2 = 200$$，正确。
C. 偶数项通项公式应为$$a_{2n} = 2n^2$$，与题目不符，错误。
D. 前n项和公式不正确，例如$$S_2 = 0 + 2 = 2 \neq 2 \times 1 \times 0$$，错误。
正确答案：B。
2. 数列的通项公式解析：
给定数列：3, 2, $$\frac{9}{5}$$, $$\frac{12}{7}$$, $$\frac{5}{3}$$, ...
将数列改写为分数形式：$$\frac{3}{1}$$, $$\frac{4}{2}$$, $$\frac{9}{5}$$, $$\frac{12}{7}$$, $$\frac{15}{9}$$, ...
分子为3, 4, 9, 12, 15，规律不明显；分母为1, 2, 5, 7, 9，也不明显。
尝试将数列表示为$$\frac{3n}{2n-1}$$：
$$n=1$$: $$\frac{3}{1}$$，符合。
$$n=2$$: $$\frac{6}{3} = 2$$，符合。
$$n=3$$: $$\frac{9}{5}$$，符合。
$$n=4$$: $$\frac{12}{7}$$，符合。
$$n=5$$: $$\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$$，符合。
正确答案：B。
3. 数列通项的不可能解析：
给定数列前4项为2, 0, 2, 0。
验证选项：
A. $$a_n = (-1)^{n+1} + 1$$：$$a_1 = 2$$, $$a_2 = 0$$, $$a_3 = 2$$, $$a_4 = 0$$，符合。
B. 题目描述不清晰，无法验证。
C. $$a_n = 2 \sin \frac{n\pi}{2}$$：$$a_1 = 2$$, $$a_2 = 0$$, $$a_3 = -2$$, $$a_4 = 0$$，不符合。
D. $$a_n = \cos(n-1)\pi + 1$$：$$a_1 = 2$$, $$a_2 = 0$$, $$a_3 = 2$$, $$a_4 = 0$$，符合。
正确答案：C。
4. 递推数列的解析：
给定递推关系：$$a_1 = \frac{1}{2}$$, $$a_n = \frac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1}}$$。
计算前几项：
$$a_1 = \frac{1}{2}$$, $$a_2 = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}$$, $$a_3 = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$$。
猜想通项公式为$$a_n = \frac{1}{n+1}$$。
验证：$$a_{2018} = \frac{1}{2019}$$。
正确答案：D。
5. 数列求和解析：
给定$$S_n = n^2 + 2n$$，则$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n + 1$$（$$n \geq 2$$），$$a_1 = S_1 = 3$$。
数列$$\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\}$$的通项为$$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$$。
前6项和为$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right) = \frac{2}{15}$$。
正确答案：A。
6. 数列乘积解析：
给定$$a_n = 2^{9-n}$$，则$$T_n = a_1 a_2 \cdots a_n = 2^{9-1} \times 2^{9-2} \times \cdots \times 2^{9-n} = 2^{9n - \frac{n(n+1)}{2}}$$。
验证对称性：$$T_k = T_{18 - k}$$，因为$$9k - \frac{k(k+1)}{2} = 9(18 - k) - \frac{(18 - k)(19 - k)}{2}$$。
因此$$T_3 = T_{15}$$（不在选项中），$$T_8 = T_{10}$$（不在选项中），$$T_5 = T_{13}$$（不在选项中），$$T_1 = T_{17}$$（不在选项中）。
题目选项可能有误，但最接近的是$$T_8 = T_{11}$$（计算$$T_8 = 2^{72 - 36} = 2^{36}$$, $$T_{11} = 2^{99 - 66} = 2^{33}$$，不相等）。
可能题目描述有误，无法确定正确答案。
7. 数列定义解析：
给定递推关系$$(n+1)a_{n+1} = n a_n$$，且$$a_1 = 1$$，解得$$a_n = \frac{1}{n}$$。
定义$$a_{n+1} \otimes a_n = \frac{a_{n+1} a_n}{a_{n+1} - a_n} = \frac{\frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}} = -\frac{1}{n(n+1)}$$。
因此$$\frac{1}{a_{n+1} \otimes a_n} = -n(n+1)$$。
求和：$$-\sum_{k=1}^{2008} k(k+1) = -\left( \sum_{k=1}^{2008} k^2 + \sum_{k=1}^{2008} k \right)$$。
计算得$$-\left( \frac{2008 \times 2009 \times 4017}{6} + \frac{2008 \times 2009}{2} \right)$$，但选项为简单分数，可能题目理解有误。
重新理解定义：$$\frac{1}{a_{n+1} \otimes a_n} = \frac{a_{n+1} - a_n}{a_{n+1} a_n} = n - (n+1) = -1$$。
求和：$$-2008$$，与选项不符。
可能题目描述有误，无法确定正确答案。
8. 数列项数解析：
题目描述不完整，无法解析。
9. 数列递推与个位数解析：
给定递推关系$$n a_{n+1}^2 - (2n - 1) a_{n+1} a_n - 2 a_n^2 = 0$$，解得$$a_{n+1} = 2 a_n$$或$$a_{n+1} = -\frac{a_n}{n}$$。
由于$$a_n > 0$$，取$$a_{n+1} = 2 a_n$$，因此$$a_n = 2^{n-1}$$。
$$a_{2019} = 2^{2018}$$，个位数为6（因为$$2^1 = 2$$, $$2^2 = 4$$, $$2^3 = 8$$, $$2^4 = 16$$, 循环2, 4, 8, 6）。
$$2018 \mod 4 = 2$$，个位数为4。
正确答案：B。
10. 数列通项公式解析：
给定数列：$$-\frac{1}{5}$$, $$\frac{1}{7}$$, $$-\frac{1}{9}$$, $$\frac{1}{11}$$, ...
符号为$$(-1)^n$$，分母为5, 7, 9, 11，即$$2n + 3$$。
通项公式为$$a_n = \frac{(-1)^n}{2n + 3}$$。
正确答案：D。
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