数列的前n项和-4.1 数列的概念知识点回顾进阶自测题答案-宁夏回族自治区等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

正确率40.0%已知函数$$f ( x )=e^{x} ( \operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x )， x \in[-\frac{3 \pi} {2}， \frac{5 \pi} {2} ]$$，过点$$M ( \frac{\pi-1} {2}， 0 )$$作函数$${{f}{(}{x}{)}}$$图像的所有切线，记各切点的横坐标按从小到大构成数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}{，}}$$则数列$${{\{}{{x}_{n}}{\}}}$$的所有项之和的值为（）

C

A.$${{π}}$$

B.$$\frac{3} {2} \pi$$

C.$${{2}{π}}$$

D.$$\frac{5 \pi} {2}$$

正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， ~ a_{1}=1，$$若对任意正整数$${{n}{，}}$$都有$$S_{n+1}=-3 a_{n+1}+a_{n}+3，$$且$$S_{n}+a_{n} > (-1 )^{n} a，$$则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

C

A.$$\left(-1， \ \frac{3} {2} \right)$$

B.$$\left(-1， \enspace\frac{5} {2} \right)$$

C.$$\left(-2， \enspace\frac{5} {2} \right)$$

D.$$(-2， \ 3 )$$

正确率60.0%若等比数列｛$${{a}_{n}}$$｝对于一切$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都有$$a_{n+1}=1-\frac{2} {3} S_{n}，$$其中$${{S}_{n}}$$是此数列的前$${{n}}$$项和，$$a_{1}=1，$$则其公比$${{q}}$$为（）

C

A.$${{1}}$$

B.$$- \frac2 3$$

C.$$\frac{1} {3}$$

D.$$- \frac{1} {3}$$

正确率60.0%设数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$S_{n}=3 a_{n}-n，$$则$${{a}_{3}{=}}$$（）

C

A.$$\begin{array} {l l} {\underset{\frac{9} {8}}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{1 5} {8}$$

C.$$\frac{1 9} {8}$$

D.$$\frac{2 7} {8}$$

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n}+a_{n+1}=\frac{1} {2} ( n \in N^{*} )， \， \， a_{2}=1， \， \， S_{n}$$是$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 1}$$的值为（）

A

A.$$\frac{9} {2}$$

B.$$\frac{1 1} {2}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{1}{0}}$$

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$$a_{n}=\frac{1} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} ( n \in N^{*} ) \，， \， \， \， S_{n}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，满足$$S_{n} > 9 \left( n \in N^{*} \right)$$，则$${{n}}$$的最小值为（）

C

A.$${{9}{8}}$$

B.$${{9}{9}}$$

C.$${{1}{0}{0}}$$

D.$${{1}{0}{1}}$$

正确率60.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=n^{2}-2 n+3$$，则此数列的前$${{3}}$$项依次为（）

B

A.$$- 1， ~ 1， ~ 3$$

B.$$2， ~ 1， ~ 3$$

C.$$6， ~ 1， ~ 3$$

D.$$2， ~ 3， ~ 6$$

正确率19.999999999999996%若$$S_{n}=\operatorname{s i n} \frac{\pi} {7}+\operatorname{s i n} \frac{2 \pi} {7}+\operatorname{s i n} \frac{3 \pi} {7}+\cdots+\operatorname{s i n} \frac{n \pi} {7} ( n \in N^{*} )$$，则在$$S_{1}， S_{2}， S_{3}， \cdots， S_{1 0 0}$$中，正数的个数是

C

A.$${{1}{6}}$$个

B.$${{7}{2}}$$个

C.$${{8}{6}}$$个

D.$${{1}{0}{0}}$$个

正确率60.0%已知$$f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right) \ =\left\{\begin{matrix} {n^{2}， n=2 k-1， k \in N *} \\ {-( n+1 )^{2}， n=2 k， k \in N *} \\ \end{matrix} \right.$$，且$$a_{n}=f \left( \begin{matrix} {n} \\ \end{matrix} \right)+f \left( \begin{matrix} {n+1} \\ \end{matrix} \right)$$，则$$a_{1}+a_{2}+\ldots.+a_{2 0 1 8}=\alpha$$）

A

A.$${{−}{{2}{0}{1}{8}}{×}{{2}{0}{2}{0}}}$$

B.$${{−}{{1}{0}{0}{9}}{×}{{1}{0}{1}{1}}}$$

C.$${{−}{{2}{0}{1}{6}}{×}{{2}{0}{1}{8}}}$$

D.$${{−}{{1}{0}{0}{8}}{×}{{1}{0}{1}{0}}}$$

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和记为$$S_{n}， \， \， a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1} \， \， ( \， n \in N *， \， \， n \geqslant2 ) \， \， \，， \， \， a_{1}=2 0 1 8， \， \， a_{2}=2 0 1 7$$，则$$S_{1 0 0}=\alpha$$）

A

A.$${{2}{0}{1}{6}}$$

B.$${{2}{0}{1}{7}}$$

C.$${{2}{0}{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}{1}{9}}$$

1. 首先求函数 $$f(x) = e^x (\sin x + \cos x)$$ 的导数：

设切点为 $$(x_0, f(x_0))$$，切线方程为：

将点 $$M\left(\frac{\pi - 1}{2}, 0\right)$$ 代入切线方程：

化简得：

整理后：

解得 $$x_0 = -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$$。因此数列 $$\{x_n\}$$ 的和为：

正确答案是 B。

2. 由递推关系 $$S_{n+1} = -3 a_{n+1} + a_n + 3$$ 和 $$S_n = S_{n-1} + a_n$$，可得：

化简得：

特征方程为 $$4 r^2 - 4 r + 1 = 0$$，解得 $$r = \frac{1}{2}$$（重根）。通解为：

由初始条件 $$a_1 = 1$$ 和 $$S_2 = -3 a_2 + a_1 + 3$$，解得 $$A = 4$$，$$B = -2$$。因此：

求和 $$S_n + a_n > (-1)^n a$$ 对任意 $$n$$ 成立，分析极限情况得 $$a \in \left(-1, \frac{3}{2}\right)$$。

正确答案是 A。

3. 由等比数列性质 $$a_{n+1} = q a_n$$ 和 $$S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q}$$，代入给定关系：

对 $$n = 1$$，有 $$q = 1 - \frac{2}{3} \cdot 1$$，解得 $$q = \frac{1}{3}$$。

验证 $$n = 2$$ 也成立，因此公比 $$q = \frac{1}{3}$$。

正确答案是 C。

4. 由递推关系 $$S_n = 3 a_n - n$$ 和 $$S_{n-1} = 3 a_{n-1} - (n - 1)$$，得：

化简得：

解得通解为：

由初始条件 $$S_1 = a_1 = 3 a_1 - 1$$，得 $$a_1 = \frac{1}{2}$$，代入得 $$C = -\frac{1}{2}$$。因此：

正确答案是 C。

5. 由递推关系 $$a_n + a_{n+1} = \frac{1}{2}$$ 和 $$a_2 = 1$$，可得：

数列周期为 2，奇数项为 $$-\frac{1}{2}$$，偶数项为 $$1$$。因此：

正确答案是 B。

6. 通项 $$a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$，求和：

解得 $$n > 99$$，最小整数 $$n = 100$$。

正确答案是 C。

7. 由 $$S_n = n^2 - 2n + 3$$，得：

前 3 项为 $$2, 1, 3$$。

正确答案是 B。

8. 利用正弦函数的周期性和对称性，$$S_n$$ 在 $$n = 1, 2, \ldots, 14$$ 中正数较多，周期为 14。计算前 100 项中有 86 个正数。

正确答案是 C。

9. 分奇偶讨论 $$a_n$$：

求和得：

正确答案是 B。

10. 递推关系 $$a_{n+1} = a_n - a_{n-1}$$，特征方程为 $$r^2 - r + 1 = 0$$，解得 $$r = e^{\pm i \pi/3}$$。数列周期为 6，且 $$S_6 = 0$$。因此：

正确答案是 A。