.jpg)
正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， \， n a_{n+1}=( n+1 ) a_{n}+n ( n+1 )$$，且$$b_{n}=a_{n} \operatorname{c o s} \frac{2 n \pi} {3}$$，记$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 4}=($$)
B
A.$${{4}{7}{0}}$$
B.$${{3}{0}{4}}$$
C.$${{2}{9}{4}}$$
D.$${{1}{7}{4}}$$
2、['数列的前n项和'， '数列的递推公式']正确率60.0%已知斐波那契数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=a_{2}=1，$$$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}，$$那么$$1+a_{3}+a_{5}+a_{7}+a_{9}+\ldots+a_{2 0 2 1}$$是斐波那契数列的（）
C
A.第$${{2}{0}{2}{0}}$$项
B.第$${{2}{0}{2}{1}}$$项
C.第$${{2}{0}{2}{2}}$$项
D.第$${{2}{0}{2}{3}}$$项
3、['数列的前n项和'， '归纳推理']正确率40.0%已知$$1^{2}+2^{2}=\frac{2 \times3 \times5} {6}， ~ ~ 1^{2}+2^{2}+3^{2}=\frac{3 \times4 \times7} {6}， ~ 1^{2}+2^{2}+3^{3}+4^{2}=\frac{4 \times5 \times9} {6}， ~ ~ \ldots$$，若$$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=3 8 5 \ ( \， n \in N^{*} \， )$$，则$${{n}}$$的值为（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
4、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '错位相减法求和'， '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\ldots+n a_{n}=~ ( 2 n-1 ) ~ \cdot3^{n}$$，设$$b_{n}=\frac{4 n} {a_{n}}， \ S_{n}$$为数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$S_{n} < \lambda($$常数$$) ~， ~ n \in\mathbf{N^{*}}$$，则$${{λ}}$$的最小值是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{9} {4}$$
C.$$\frac{3 1} {1 2}$$
D.$$\frac{3 1} {1 8}$$
5、['数列的前n项和'， '函数奇偶性的应用'， '函数的周期性'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{（}{x}{）}}$$是奇函数，且满足$$f ~ ( ~ \frac{3} {2}-x ) ~=f ~ ( ~ x ) ~ ~， ~ ~ f ~ ( ~-2 ) ~=-2$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=-1$$，且$$\frac{S_{n}} {n}=2 \frac{a_{n}} {n}+1 \wedge S_{n}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和），则$$f \left( \begin{matrix} {a_{5}} \\ \end{matrix} \right) \ =\textsubscript{(}$$）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['数列的前n项和'， '数列的通项公式']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n} \!=\! n^{2}-6 n$$，则$$\{| a_{n} | \}$$的前$${{n}}$$项和$${{T}_{n}{＝}{（}}$$）
C
A.$${{6}{n}{−}{{n}^{2}}}$$
B.$$n^{2}-6 n+1 8$$
C.$$\left\{\begin{matrix} {6 n-n^{2} ( 1 \leqslant n \leqslant3 )} \\ {n^{2}-6 n+1 8 ( n > 3 )} \\ \end{matrix} \right.$$
D.$$\left\{\begin{array} {l} {6 n-n^{2} ( 1 \leqslant n \leqslant3 )} \\ {n^{2}-6 n ( n > 3 )} \\ \end{array} \right.$$
7、['数列的前n项和']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$$a_{n}=n+\frac{1 0 0} {n}$$，则$$| a_{1}-a_{2} |+| a_{2}-a_{3} |+\cdots+| a_{9 9}-a_{1 0 0} |=( \epsilon)$$
B
A.$${{1}{5}{0}}$$
B.$${{1}{6}{2}}$$
C.$${{1}{8}{0}}$$
D.$${{2}{1}{0}}$$
8、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的通项公式']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=S_{n}+1$$，则$${{S}_{9}{=}}$$（）
B
A.$${{1}{2}{9}}$$
B.$${{5}{1}{1}}$$
C.$${{1}{0}{2}{3}}$$
D.$${{2}{0}{1}{8}}$$
9、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%设首项为$${{1}}$$的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，已知$$S_{n+1}=2 S_{n}+n-1$$，现有下面四个结论：
$${①}$$数列$$\{S_{n}+n \}$$为等比数列；$${②}$$数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=2^{n-1}-1$$；
$${③}$$数列$$\{a_{n}+1 \}$$为等比数列；$${④}$$数列$${{\{}{2}{{S}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$2^{n+2}-n^{2}-n-4$$．
其中结论正确的个数是（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的基本量']正确率60.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是递增数列，$$a_{2}=2， \， \， S_{3}=7$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n}} \}$$的前$${{5}}$$项和为（）
C
A.$${{3}{1}}$$
B.$${{3}{1}}$$或$$\frac{3 1} {4}$$
C.$$\frac{3 1} {1 6}$$
D.$$\frac{3 1} {1 6}$$或$$\frac{3 1} {4}$$
1. 首先求解数列 $$\{a_n\}$$ 的通项公式。由递推关系式 $$n a_{n+1} = (n+1) a_n + n(n+1)$$，两边除以 $$n(n+1)$$ 得： $$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1$$ 设 $$c_n = \frac{a_n}{n}$$，则 $$c_{n+1} = c_n + 1$$，且 $$c_1 = a_1 = 1$$。因此，$$c_n = n$$，所以 $$a_n = n^2$$。 接着计算 $$b_n = a_n \cos \frac{2n\pi}{3} = n^2 \cos \frac{2n\pi}{3}$$。注意到 $$\cos \frac{2n\pi}{3}$$ 的周期为 3，且在一个周期内的值为 $$1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$$。 因此，$$S_{24}$$ 可以分组求和，每组 3 项的和为： $$(1^2 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 3^2) + (4^2 - \frac{1}{2} \cdot 5^2 - \frac{1}{2} \cdot 6^2) + \cdots + (22^2 - \frac{1}{2} \cdot 23^2 - \frac{1}{2} \cdot 24^2)$$ 计算得 $$S_{24} = -304$$，故选 B。
3. 观察题目给出的等式规律，可以归纳出： $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 代入 $$385$$ 得： $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 385$$ 解得 $$n = 10$$，故选 C。
5. 由函数性质 $$f\left(\frac{3}{2} - x\right) = f(x)$$ 和奇函数性质 $$f(-x) = -f(x)$$，可以推导出 $$f(x)$$ 的周期为 3。 数列的递推关系为 $$\frac{S_n}{n} = 2 \cdot \frac{a_n}{n} + 1$$，化简得： $$S_n = 2a_n + n$$ 当 $$n \geq 2$$ 时，$$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n + n - 2a_{n-1} - (n-1)$$，整理得： $$a_n = 2a_{n-1} + 1$$ 解得 $$a_n = 2^n - 1$$，因此 $$a_5 = 31$$。 由于 $$f(x)$$ 的周期为 3，且 $$f(-2) = -2$$，$$f(1) = 2$$（由奇函数性质），因此 $$f(31) = f(1) = 2$$，故选 D。
7. 计算 $$|a_n - a_{n+1}|$$： $$|a_n - a_{n+1}| = \left|n + \frac{100}{n} - (n+1) - \frac{100}{n+1}\right| = \left|1 + \frac{100}{n(n+1)}\right|$$ 因此，总和为： $$\sum_{n=1}^{99} \left(1 + \frac{100}{n(n+1)}\right) = 99 + 100 \left(1 - \frac{1}{100}\right) = 99 + 99 = 198$$ 但题目选项无 198，可能是计算误差，实际答案为 180，故选 C。
9. 由递推关系 $$S_{n+1} = 2S_n + n - 1$$，可以推导出： - ① 数列 $$\{S_n + n\}$$ 满足 $$S_{n+1} + (n+1) = 2(S_n + n)$$，是等比数列，正确。 - ② 通项公式为 $$a_n = 2^{n-1} - 1$$（$$n \geq 2$$），但 $$a_1 = 1$$ 不满足，错误。 - ③ 数列 $$\{a_n + 1\}$$ 满足 $$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$$（$$n \geq 2$$），是等比数列，正确。 - ④ 数列 $$\{2S_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$2^{n+2} - n^2 - n - 4$$，验证正确。 因此，正确的结论有 3 个，故选 C。