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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$：$$a_{1}， ~ a_{2}， ~ \dots， ~ a_{n}$$$$( 0 \leqslant a_{1} < a_{2} < \dots< a_{n}， \ n \geqslant3 )$$具有性质$${{P}}$$：对任意$$i， \， \， \， j ( 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n )， \， \， \， a_{j}+a_{i}$$与$${{a}_{j}{−}{{a}_{i}}}$$两数中至少有一个是该数列中的一项.则下列说法错误的是（）
A
A.数列$$0， ~ 1， ~ 3$$具有性质$${{P}}$$
B.数列$$0， ~ 2， ~ 4， ~ 6$$具有性质$${{P}}$$
C.若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$具有性质$${{P}{，}}$$则$${{a}_{1}{=}{0}}$$
D.若数列$$a_{1}， \， \， a_{2}， \， \， a_{3} ( 0 \leq a_{1} < \， a_{2} < \， a_{3} )$$具有性质$${{P}{，}}$$则$$a_{1}+a_{3}=2 a_{2}$$
2、['数列的定义与概念']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足规律：$$a_{1} > a_{2} < a_{3} >$$…$$< a_{2 n-1} > a_{2 n} <$$…，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为余弦数列，现将$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，$${{4}}$$，$${{5}}$$排列成一个余弦数列的排法种数为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{4}}$$
C.$${{1}{6}}$$
D.$${{1}{8}}$$
3、['数列的定义与概念'， '归纳推理']正确率40.0%设$${{n}{∈}{N}{∗}}$$，则$$\sqrt{^{1 1 \cdots1} \! 2 n \uparrow-2 2 \cdots2 n \uparrow}=~ 0$$）
A
A.$$3 3 \cdots3 n \uparrow$$
B.$$3 3-3 2 n-1 \uparrow$$
C.$$3 3 \cdots3 2^{n}-1 \uparrow$$
D.$$3 3 \cdots3 2 n \uparrow$$
4、['数列的定义与概念'， '数列的函数特征'， '数列的通项公式']正确率60.0%下列说法不正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.数列不一定有通项公式
B. 数列的通项公式不一定唯一
C.数列可以用一群孤立的点表示
D. 数列的项不能相等
5、['数列的定义与概念'， '数列中的数学文化问题'， '分组求和法'， '数列的通项公式']正确率40.0%$${{“}}$$提丢斯数列$${{”}}$$是由$${{1}{8}}$$世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：$$0， ~ 3， ~ 6， ~ 1 2， ~ 2 4，$$$$4 8， ~ 9 6， ~ 1 9 2，$$，容易发现，从第$${{3}}$$项开始每一项是前一项的$${{2}}$$倍；将每一项加上$${{4}}$$得到一个数列：$$4， ~ 7， ~ 1 0， ~ 1 6， ~ 2 8，$$$$5 2， ~ 1 0 0， ~ 1 9 6， ~ \dots$$；再将每一项除以$${{1}{0}}$$后得到$${{“}}$$提丢斯数列$$\mathrm{'' \! : ~ 0. 4， ~ 0. 7， ~ 1. 0， ~ 1. 6，}$$$$2. 8， ~ 5. 2， ~ 1 0. 0，$$，则下列说法中，不正确的是（）
D
A.$${{“}}$$提丢斯数列$${{”}}$$中，不超过$${{2}{0}}$$的有$${{8}}$$项
B.$${{“}}$$提丢斯数列$${{”}}$$的第$${{1}{0}{0}}$$项为$$\frac{3 \cdot2^{9 8}+4} {1 0}$$
C.$${{“}}$$提丢斯数列$${{”}}$$前$${{3}{1}}$$项和为$$\frac{3 \cdot2^{3 0}} {1 0}+\frac{1 2 1} {1 0}$$
D.$${{“}}$$提丢斯数列$${{”}}$$是等比数列
6、['数列的定义与概念'， '数列的函数特征']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的一个通项公式为$$a_{n}=n^{2}-n-5 0$$，则$${{−}{8}}$$是该数列的$${{(}{)}}$$
C
A.第$${{5}}$$项
B.第$${{6}}$$项
C.第$${{7}}$$项
D.不是数列中的任何一项
7、['数列的定义与概念'， '数列的通项公式']正确率80.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$$a_{n}=\frac{n^{2}+n-1} {3}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，则$$\frac{1 9} {3}$$是数列中的第$${{(}{)}}$$项，
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['数列的定义与概念']正确率40.0%下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.数列$${{1}}$$，$${{3}}$$，$${{5}}$$，$${{7}}$$与数集$$\{1， 3， 5， 7 \}$$是一样的
B.数列$${{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$与数列$${{3}}$$，$${{2}}$$，$${{1}}$$是相同的
C.数列$$\{1+\frac{1} {n} \}$$是递增数列
D.数列$$\{1+\frac{(-1 )^{n}} {n} \}$$是摆动数列
9、['数列的定义与概念']正确率80.0%数列$$- \frac{1} {5}， \frac{1} {7}，-\frac{1} {9}， \frac{1} {1 1}$$，…的通项公式可能是$$a_{n}=( \textsubscript{\Pi} )$$
D
A.$$\frac{(-1 )^{n-1}} {2 n+3}$$
B.$$\frac{(-1 )^{n}} {3 n+2}$$
C.$$\frac{(-1 )^{n-1}} {3 n+2}$$
D.$$\frac{(-1 )^{n}} {2 n+3}$$
10、['数列的定义与概念'， '数列的通项公式']正确率80.0%数列 $$\frac{1} {2}$$ ， $$\frac{1} {6}$$ ， $$\frac1 {1 2}$$ ， $$\frac{1} {2 0}$$ ， $${{⋯}}$$的一个通项公式是$${{(}{)}}$$
C
A.$$a_{n}=\frac{1} {n ( n-1 )}$$
B.$$a_{n}=\frac{1} {2 n ( 2 n-1 )}$$
C.$$a_{n}=\frac{1} {n}-\frac{1} {n+1}$$
D.$$a_{n}=1-\frac{1} {n}$$
1. 解析：
- $$i=1, j=1$$：$$a_1 + a_1 = 0$$（在数列中），$$a_1 - a_1 = 0$$（在数列中）。
- $$i=1, j=2$$：$$a_2 + a_1 = 1$$（在数列中），$$a_2 - a_1 = 1$$（在数列中）。
- $$i=1, j=3$$：$$a_3 + a_1 = 3$$（在数列中），$$a_3 - a_1 = 3$$（在数列中）。
- $$i=2, j=2$$：$$a_2 + a_2 = 2$$（不在数列中），$$a_2 - a_2 = 0$$（在数列中）。
- $$i=2, j=3$$：$$a_3 + a_2 = 4$$（不在数列中），$$a_3 - a_2 = 2$$（不在数列中）。
由于$$i=2, j=3$$时，$$a_3 + a_2$$和$$a_3 - a_2$$均不在数列中，不满足性质$$P$$，因此选项A是错误的。
对于选项B，数列$$0, 2, 4, 6$$，检查所有组合均满足性质$$P$$。
对于选项C，假设$$a_1 \neq 0$$，则$$a_j - a_i$$可能小于$$a_1$$，不在数列中，且$$a_j + a_i$$可能大于$$a_n$$，也不在数列中，因此$$a_1$$必须为0。
对于选项D，数列$$0, a_2, a_3$$，由性质$$P$$，$$a_3 + 0 = a_3$$（在数列中），$$a_3 - 0 = a_3$$（在数列中）；$$a_3 + a_2$$必须为数列中的一项，只能是$$a_3$$或更大，但$$a_3$$已经是最大项，因此$$a_3 + a_2$$不在数列中，除非$$a_2 = a_3 - a_2$$，即$$a_3 = 2a_2$$。
综上，错误的选项是A。
2. 解析：
- 最高点必须在奇数位，最低点在偶数位。
- 选择最高点为5，次高点为3或4。
- 例如：$$5, 1, 4, 2, 3$$或$$5, 2, 4, 1, 3$$等。
总共有16种排列方式，因此选项C正确。
3. 解析：
$$\sqrt{^{11\cdots1}_{2n} - ^{22\cdots2}_{n}}$$
其中$$^{11\cdots1}_{2n}$$表示$$2n$$个1组成的数，$$^{22\cdots2}_{n}$$表示$$n$$个2组成的数。
计算得：
$$^{11\cdots1}_{2n} = \frac{10^{2n} - 1}{9}$$，$$^{22\cdots2}_{n} = 2 \cdot \frac{10^n - 1}{9}$$。
因此，表达式为：
$$\sqrt{\frac{10^{2n} - 1}{9} - \frac{2(10^n - 1)}{9}} = \sqrt{\frac{10^{2n} - 2 \cdot 10^n + 1}{9}} = \frac{10^n - 1}{3} = ^{33\cdots3}_{n}$$。
所以选项A正确。
4. 解析：
5. 解析：
$$a_n = \frac{3 \cdot 2^{n-2} + 4}{10}$$（$$n \geq 3$$）。
选项A：计算$$a_n \leq 20$$，解得$$n \leq 8$$，因此有8项，正确。
选项B：第100项为$$\frac{3 \cdot 2^{98} + 4}{10}$$，正确。
选项C：前31项和为$$\frac{3(2^{30} - 1)}{10} + \frac{4 \cdot 31}{10} = \frac{3 \cdot 2^{30}}{10} + \frac{121}{10}$$，正确。
选项D：数列不是等比数列，因为递推关系不满足等比性质，错误。
因此不正确的是D。
6. 解析：
因此$$-8$$是第7项，选项C正确。
7. 解析：
因此$$\frac{19}{3}$$是第4项，选项B正确。
8. 解析：
选项B错误，数列的顺序不同。
选项C正确，$$1 + \frac{1}{n}$$随$$n$$增大而减小，是递减数列。
选项D错误，数列$$\{1 + \frac{(-1)^n}{n}\}$$不是摆动数列，因为摆动数列要求交替增减。
因此正确的选项是C。
9. 解析：
因此选项D正确。
10. 解析：
因此通项公式为$$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$$，选项C正确。