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正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{3}{{S}_{n}}{=}{{a}_{n}}{−}{2}{，}}$$则$${{a}_{n}}$$的最大值为（）
C
A.$${{−}{1}}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$${{1}}$$
2、['其他方法求数列通项']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=\frac{a_{n}} {a_{n}+1}， \， \， a_{1}=\frac{1} {2}，$$则$$a_{2 0 2 4}=$$（）
C
A.$$\frac{1} {2 0 2 3}$$
B.$$\frac{1} {2 0 2 4}$$
C.$$\frac{1} {2 0 2 5}$$
D.$$\frac{1} {2 0 2 6}$$
3、['数列的递推公式'， '其他方法求数列通项'， '归纳推理']正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=\frac{1} {3}， \， \， S_{n}=n \left( 2 n-1 \right) a_{n}$$，通过求$${{a}_{2}{，}{{a}_{3}}{，}{{a}_{4}}}$$，猜想$${{a}_{n}}$$的表达式为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac1 {\left( n-1 \right) \left( n+1 \right)}$$
B.$$\frac1 {n \， ( 2 n+1 )}$$
C.$$\frac1 {( 2 n-1 ) \， ( 2 n+1 )}$$
D.$$\frac1 {( 2 n+1 ) \， ( 2 n+2 )}$$
4、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$${{a}_{n}{{(}{2}{{S}_{n}}{−}{{a}_{n}}{)}}{=}{1}}$$，则下列结论中$${①}$$数列$${{\{}{{S}^{2}_{n}}{\}}}$$是等差数列；$$2$$．
D
A.仅有$${①{②}}$$正确
B.仅有$${①{③}}$$正确
C.仅有$${②{③}}$$正确
D.$${①{②}{③}}$$均正确
5、['其他方法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知对任意正整数$${{n}}$$，有$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{…}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}}$$，则$${{a}^{2}_{1}{+}{{a}^{2}_{2}}{+}{…}{+}{{a}^{2}_{n}}}$$等于（）
D
A.$${（{{2}^{n}}{−}{1}{）^{2}}}$$
B.$$\frac1 3 ( 2^{n}-1 )^{2}$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
7、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '其他方法求数列通项']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}{=}{{n}^{2}}{+}{n}}$$，那么它的通项公式$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
B
A.$${{n}}$$
B.$${{2}{n}}$$
C.$${{2}{n}{+}{1}}$$
D.$${{n}{+}{1}}$$
9、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '其他方法求数列通项'， '等比数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，数列$$\{\frac{1} {a_{n}} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，且$$a_{1}=1， \ a_{2}+a_{3}=1 2， \ S_{n}=\frac{1} {2} ( a_{n+1}-1 )$$，则使得$$| T_{n}-\frac{3} {2} | < \frac{1} {5 0 0}$$成立的$${{n}}$$的最小值为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
10、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项'， '数列的通项公式']正确率40.0%在数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，$${{a}_{1}{+}{{a}_{2}}{+}{{a}_{3}}{+}{…}{+}{{a}_{n}}{=}{{2}^{n}}{−}{1}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}{，}}$$则$${{a}^{2}_{1}{+}{{a}^{2}_{2}}{+}{{a}^{2}_{3}}{+}{…}{+}{{a}^{2}_{n}}}$$等于（）
A
A.$$\frac{1} {3} ( 4^{n}-1 )$$
B.$$\frac{1} {3} ( 2^{n}-1 )$$
C.$${{4}^{n}{−}{1}}$$
D.$${{(}{{2}^{n}}{−}{1}{{)}^{2}}}$$
1. 由递推关系式 $$3S_n = a_n - 2$$，当 $$n = 1$$ 时，$$3S_1 = a_1 - 2$$，即 $$3a_1 = a_1 - 2$$，解得 $$a_1 = -1$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$3S_n = a_n - 2$$ 且 $$3S_{n-1} = a_{n-1} - 2$$，两式相减得 $$3a_n = a_n - a_{n-1}$$，整理得 $$a_n = -\frac{1}{2}a_{n-1}$$。因此数列 $$\{a_n\}$$ 是等比数列，通项公式为 $$a_n = -1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。当 $$n$$ 为奇数时，$$a_n$$ 为负值；当 $$n$$ 为偶数时，$$a_n$$ 为正值。最大值出现在 $$n = 2$$ 时，$$a_2 = \frac{1}{2}$$。故选 C。
2. 由递推关系式 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$$，且 $$a_1 = \frac{1}{2}$$，计算前几项：$$a_2 = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{1}{3}$$，$$a_3 = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{1}{4}$$，依此类推，可猜想 $$a_n = \frac{1}{n+1}$$。验证 $$a_{2024} = \frac{1}{2025}$$。故选 C。
3. 由递推关系式 $$S_n = n(2n - 1)a_n$$，且 $$a_1 = \frac{1}{3}$$，计算前几项：$$S_1 = 1 \cdot 1 \cdot a_1 = \frac{1}{3}$$；$$S_2 = 2 \cdot 3 \cdot a_2$$，又 $$S_2 = a_1 + a_2 = \frac{1}{3} + a_2$$，联立解得 $$a_2 = \frac{1}{15}$$；同理 $$S_3 = 3 \cdot 5 \cdot a_3$$，且 $$S_3 = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + a_3$$，解得 $$a_3 = \frac{1}{35}$$。观察规律，猜想 $$a_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$$。验证选项 C 符合。故选 C。
4. 由递推关系式 $$a_n(2S_n - a_n) = 1$$，注意到 $$2S_n - a_n = S_n + S_{n-1}$$，代入得 $$a_n(S_n + S_{n-1}) = 1$$。进一步整理可得 $$S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1$$，因此 $$\{S_n^2\}$$ 是公差为 1 的等差数列。进一步推导可得 $$S_n^2 = n$$，从而 $$a_n = \sqrt{n} - \sqrt{n-1}$$。验证结论 ① 正确，但题目未给出完整结论 ② 和 ③，无法判断。故选 A（假设仅有 ① 正确）。
5. 由题意 $$S_n = 2^n - 1$$，因此 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^{n-1}$$。于是 $$a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = 1 + 4 + 16 + \cdots + 4^{n-1} = \frac{4^n - 1}{3}$$。故选 D。
7. 由题意 $$S_n = n^2 + n$$，因此 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n$$（$$n \geq 2$$），且 $$a_1 = S_1 = 2$$ 也满足。故通项公式为 $$a_n = 2n$$。故选 B。
9. 由题意 $$S_n = \frac{1}{2}(a_{n+1} - 1)$$，且 $$a_1 = 1$$，$$a_2 + a_3 = 12$$。计算前几项：$$S_1 = \frac{1}{2}(a_2 - 1) = a_1 = 1$$，解得 $$a_2 = 3$$；$$S_2 = \frac{1}{2}(a_3 - 1) = a_1 + a_2 = 4$$，解得 $$a_3 = 9$$。进一步推导可得 $$a_n = 3^{n-1}$$，因此 $$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{3^{n-1}}$$，$$T_n = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right)$$。要求 $$\left| T_n - \frac{3}{2} \right| < \frac{1}{500}$$，即 $$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3^n} < \frac{1}{500}$$，解得 $$n \geq 6$$。故选 C。
10. 同第 5 题，由题意 $$S_n = 2^n - 1$$，因此 $$a_n = 2^{n-1}$$，平方和为 $$\frac{4^n - 1}{3}$$。故选 A。