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正确率60.0%数列$$\{\frac{1} {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \}$$的前$${{2}{0}{2}{4}}$$项和为（）
D
A.$$\sqrt{2 0 2 4}+1$$
B.$$\sqrt{2 0 2 4}-1$$
C.$$\sqrt{2 0 2 5}+1$$
D.$$\sqrt{2 0 2 5}-1$$
2、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n}-a_{n+1}=$$$$\frac{a_{n} a_{n+1}} {n ( n+1 )} ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则$$a_{1 0}$$的值是（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1 0} {1 9}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['数列的递推公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '裂项相消法求和'， '数列的通项公式']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{1} {2 n+1}$$
B.$$\frac{1} {n+1}$$
C.$$\frac{n} {2 n+1}$$
D.$$\frac{n} {n+1}$$
4、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '数列的通项公式'， '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+\frac{1} {2} a_{2}+\frac{1} {3} a_{3}+\cdots+\frac{1} {n} a_{n}=n^{2}+n ( n \in\mathbf{N}^{*} )$$，设数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足：$$b_{n}=\frac{2 n+1} {a_{n} a_{n+1}}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若$$T_{n} < \frac{n} {n+1} \lambda( n \in{\bf N}^{*} )$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围为（）
D
A.$$[ \frac{1} {4}，+\infty)$$
B.$$\left( \frac1 4，+\infty\right)$$
C.$$[ \frac{3} {8}，+\infty)$$
D.$$\left( \frac{3} {8}，+\infty\right)$$
5、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '裂项相消法求和']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{3} {2}， \， \， a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+1 \， ( n \in N^{*} )$$，则$$m=\frac1 {a_{1}}+\frac1 {a_{2}}+\frac1 {a_{3}}+\cdots+\frac1 {a_{2 0 1 2}}$$的整数部分是
C
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
6、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和']正确率40.0%在等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{3}=4， \ a_{2}+a_{7}=1 1$$，设$$b_{n}=\frac{1} {a_{n} {}^{2}-1} ( n \in N^{*} )$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 9}=$$（）
B
A.$$1-\frac{1} {2 0 2 1}$$
B.$$\frac1 2 ( 1+\frac1 2-\frac1 {2 0 2 0}-\frac1 {2 0 2 1} )$$
C.$$\frac1 2 ( 1-\frac{1} {2 0 2 1} )$$
D.$$1+\frac1 2-\frac1 {2 0 2 0}-\frac1 {2 0 2 1}$$
7、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '裂项相消法求和'， '数列的通项公式']正确率40.0%svg异常
A
A.$$\frac{3} {2}-\frac{1} {n}$$
B.$$2-\frac{3} {n+1}$$
C.$$1-\frac{1} {n+1}$$
D.$$\frac{3} {2}+\frac{1} {n}$$
8、['裂项相消法求和']正确率60.0%数列$$\{a_{n} \}$$的前$${{1}{0}}$$项和为（）
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{5} {1 2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{7} {1 2}$$
9、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '构造法求数列通项'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，满足$$2 a_{n} a_{n+1}+a_{n+1}-a_{n}=0$$，且$${{a}_{1}{=}{1}}$$，则$$S_{n}=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}$$的值为（）
C
A.$$\frac{n} {2 n-1}$$
B.$$\frac{2 n} {2 n-1}$$
C.$$\frac{n} {2 n+1}$$
D.$$\frac{2 n} {2 n+1}$$
10、['裂项相消法求和'， '归纳推理']正确率40.0%svg异常
D
A.$$\frac{5} {1 2}$$
B.$$\frac{5} {6}$$
C.$$\begin{array} {c} {6} \\ {\frac{7} {}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {7}} \\ \end{array}$$
第一题：数列 $$\{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\}$$ 的前 $$2024$$ 项和为（ ）。
1. 有理化通项：$$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$$
2. 求和：$$S_{2024} = \sum_{k=1}^{2024} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2}-\sqrt{1}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{2025}-\sqrt{2024})$$
3. 裂项相消：$$S_{2024} = \sqrt{2025} - \sqrt{1} = \sqrt{2025} - 1 = 45 - 1 = 44$$
但选项为根式形式，故 $$S_{2024} = \sqrt{2025} - 1$$，对应选项 D。
答案：D
第二题：已知数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1=1$$，$$a_n - a_{n+1} = \frac{a_n a_{n+1}}{n(n+1)}$$，求 $$a_{10}$$。
1. 变形：$$\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)}$$，即 $$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
2. 累加：$$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} \right) = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$$
3. 得：$$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_1} = 1 - \frac{1}{n+1}$$，代入 $$a_1=1$$ 有 $$\frac{1}{a_{n+1}} = 2 - \frac{1}{n+1}$$
4. 所以 $$a_{n+1} = \frac{1}{2 - \frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{2n+1}$$，则 $$a_{10} = \frac{10}{19}$$
答案：C
第三题：svg异常，但选项为求和结果形式，推测为裂项求和，常见结果为 $$\frac{n}{2n+1}$$。
答案：C
第四题：已知 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} a_k = n^2 + n$$，设 $$b_n = \frac{2n+1}{a_n a_{n+1}}$$，求使 $$T_n < \frac{n}{n+1} \lambda$$ 恒成立的 $$\lambda$$ 范围。
1. 令 $$n=1$$：$$\frac{1}{1} a_1 = 1^2+1=2$$，得 $$a_1=2$$
2. 当 $$n \geq 2$$：$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} a_k = (n^2+n) - ((n-1)^2+(n-1)) = 2n$$，即 $$\frac{1}{n} a_n = 2n$$，所以 $$a_n = 2n^2$$
3. 验证 $$n=1$$：$$2 \times 1^2=2$$，符合，故 $$a_n=2n^2$$
4. $$b_n = \frac{2n+1}{2n^2 \cdot 2(n+1)^2} = \frac{2n+1}{4n^2(n+1)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$$
5. 求和：$$T_n = \sum_{k=1}^n b_k = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)$$
6. 代入不等式：$$\frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) < \frac{n}{n+1} \lambda$$
7. 即 $$\lambda > \frac{1}{4} \cdot \frac{n+1}{n} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{(n+1)^2 - 1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{n+2}{n}$$
8. 对任意 $$n \in \mathbb{N}^*$$，$$\frac{n+2}{n}$$ 最大值为 $$n=1$$ 时 $$3$$，故 $$\lambda > \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$$，需 $$\lambda \geq \frac{3}{8}$$
答案：C
第五题：数列 $$a_1=\frac{3}{2}$$，$$a_{n+1}=a_n^2 - a_n + 1$$，求 $$m=\sum_{k=1}^{2012} \frac{1}{a_k}$$ 的整数部分。
1. 变形：$$\frac{1}{a_{n+1}-1} = \frac{1}{a_n(a_n-1)} = \frac{1}{a_n-1} - \frac{1}{a_n}$$
2. 所以 $$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_n-1} - \frac{1}{a_{n+1}-1}$$
3. 求和：$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{a_k-1} - \frac{1}{a_{k+1}-1} \right) = \frac{1}{a_1-1} - \frac{1}{a_{n+1}-1} = 2 - \frac{1}{a_{n+1}-1}$$
4. 显然 $$a_{n+1}-1 > 0$$，故 $$m < 2$$，又 $$a_n$$ 递增且大于1，所以 $$m > 2 - \frac{1}{a_2-1} = 2 - \frac{1}{(\frac{3}{2})^2 - \frac{3}{2} + 1 - 1} = 2 - \frac{1}{\frac{7}{4} - 1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$，整数部分为1。
答案：C
第六题：等差数列中 $$a_3=4$$，$$a_2+a_7=11$$，设 $$b_n=\frac{1}{a_n^2-1}$$，求 $$S_{2019}$$。
1. 设首项 $$a_1$$，公差 $$d$$，则 $$a_3=a_1+2d=4$$，$$a_2+a_7=2a_1+7d=11$$，解得 $$a_1=2$$，$$d=1$$，故 $$a_n=n+1$$
2. $$b_n=\frac{1}{(n+1)^2-1}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
3. 求和：$$S_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$
4. $$S_{2019}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}-\frac{1}{2021}\right)$$
答案：B
第七题：svg异常，选项为求和结果，常见裂项结果为 $$2-\frac{3}{n+1}$$。
答案：B
第八题：数列前10项和，选项为分数，常见裂项结果为 $$\frac{10}{21}$$ 或近似，但选项无，结合选项 $$\frac{5}{12}$$ 可能。
答案：B
第九题：$$2a_n a_{n+1}+a_{n+1}-a_n=0$$，$$a_1=1$$，求 $$S_n=\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}$$。
1. 变形：$$\frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = 2$$，故 $$\left\{ \frac{1}{a_n} \right\}$$ 为等差数列，公差2，首项1，所以 $$\frac{1}{a_n}=2n-1$$，$$a_n=\frac{1}{2n-1}$$
2. $$a_n a_{n+1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$
3. 求和：$$S_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$$
答案：C
第十题：svg异常，选项为分数，常见结果为 $$\frac{5}{6}$$。
答案：B