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正确率40.0%已知$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，且$$a_{1}=a_{2}=1，$$$$a_{n}=2 a_{n-1}+3 a_{n-2} ( n \geqslant3 )，$$则下列结论正确的是（）
D
A.数列$$\{a_{n}-a_{n+1} \}$$为等比数列
B.数列$$\{a_{n+1}+2 a_{n} \}$$为等比数列
C.$$S_{4 0}={\frac{1} {4}} ( 3^{2 0}-1 )$$
D.$$a_{n}=\frac{3^{n-1}+(-1 )^{n-1}} {2}$$
2、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1，$$$$a_{n+1}-a_{n}=\frac{1} {n ( n+1 )}，$$则$$a_{2 0 2 3}=$$（）
A
A.$$\frac{4 0 4 5} {2 0 2 3}$$
B.$$\frac{4 0 4 3} {2 0 2 2}$$
C.$$\frac{2 0 2 1} {2 0 2 2}$$
D.$$\frac{2 0 2 2} {2 0 2 3}$$
3、['累加法求数列通项'， '等差数列的基本量']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$a_{1}=1， \， \， a_{2}=4， \， \， a_{3}=9，$$且$$\{a_{n+1}-a_{n} \}$$是等差数列，则$${{a}_{6}{=}}$$（）
A
A.$${{3}{6}}$$
B.$${{3}{7}}$$
C.$${{3}{8}}$$
D.$${{3}{9}}$$
4、['累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%$${{1}{7}{7}{2}}$$年德国的天文学家$${{J}{.}{E}}$$.波得总结并发表了求太阳的行星距离的法则.记地球距离太阳的平均距离为$${{1}{0}{，}}$$可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：
| 星名 | 水星 | 金星 | 地球 | 火星 | 木星 | 土星 |
| 与太阳的距离 | $${{4}}$$ | $${{7}}$$ | $${{1}{0}}$$ | $${{1}{6}}$$ | $${{5}{2}}$$ | $${{1}{0}{0}}$$ |
B
A.$${{3}{8}{8}}$$
B.$${{7}{7}{2}}$$
C.$${{1}{5}{4}{0}}$$
D.$${{3}{0}{7}{6}}$$
5、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等差数列的前n项和的性质']正确率60.0%已知$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n+1}=a_{n}+2 n$$，且$${{a}_{1}{=}{{3}{3}}}$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{3}{3}}$$
B.$$\frac{1 3 3} {4}$$
C.$$\frac{1 3 1} {4}$$
D.$$\frac{1 7} {2}$$
6、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n}=a_{n-1}+n ( n \geqslant2 )$$，则$$a_{n}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$
B.$$\frac{n ( n-1 )} {2}$$
C.$$\frac{( n+2 ) ( n+1 )} {2}$$
D.$$\frac{( n-1 ) ( n+1 )} {2}$$
7、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']正确率40.0%定义函数$$f ( x )=\{x \bullet\{x \} \}$$，其中$${{\{}{x}{\}}}$$表示不小于$${{x}}$$的最小整数，如$$\{1. 5 \}=2， \， \， \， \{-2. 5 \}=-2，$$当$$x \in( 0， n ]， n \in N^{*}$$时，函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$${{A}_{n}}$$，记集合$${{A}_{n}}$$中元素的个数为$${{a}_{n}}$$，则$${{a}_{n}{=}}$$
D
A.$${{n}}$$
B.$$\frac{n} {2}$$
C.$$\frac{n+1} {2}$$
D.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$
8、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}}$$，对于任意自然数$${{n}}$$，都有$$a_{n+1}=a_{n}+2^{n}$$，则$$a_{1 5}=\langle$$）
A
A.$$2^{1 5}-1$$
B.$$2^{1 6}-1$$
C.$$2^{1 6}-2$$
D.$$2^{1 5}-2$$
9、['累加法求数列通项'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=1， a_{n}=a_{n-1}+\frac{1} {n ( n+1 )} ( n \in N^{*}， n \geqslant2 )$$，则$$a_{2 0}=\langle$$）
C
A.$$\frac{1 9} {2 0}$$
B.$$\frac{1 9} {4 2}$$
C.$$\frac{6 1} {4 2}$$
D.$$\frac{9} {2 0}$$
10、['累加法求数列通项'， '等差数列的基本量']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{2}}$$，且$$a_{n+1}=a_{n}+2 n+1$$，则$$a_{1 0}=( \eta)$$
D
A.$${{1}{9}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{9}{9}}$$
D.$${{1}{0}{1}}$$
1. 题目解析：
给定递推关系 $$a_n = 2a_{n-1} + 3a_{n-2}$$，初始条件 $$a_1 = a_2 = 1$$。
特征方程为 $$r^2 - 2r - 3 = 0$$，解得 $$r = 3$$ 或 $$r = -1$$。
通解为 $$a_n = A \cdot 3^{n-1} + B \cdot (-1)^{n-1}$$。
代入初始条件：
$$a_1 = A + B = 1$$
$$a_2 = 3A - B = 1$$
解得 $$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$$。
因此 $$a_n = \frac{3^{n-1} + (-1)^{n-1}}{2}$$，选项 D 正确。
验证选项 B：
$$a_{n+1} + 2a_n = \frac{3^n + (-1)^n}{2} + 2 \cdot \frac{3^{n-1} + (-1)^{n-1}}{2} = \frac{3^n + (-1)^n + 2 \cdot 3^{n-1} + 2 \cdot (-1)^{n-1}}{2}$$
$$= \frac{3^{n-1}(3 + 2) + (-1)^{n-1}(-1 + 2)}{2} = \frac{5 \cdot 3^{n-1} + (-1)^{n-1}}{2}$$
这是一个等比数列，公比为 3，选项 B 正确。
验证选项 C：
$$S_{40} = \sum_{k=1}^{40} \frac{3^{k-1} + (-1)^{k-1}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{3^{40} - 1}{3 - 1} + \frac{1 - (-1)^{40}}{1 - (-1)} \right) = \frac{1}{4} (3^{40} - 1)$$
选项 C 错误。
验证选项 A：
$$a_n - a_{n+1} = \frac{3^{n-1} + (-1)^{n-1}}{2} - \frac{3^n + (-1)^n}{2} = \frac{-2 \cdot 3^{n-1} + (-1)^{n-1}(1 + 1)}{2} = -3^{n-1} + (-1)^{n-1}$$
这不是等比数列，选项 A 错误。
综上所述，正确答案为 B、D。
2. 题目解析：
给定递推关系 $$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)}$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。
将递推式改写为 $$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。
累加得：
$$a_{2023} = a_1 + \sum_{k=1}^{2022} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 + \left(1 - \frac{1}{2023}\right) = 2 - \frac{1}{2023} = \frac{4045}{2023}$$
正确答案为 A。
3. 题目解析：
已知 $$\{a_{n+1} - a_n\}$$ 是等差数列，设 $$b_n = a_{n+1} - a_n$$。
初始条件：
$$b_1 = a_2 - a_1 = 3$$
$$b_2 = a_3 - a_2 = 5$$
公差 $$d = b_2 - b_1 = 2$$。
因此 $$b_n = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$$。
累加得：
$$a_6 = a_1 + \sum_{k=1}^5 b_k = 1 + (3 + 5 + 7 + 9 + 11) = 1 + 35 = 36$$
正确答案为 A。
4. 题目解析：
观察行星距离：4, 7, 10, 16, 28, 52, 100。
规律为 $$d_n = 4 + 3 \cdot 2^{n-2}$$（从水星开始，$$n \geq 2$$）。
验证：
$$d_2 = 4 + 3 \cdot 1 = 7$$（金星）
$$d_3 = 4 + 3 \cdot 2 = 10$$（地球）
$$d_4 = 4 + 3 \cdot 4 = 16$$（火星）
$$d_5 = 4 + 3 \cdot 8 = 28$$（谷神星）
$$d_6 = 4 + 3 \cdot 16 = 52$$（木星）
$$d_7 = 4 + 3 \cdot 32 = 100$$（土星）
第 10 个行星的距离：
$$d_{10} = 4 + 3 \cdot 2^8 = 4 + 3 \cdot 256 = 772$$
正确答案为 B。
5. 题目解析：
递推关系 $$a_{n+1} = a_n + 2n$$，初始条件 $$a_1 = 33$$。
累加得：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 33 + n(n-1)$$
求最小值：
$$a_n = n^2 - n + 33$$，在 $$n = \frac{1}{2}$$ 处取得极小值，但 $$n$$ 为整数，取 $$n = 1$$ 或 $$n = 0$$。
$$a_1 = 33$$，$$a_0$$ 无定义。
正确答案为 A。
6. 题目解析：
递推关系 $$a_n = a_{n-1} + n$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。
累加得：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=2}^n k = 1 + \frac{n(n+1)}{2} - 1 = \frac{n(n+1)}{2}$$
正确答案为 A。
7. 题目解析：
定义函数 $$f(x) = x \cdot \lceil x \rceil$$，其中 $$\lceil x \rceil$$ 表示不小于 $$x$$ 的最小整数。
对于 $$x \in (0, n]$$，值域 $$A_n$$ 的元素个数为 $$a_n$$。
分析：
当 $$x \in (k-1, k]$$，$$\lceil x \rceil = k$$，$$f(x) \in (k(k-1), k^2]$$。
因此 $$A_n$$ 包含区间 $$(0, 1], (2, 4], (6, 9], \dots, (n(n-1), n^2]$$。
元素个数为 $$a_n = n$$。
正确答案为 A。
8. 题目解析：
递推关系 $$a_{n+1} = a_n + 2^n$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。
累加得：
$$a_{15} = a_1 + \sum_{k=1}^{14} 2^k = 1 + (2^{15} - 2) = 2^{15} - 1$$
正确答案为 A。
9. 题目解析：
递推关系 $$a_n = a_{n-1} + \frac{1}{n(n+1)}$$，初始条件 $$a_1 = 1$$。
累加得：
$$a_{20} = a_1 + \sum_{k=2}^{20} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{21} \right) = \frac{19}{20}$$
正确答案为 A。
10. 题目解析：
递推关系 $$a_{n+1} = a_n + 2n + 1$$，初始条件 $$a_1 = 2$$。
累加得：
$$a_{10} = a_1 + \sum_{k=1}^9 (2k + 1) = 2 + 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} + 9 = 2 + 90 + 9 = 101$$
正确答案为 D。