格物学
第四章 数列4.4 ⋆数学归纳法
等差模型-4.4 ⋆数学归纳法知识点教师选题基础自测题解析-新疆维吾尔自治区等高二数学选择必修,平均正确率82.0%
2025-05-24
1、['等差模型']正确率60.0%某文具店开业期间，用$${{1}{0}{0}}$$根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层的铅笔有$${{1}{6}}$$根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多$${{1}{，}}$$则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
2、['等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军$${{2}}$$由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军$${{8}{0}}$$由旬到达地方城市．则最后三天共行（）
D
A.$${{2}{7}}$$由旬
B.$${{5}{3}}$$由旬
C.$$\frac{1 8 8} {7}$$由旬
D.$$\frac{3 7 2} {7}$$由旬
3、['等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量'， '等差数列的性质']正确率60.0%《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问第$${{1}{1}}$$日到第$${{2}{0}}$$日这$${{1}{0}}$$日共织布（）
A
A.$${{3}{0}}$$尺
B.$${{4}{0}}$$尺
C.$${{6}}$$尺
D.$${{6}{0}}$$尺
4、['等差数列的通项公式'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率80.0%《九章算术》是我国古代的一本数学著作。全书共有方田，粟米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录$${{2}{4}{6}}$$个与生产、生活实践相关的实际应用问题。在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何?”其意思为：“现有五个人分$${{5}}$$钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少?”在该问题中，任意两人所得的最大差值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {6}$$
D.$$\frac{5} {6}$$
10、['等差数列的通项公式'， '一次函数模型的应用'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率80.0%甲、乙两物体分别从相距$${{7}{0}{m}}$$的两处同时相向运动，甲第一分钟走$${{2}{m}}$$，以后每分钟比前$${{1}}$$分钟多走$${{1}{m}}$$，乙每分钟走$${{5}{m}{.}}$$甲、乙开始运动，第一次相遇后继续前行；如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前$${{1}}$$分钟多走$${{1}{m}}$$，乙继续每分钟走$${{5}{m}}$$，那么开始运动几分钟后第二次相遇?$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{2}{0}}$$
D.$${{1}{5}}$$
1. 解析：
这是一个等差数列求和问题。最下面一层有16根铅笔，每一层比上一层多1根，总共有100根铅笔。设共有n层，则最上面一层有$$16 - (n - 1)$$根铅笔。等差数列求和公式为：
$$S = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$$
代入已知条件：
$$100 = \frac{n}{2} \times (16 + (16 - (n - 1)))$$
化简得：
$$100 = \frac{n}{2} \times (32 - n + 1)$$
$$100 = \frac{n}{2} \times (33 - n)$$
$$200 = n(33 - n)$$
$$n^2 - 33n + 200 = 0$$
解这个二次方程：
$$n = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 - 4 \times 1 \times 200}}{2}$$
$$n = \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 800}}{2}$$
$$n = \frac{33 \pm \sqrt{289}}{2}$$
$$n = \frac{33 \pm 17}{2}$$
取正整数解：
$$n = \frac{33 - 17}{2} = 8$$
最上面一层的铅笔数为：
$$16 - (8 - 1) = 9$$
因此，正确答案是B。
2. 解析：
这是一个等差数列求和问题。设第一天行军$$a_1 = 2$$由旬，公差为d，7天共行军80由旬。等差数列求和公式为：
$$S_7 = \frac{7}{2} \times (2a_1 + 6d) = 80$$
代入已知条件：
$$\frac{7}{2} \times (4 + 6d) = 80$$
化简得：
$$4 + 6d = \frac{160}{7}$$
$$6d = \frac{160}{7} - 4 = \frac{160 - 28}{7} = \frac{132}{7}$$
$$d = \frac{132}{42} = \frac{22}{7}$$
最后三天的行军路程为第5、6、7天的和：
$$a_5 + a_6 + a_7 = (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) = 3a_1 + 15d$$
代入数值：
$$3 \times 2 + 15 \times \frac{22}{7} = 6 + \frac{330}{7} = \frac{42 + 330}{7} = \frac{372}{7}$$
因此，正确答案是D。
3. 解析：
这是一个等差数列问题。初日织5尺，末日织1尺，共30日。设每日递减的量为d，则：
$$a_{30} = a_1 + 29d = 1$$
$$5 + 29d = 1$$
$$d = -\frac{4}{29}$$
第11日到第20日的织布量为：
$$S = \frac{10}{2} \times (a_{11} + a_{20})$$
其中：
$$a_{11} = 5 + 10d = 5 + 10 \times (-\frac{4}{29}) = 5 - \frac{40}{29} = \frac{105}{29}$$
$$a_{20} = 5 + 19d = 5 + 19 \times (-\frac{4}{29}) = 5 - \frac{76}{29} = \frac{69}{29}$$
因此：
$$S = 5 \times \left(\frac{105}{29} + \frac{69}{29}\right) = 5 \times \frac{174}{29} = 5 \times 6 = 30$$
正确答案是A。
4. 解析：
这是一个等差数列分配问题。五人分5钱，设等差数列的公差为d，且前两份之和等于后三份之和。设五人所得为：
$$a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d$$
总和为：
$$5a = 5$$
$$a = 1$$
前两份之和等于后三份之和：
$$(a - 2d) + (a - d) = a + (a + d) + (a + 2d)$$
$$2a - 3d = 3a + 3d$$
$$-a = 6d$$
$$d = -\frac{1}{6}$$
五人所得分别为：
$$\frac{4}{3}, \frac{7}{6}, 1, \frac{5}{6}, \frac{2}{3}$$
最大差值为：
$$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$
正确答案是B。
10. 解析：
甲的运动是每分钟增加1m的等差数列，乙的运动是每分钟5m的匀速运动。第一次相遇时，甲和乙的总路程为70m。设第一次相遇时间为n分钟，则：
甲的路程：
$$S_n = \frac{n}{2} \times (2 \times 2 + (n - 1) \times 1) = \frac{n}{2} \times (4 + n - 1) = \frac{n(n + 3)}{2}$$
乙的路程：
$$5n$$
总和：
$$\frac{n(n + 3)}{2} + 5n = 70$$
化简得：
$$n^2 + 3n + 10n = 140$$
$$n^2 + 13n - 140 = 0$$
解方程：
$$n = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 560}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{-13 \pm 27}{2}$$
取正整数解：
$$n = 7$$
第一次相遇后，甲和乙继续前行并折返。第二次相遇时，甲和乙的总路程为$$3 \times 70 = 210m$$。设第二次相遇时间为m分钟，则：
甲的路程：
$$\frac{m(m + 3)}{2}$$
乙的路程：
$$5m$$
总和：
$$\frac{m(m + 3)}{2} + 5m = 210$$
化简得：
$$m^2 + 3m + 10m = 420$$
$$m^2 + 13m - 420 = 0$$
解方程：
$$m = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 1680}}{2} = \frac{-13 \pm \sqrt{1849}}{2} = \frac{-13 \pm 43}{2}$$
取正整数解：
$$m = 15$$
因此，第二次相遇时间为15分钟，正确答案是D。
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