裂项相消法求和-⋆数学归纳法知识点课后进阶自测题解析-海南省等高二数学选择必修,平均正确率40.0%

1、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等比数列的定义与证明'， '对数的运算性质']

正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}{{a}_{1}}{=}{2}{，}}$$$$S_{n}=\left( 1-\frac{1} {2^{n}} \right) a_{n+1}， b_{n}=\operatorname{l o g}_{2} a_{n}，$$则数列$$\frac{1} {b_{n} b_{n+1}}$$的前$${{n}}$$项和$${{T}_{n}{=}}$$（）

A.$$\frac{n-1} {n}$$

B.$$\frac{2 n} {n+1}$$

C.$$\frac{n-1} {2 n}$$

D.$$\frac{n} {n+1}$$

2、['一元二次不等式恒成立问题'， '裂项相消法求和'， '利用基本不等式求最值'， '数列的通项公式']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{n}=\frac{2 n+1} {4 n^{2} \left( n+1 \right)^{2}}$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若$$T_{n} > \frac{n \lambda} {( n+1 ) ( n+1 0 )} ( n \in{\bf N}^{*} )$$恒成立，则$${{λ}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$(-\infty， \frac{3 3} {8} )$$

B.$${{(}{−}{∞}{，}{5}{)}}$$

C.$$\left(-\infty， \frac{6 5} {1 6} \right)$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{4}{)}}$$

3、['导数的几何意义'， '裂项相消法求和']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{x}^{2}}{+}{m}{x}}$$的图象点$${（{0}{，}{f}{（}{0}{）}{）}}$$的切线与直线$${{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$平行，若数列$$\{\frac{1} {f ( n )} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 8}$$的值为（）

A.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 7}$$

B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$

C.$$\frac{2 0 1 9} {2 0 1 8}$$

D.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$

4、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项'， '裂项相消法求和']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}=2^{n+1}+m$$，且$${{a}_{1}{，}{{a}_{4}}{，}{{a}_{5}}{−}{2}}$$成等差数列，$$b_{n}=\frac{a_{n}} {( a_{n}-1 ) ( a_{n+1}+1 )}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则满足$$T_{n} > \frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$的最小正整数$${{n}}$$的值为（）

A.$${{1}{1}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{8}}$$

5、['裂项相消法求和']

正确率40.0%求和：$$\frac{1} {1 \times3}+\frac{1} {3 \times5}+\frac{1} {5 \times7}+\cdots+\frac{1} {1 3 \times1 5}=~ ($$）

A.$$\frac{7} {1 5}$$

B.$$\frac{1 4} {1 5}$$

C.$$\frac{1 6} {1 5}$$

D.$$\frac{2 8} {1 5}$$

6、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率19.999999999999996%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=\frac{1} {4}， \， \， a_{2}=\frac{1} {5}$$，且$$a_{1} \cdot a_{2}+a_{2} \cdot a_{3}+\ldots+a_{n} \cdot a_{n+1}=n a_{1} \cdot a_{n+1}$$，则$$\frac1 {a_{1 0}}+\frac1 {a_{1 1}}+\ldots+\frac1 {a_{8 4}}=( ~ )$$

A.$${{3}{7}{5}{0}}$$

B.$${{3}{7}{0}{0}}$$

C.$${{3}{6}{5}{0}}$$

D.$${{3}{6}{0}{0}}$$

7、['裂项相消法求和']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{n}=\frac{1} {n ( n+1 )}$$，若$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$\frac{2 0 1 5} {2 0 1 6}，$$则项数$${{n}}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{0}{1}{4}}$$

B.$${{2}{0}{1}{5}}$$

C.$${{2}{0}{1}{6}}$$

D.$${{2}{0}{1}{7}}$$

8、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '裂项相消法求和']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{1}}$$，对任意的$${{m}{，}{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都有$$a_{m+n}=a_{m}+a_{n}+m n$$，则$$\frac1 {a_{1}}+\frac1 {a_{2}}+\ldots+\frac1 {a_{2 0 1 8}}=$$（）

A.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$

B.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$

C.$$\frac{4 0 3 4} {2 0 1 8}$$

D.$$\frac{4 0 3 6} {2 0 1 9}$$

9、['等差数列的定义与证明'， '裂项相消法求和']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{1}}$$，前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{n+1}=a_{n}+1 ~ ( \eta\in N^{*} )$$，则$$\frac1 {S_{1}}+\frac1 {S_{2}}+\frac1 {S_{3}}+\ldots+\frac1 {S_{n}}=~ 0$$）

A.$$\frac{n ( n+1 )} {2}$$

B.$$\frac2 {n ( n+1 )}$$

C.$$\frac{2 n} {n+1}$$

D.$$\frac{n} {2 ( n+1 )}$$

10、['累加法求数列通项'， '导数与极值'， '裂项相消法求和'， '数列与函数的综合问题']

正确率40.0%设$${{x}{=}{1}}$$是函数$$f ( x ) \!=\! a_{n+1} x^{3} \!-\! a_{n} x^{2} \!-\! a_{n+2} x \!+\! 1 ( n \backslash{\mathrm{i n}} \， N_{+} )$$的极值点，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \， \， \， a_{2} \!=\! 2， \， \， \， b_{n} \!=\! \operatorname{l o g}_{2} a_{n+1}$$，若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$[ \frac{1} {b_{1} b_{2}}+\frac{1} {b_{2} b_{3}}+\dots+\frac{1} {b_{2 0 1 8} b_{2 0 1 9}} ]=0$$）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}{0}{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}{1}{9}}$$

### 题目1解析

已知数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n$$，且 $$a_1 = 2$$，$$S_n = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) a_{n+1}$$。首先，我们利用递推关系求通项公式。

当 $$n = 1$$ 时，$$S_1 = a_1 = \left(1 - \frac{1}{2}\right) a_2$$，解得 $$a_2 = 4$$。当 $$n \geq 2$$ 时，$$S_n - S_{n-1} = a_n = \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) a_{n+1} - \left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) a_n$$。整理得： $$a_{n+1} = 2a_n$$，因此数列 $$\{a_n\}$$ 从第二项开始是等比数列，公比为 2。结合 $$a_2 = 4$$，通项公式为： $$a_n = 2^n$$（$$n \geq 1$$）。

定义 $$b_n = \log_2 a_n = n$$，则： $$\frac{1}{b_n b_{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。前 $$n$$ 项和 $$T_n$$ 为： $$T_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$$。

因此，正确答案是 D。

--- ### 题目2解析

给定数列 $$a_n = \frac{2n+1}{4n^2(n+1)^2}$$，我们需要求其前 $$n$$ 项和 $$T_n$$ 并解不等式。

观察到 $$a_n$$ 可以拆分为： $$a_n = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right)$$。因此，前 $$n$$ 项和为： $$T_n = \frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right)$$。

不等式 $$T_n > \frac{n \lambda}{(n+1)(n+10)}$$ 化为： $$\frac{1}{4} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) > \frac{n \lambda}{(n+1)(n+10)}$$。化简得： $$\lambda < \frac{(n+1)(n+10)}{4n} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{(n+10)(n^2+2n)}{4n(n+1)}$$。进一步化简为： $$\lambda < \frac{(n+10)(n+2)}{4(n+1)}$$。

求右边的最小值（或极限），当 $$n = 1$$ 时： $$\lambda < \frac{11 \times 3}{4 \times 2} = \frac{33}{8}$$。因此，$$\lambda$$ 的取值范围是 $$(-\infty, \frac{33}{8})$$，答案为 A。

--- ### 题目3解析

函数 $$f(x) = x^2 + mx$$ 在 $$x = 0$$ 处的切线斜率为 $$f'(0) = m$$。题目给出切线与直线 $$x - y + 3 = 0$$ 平行，故 $$m = 1$$。

因此，$$f(n) = n^2 + n = n(n+1)$$，数列 $$\left\{\frac{1}{f(n)}\right\}$$ 的通项为： $$\frac{1}{f(n)} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 为： $$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$。当 $$n = 2018$$ 时： $$S_{2018} = 1 - \frac{1}{2019} = \frac{2018}{2019}$$。

答案为 D。

--- ### 题目4解析

数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$S_n = 2^{n+1} + m$$，且 $$a_1, a_4, a_5 - 2$$ 成等差数列。

首先求通项： $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^{n+1} - 2^n = 2^n$$（$$n \geq 2$$）。由 $$S_1 = a_1 = 4 + m = 2$$，得 $$m = -2$$。验证 $$a_1 = 2$$，$$a_4 = 16$$，$$a_5 - 2 = 30$$，显然 $$2, 16, 30$$ 不成等差数列，题目可能有误。假设 $$S_n = 2^{n} + m$$，则 $$a_n = 2^{n-1}$$（$$n \geq 2$$），$$a_1 = 2 + m = 1$$，得 $$m = -1$$。此时 $$a_1 = 1$$，$$a_4 = 8$$，$$a_5 - 2 = 6$$，仍不满足。可能需要重新理解题意。

暂无法确定正确答案。

--- ### 题目5解析

求和：$$\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \cdots + \frac{1}{13 \times 15}$$。

每一项可以拆分为： $$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$$。因此，总和为： $$\frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{15}\right) = \frac{7}{15}$$。

答案为 A。

--- ### 题目6解析

数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = \frac{1}{4}$$，$$a_2 = \frac{1}{5}$$，且 $$a_1 a_2 + a_2 a_3 + \cdots + a_n a_{n+1} = n a_1 a_{n+1}$$。

猜测 $$a_n = \frac{1}{n+3}$$，验证：左边为 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+3)(k+4)} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n+4}$$。右边为 $$n \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n+4} = \frac{n}{4(n+4)}$$。两边相等，故通项正确。

求 $$\frac{1}{a_{10}} + \cdots + \frac{1}{a_{84}} = \sum_{k=10}^{84} (k+3) = \sum_{k=13}^{87} k = \frac{87 \times 88}{2} - \frac{12 \times 13}{2} = 3828 - 78 = 3750$$。

答案为 A。

--- ### 题目7解析

数列 $$\{a_n\}$$ 的通项为 $$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$$，前 $$n$$ 项和为 $$\frac{2015}{2016}$$。

求和： $$S_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$。令 $$1 - \frac{1}{n+1} = \frac{2015}{2016}$$，解得 $$n = 2015$$。

答案为 B。

--- ### 题目8解析

数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，且 $$a_{m+n} = a_m + a_n + mn$$。

令 $$m = 1$$，得递推关系： $$a_{n+1} = a_n + n + 1$$。累加得： $$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 1) = 1 + \frac{n(n-1)}{2} + (n-1) = \frac{n^2 + n}{2}$$。

因此，$$\frac{1}{a_n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$。前 $$2018$$ 项和为： $$2 \left(1 - \frac{1}{2019}\right) = \frac{4036}{2019}$$。

答案为 D。

--- ### 题目9解析

数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 = 1$$，且 $$a_{n+1} = a_n + 1$$（即等差数列）。

通项为 $$a_n = n$$，前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。因此，$$\frac{1}{S_n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$。前 $$n$$ 项和为： $$2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$$。

答案为 C。

--- ### 题目10解析

函数 $$f(x) = a_{n+1} x^3 - a_n x^2 - a_{n+2} x + 1$$ 在 $$x = 1$$ 处有极值点，故 $$f'(1) = 0$$。

求导得： $$f'(x) = 3a_{n+1} x^2 - 2a_n x - a_{n+2}$$，代入 $$x = 1$$ 得： $$3a_{n+1} - 2a_n - a_{n+2} = 0$$，即 $$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$$。

已知 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，递推得： $$a_3 = 4$$，$$a_4 = 8$$，猜测 $$a_n = 2^{n-1}$$，验证成立。因此，$$b_n = \log_2 a_{n+1} = n$$。

求和： $$\sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{2019}$$，取整后为 0。

答案为 A。

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