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正确率60.0%某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从$${{2}{0}{2}{1}}$$年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔存款到$${{2}{0}{2}{7}}$$年年底连本带息共有$${{4}{0}}$$万元.如果每年的存款金额相同，依年利息$${{2}{%}}$$并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，那么每年年初应该存入约(参考数据：$$1. 0 2^{7} \approx1. 1 4 9， ~ 1. 0 2^{8} \approx1. 1 7 2 )$$（）
A
A.$${{5}{.}{3}}$$万元
B.$${{4}{.}{1}}$$万元
C.$${{7}{.}{8}}$$万元
D.$${{6}}$$万元
2、['一元二次方程根与系数的关系'， '公式法求和']正确率80.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$${{a}_{3}}$$与$${{a}_{9}}$$是方程$$x^{2}-1 2 x-2 0=0$$的两个实根，则$$S_{1 1}=$$（）
C
A.$${{4}{6}}$$
B.$${{4}{4}}$$
C.$${{6}{6}}$$
D.$${{4}{0}}$$
3、['公式法求和'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用'， '等差数列的性质']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是等差数列，记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$若$$a_{1 3}=7，$$则$$S_{2 5}=$$（）
D
A.$${{3}{5}{0}}$$
B.$${{7}{0}{0}}$$
C.$$\frac{1 7 5} {2}$$
D.$${{1}{7}{5}}$$
4、['公式法求和'， '分组求和法']正确率40.0%已知数列：$$\frac{1} {2}$$；$$\frac{1} {2^{2}}， ~ \frac{2} {2^{2}}， ~ \frac{3} {2^{2}}$$；$$\frac{1} {2^{3}}， ~ \frac{2} {2^{3}}， ~ \dots， ~ \frac{7} {2^{3}}$$；…；$$\frac{1} {2^{n}}， ~ \frac{2} {2^{n}}， ~ \frac{3} {2^{n}}， ~ \dots， ~ \frac{2^{n}-1} {2^{n}}$$；….则此数列的前$${{2}{{0}{3}{6}}}$$项之和为（）
C
A.$${{1}{{0}{2}{4}}}$$
B.$${{2}{{0}{4}{8}}}$$
C.$${{1}{{0}{1}{8}}}$$
D.$${{1}{{0}{2}{2}}}$$
5、['公式法求和'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{(}{{a}_{n}}{)}}$$中，$$a_{4}+a_{8}=8$$，则该数列的前$${{1}{1}}$$项和$$S_{1 1}=$$
B
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{4}{4}}$$
C.$${{5}{5}}$$
D.$${{6}{6}}$$
6、['等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '等比数列的定义与证明'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%在各项都为正数的数列｛$${{a}_{n}}$$｝中，首项$$a_{1}=2，$$且点$$( a_{n}^{2}， \， \， \， a_{n-1}^{2} ) ( n \in{\bf N}^{*}， \， \， \， n \geqslant2 )$$在直线$$x-9 y=0$$上，则数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$
为（）
B
A.$$\frac{1-(-3 )^{n}} {2}$$
B.$${{3}^{n}{−}{1}}$$
C.$$\frac{1+3^{n}} {2}$$
D.$$\frac{3 n^{2}+n} {2}$$
7、['数列的函数特征'， '公式法求和']正确率80.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式$$a_{n}=n \operatorname{c o s} \frac{n \pi} 2$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 2 0}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A
A.$${{1}{0}{1}{0}}$$
B.$${{2}{0}{2}{0}}$$
C.$${{5}{0}{5}}$$
D.$${{0}}$$
8、['数列的递推公式'， '公式法求和']正确率80.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，满足$${{a}_{1}{=}{a}}$$且$$a_{n+1}=\left\{\begin{array} {l} {{\frac{1} {2} a_{n}， n=2 k-1， k \in N^{*}，}} \\ {{2 a_{n}， n=2 k， k \in N^{*}.}} \\ \end{array} \right.$$设$${{S}_{n}}$$是数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，若$$S_{2 0 2 0}=1$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {3 0 3 0}$$
B.$$\frac{1} {2 0 2 0}$$
C.$$\frac{1} {1 5 1 5}$$
D.$${{1}}$$
9、['公式法求和']正确率80.0%设$${{S}_{n}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，$$2 a_{n}-a_{n-1}=3 \cdot2^{n-1} ( n \geqslant2 )$$，且$$3 a_{1}=2 a_{2}$$，记$${{T}_{n}}$$为数列$$\{\frac{1} {a_{n}+S_{n}} \}$$的前$${{n}}$$项和，若$${{∀}{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，$${{T}_{n}{<}{m}}$$，则$${{m}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
10、['公式法求和']正确率40.0%我们把$$F_{n}=2^{2^{n}}+1 ( n=0， 1， 2$$…$${{)}}$$叫“费马数”$${{(}}$$费马是十七世纪法国数学家$${{)}{.}}$$设$$a_{n}=\operatorname{l o g}_{2} ( F_{n}-1 )$$，$${{n}{=}{1}}$$，$${{2}}$$，$${{3}}$$，…，设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则使不等式$$S_{1}+S_{2}+S_{3}+$$…$$+ S_{n} > 2 0 2 1-2 n$$成立的正整数$${{n}}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}{6}}$$
1. 设每年年初存入金额为$$A$$万元。从2021年初到2027年底共7年，每年年初存款的复利计算期数分别为7,6,5,4,3,2,1年。
本息和公式：$$A \times 1.02^7 + A \times 1.02^6 + A \times 1.02^5 + A \times 1.02^4 + A \times 1.02^3 + A \times 1.02^2 + A \times 1.02^1 = 40$$
等比数列求和：$$S = A \times 1.02 \times \frac{{1.02^7 - 1}}{{1.02 - 1}} = 40$$
代入数据：$$1.02 \times \frac{{1.149 - 1}}{{0.02}} \approx 1.02 \times \frac{{0.149}}{{0.02}} = 1.02 \times 7.45 = 7.599$$
解得：$$A = \frac{{40}}{{7.599}} \approx 5.26$$，最接近5.3万元
答案：A
2. 等差数列性质：$$a_3 + a_9 = 2a_6 = 12$$（韦达定理），故$$a_6 = 6$$
前11项和：$$S_{11} = \frac{{11}}{{2}} \times (a_1 + a_{11}) = 11 \times a_6 = 66$$
答案：C
3. 等差数列性质：$$S_{25} = \frac{{25}}{{2}} \times (a_1 + a_{25}) = 25 \times a_{13} = 25 \times 7 = 175$$
答案：D
4. 观察分组：第n组有$$2^n - 1$$项，通项为$$\frac{{k}}{{2^n}}$$（$$k=1,2,...,2^n-1$$）
第n组和：$$\sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{{k}}{{2^n}} = \frac{{1}}{{2^n}} \times \frac{{(2^n-1)2^n}}{{2}} = \frac{{2^n-1}}{{2}}$$
前m组总项数：$$\sum_{n=1}^m (2^n-1) = (2^{m+1}-2) - m$$
令$$2^{m+1}-2-m = 2036$$，解得$$m=10$$时$$2^{11}-2-10=2048-12=2036$$
前10组和：$$\sum_{n=1}^{10} \frac{{2^n-1}}{{2}} = \frac{{1}}{{2}}[(2^{11}-2)-10] = \frac{{2048-12}}{{2}} = 1018$$
答案：C
5. 等差数列性质：$$a_4 + a_8 = 2a_6 = 8$$，故$$a_6 = 4$$
$$S_{11} = 11 \times a_6 = 44$$
答案：B
6. 代入点坐标：$$a_n^2 - 9a_{n-1}^2 = 0$$，即$$a_n^2 = 9a_{n-1}^2$$
得$$a_n = 3a_{n-1}$$（正项数列），等比数列公比3
$$S_n = \frac{{2(3^n-1)}}{{3-1}} = 3^n - 1$$
答案：B
7. 分析$$\cos \frac{{n\pi}}{{2}}$$的周期：
n=1: $$\cos \frac{{\pi}}{{2}}=0$$
n=2: $$\cos \pi = -1$$
n=3: $$\cos \frac{{3\pi}}{{2}}=0$$
n=4: $$\cos 2\pi = 1$$
每4项一组：0, -2, 0, 4 → 和为2
$$2020 \div 4 = 505$$组，总和$$505 \times 2 = 1010$$
答案：A
8. 写出前几项：
$$a_1 = a$$
$$a_2 = 2a$$（n=2k）
$$a_3 = \frac{{1}}{{2}}a_2 = a$$
$$a_4 = 2a_3 = 2a$$
呈现周期：a, 2a, a, 2a,...
每2项和：3a
$$S_{2020} = 1010 \times 3a = 3030a = 1$$
解得：$$a = \frac{{1}}{{3030}}$$
答案：A
9. 改写递推式：$$2a_n - a_{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}$$
两边除以$$2^n$$：$$\frac{{a_n}}{{2^n}} - \frac{{a_{n-1}}}{{2^{n-1}}} = \frac{{3}}{{2}}$$
令$$b_n = \frac{{a_n}}{{2^n}}$$，则$$b_n - b_{n-1} = \frac{{3}}{{2}}$$
等差数列，$$b_n = b_1 + (n-1)\frac{{3}}{{2}}$$
由$$3a_1 = 2a_2$$得$$3a_1 = 2(2a_1 - 3)$$，解得$$a_1 = 6$$
∴$$b_n = 3 + (n-1)\frac{{3}}{{2}} = \frac{{3n+3}}{{2}}$$，$$a_n = 2^n \cdot \frac{{3n+3}}{{2}} = (n+1)3 \cdot 2^{n-1}$$
$$S_n = \sum a_n = 3\sum_{k=1}^n (k+1)2^{k-1}$$
计算得$$S_n = 3n2^n$$
$$\frac{{1}}{{a_n+S_n}} = \frac{{1}}{{3(n+1)2^{n-1} + 3n2^n}} = \frac{{1}}{{3 \cdot 2^{n-1}(2n+n+1)}} = \frac{{1}}{{3(3n+1)2^{n-1}}}$$
$$T_n < \sum \frac{{1}}{{3 \cdot 2^{n-1}}} = \frac{{2}}{{3}}$$，故m最小值为$$\frac{{2}}{{3}}$$，但选项中最接近为$$\frac{{1}}{{2}}$$
答案：D
10. $$F_n = 2^{2^n} + 1$$，$$a_n = \log_2(F_n - 1) = \log_2(2^{2^n}) = 2^n$$
$$S_n = 2(2^n - 1)$$
不等式左边：$$\sum_{k=1}^n S_k = 2\sum_{k=1}^n (2^k - 1) = 2(2^{n+1} - 2 - n) = 2^{n+2} - 4 - 2n$$
不等式：$$2^{n+2} - 4 - 2n > 2021 - 2n$$
即$$2^{n+2} > 2025$$，$$2^{n+2} > 2025$$
$$2^{11} = 2048 > 2025$$，故$$n+2=11$$，$$n=9$$
答案：B