.jpg)
正确率60.0%某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从$${{2}{0}{2}{1}}$$年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔存款到$${{2}{0}{2}{7}}$$年年底连本带息共有$${{4}{0}}$$万元.如果每年的存款金额相同，依年利息$${{2}{%}}$$并按复利计算(复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息)，那么每年年初应该存入约(参考数据：$$1. 0 2^{7} \approx1. 1 4 9， ~ 1. 0 2^{8} \approx1. 1 7 2 )$$（）
A
A.$${{5}{.}{3}}$$万元
B.$${{4}{.}{1}}$$万元
C.$${{7}{.}{8}}$$万元
D.$${{6}}$$万元
2、['等比模型']正确率60.0%小李在$${{2}{0}{2}{2}}$$年$${{1}}$$月$${{1}}$$日采用分期付款的方式贷款购买一台价值$${{a}}$$元的家电，在购买$${{1}}$$个月后的$${{2}}$$月$${{1}}$$日第一次还款，且以后每月的$${{1}}$$日等额还款一次，一年内还清全部贷款($${{2}{0}{2}{2}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}}$$日最后一次还款)，月利率为$${{r}}$$．按复利计算，则小李每个月应还（）
A
A.$$\frac{a r ( 1+r )^{1 1}} {( 1+r )^{1 1}-1}$$元
B.$$\frac{a r ( 1+r )^{1 2}} {( 1+r )^{1 2}-1}$$元
C.$$\frac{a ( 1+r )^{1 1}} {1 1}$$元
D.$$\frac{a ( 1+r )^{1 2}} {1 1}$$元
3、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明'， '递推数列模型']正确率40.0%某养猪场$${{2}{0}{2}{1}}$$年年初猪的存栏数(饲养头数)为$$1 5 0 0，$$预计以后每年存栏数的增长率为$${{8}{%}{，}}$$且在每年年底卖出$${{1}{0}{0}}$$头，则$${{2}{0}{3}{5}}$$年年底猪的存栏数约为（）(参考数据：$$1. 0 8^{1 4} \approx2. 9， ~ 1. 0 8^{1 5} \approx3. 2， ~ 1. 0 8^{1 6} \approx3. 4 )$$
A
A.$${{2}{0}{5}{0}}$$
B.$${{2}{1}{5}{0}}$$
C.$${{2}{2}{5}{0}}$$
D.$${{2}{3}{5}{0}}$$
4、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率60.0%古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？$${（}$$）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{5}}$$
5、['等比模型'， '等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%公元前$${{5}}$$世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面$${{1}{{0}{0}{0}}}$$米处开始和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的$${{1}{0}}$$倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了$${{1}{{0}{0}{0}}}$$米，此时乌龟便领先他$${{1}{0}{0}}$$米；当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}{0}}$$米时，乌龟仍然领先他$${{1}{0}}$$米；当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}}$$米时，乌龟仍然领先他$${{1}}$$米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为$$1 0^{-2}$$米时，乌龟爬行的总路程为（）
B
A.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0}$$米
B.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0 0}$$米
C.$$\frac{1 0^{5}-9} {9 0}$$米
D.$$\frac{1 0^{4}-9} {9 0 0}$$米
6、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%我国古代数学著作$${《}$$九章算术$${》}$$有如下问题：$${{“}}$$今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？$${{”}{(}}$$蒲和莞都是水生植物$${{)}}$$，意思是：今有蒲生长一天，长为$${{3}}$$尺．莞生长一天，长为$${{1}}$$尺．以后，蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加$${{1}}$$倍．问几天后蒲与莞的长度相等．若将题中$${{“}}$$莞生长一天，长为$${{1}}$$尺$${{”}}$$改为$${{“}}$$莞生长一天，长为$$\frac{1} {2}$$尺$${{”}}$$，问在第几天会出现蒲与莞的长度相等情况
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
7、['等比数列的通项公式'， '等比模型'， '等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%$${《}$$九章算术$${》{“}}$$竹九节$${{”}}$$问题：现有一根$${{9}}$$节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面$${{3}}$$节的容积之积$${{3}}$$升，下面$${{3}}$$节的容积之积为$${{9}}$$升，则第$${{5}}$$节的容积为（）
D
A.$${{2}}$$升
B.$$\frac{6 7} {6 6}$$升
C.$${{3}}$$升
D.$${\sqrt {3}}$$升
8、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${《}$$趣味数学$${{⋅}}$$屠夫列传$${》}$$中有如下问题：$${{“}}$$戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？$${{”}}$$其意思为：$${{“}}$$有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的$${{2}}$$倍，第一天屠了$${{5}}$$两肉，共屠了$${{3}{0}}$$天，问一共屠了多少两肉？$${（}$$）
D
A.$$5 \times2^{1 0}$$
B.$$5 \times2^{2 9}$$
C.$$2^{3 0}-1$$
D.
正确率40.0%我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵$${{.}}$$”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
B.$$\frac{1} {7} ( 8^{9}-8 )$$人
C.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
D.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{9}-8^{4} )$$人
10、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率40.0%十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间$$[ 0， 1 ]$$均分为三段，去掉中间的区间段$$( {\frac{1} {3}}， {\frac{2} {3}} )$$，记为第一次操作；再将剩下的两个区$$[ 0， \frac{1} {3} ]$$，$$[ \frac{2} {3}， 1 ]$$分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于$$\frac{9} {1 0}$$，则需要操作的次数$${{n}}$$的最小值为$${{(}{)}{(}}$$参考数据：$$\operatorname{l g} 2=0. 3 0 1 0$$，$$\operatorname{l g} 3=0. 4 7 7 1 )$$
C
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
1. 题目解析：这是一个关于复利计算的教育基金存款问题。从2021年初到2027年底共7年，每年年初存入相同金额，年利率2%，最终本息和为40万元。
计算公式：$$FV = P \times \frac{{(1+r)^n - 1}}{r} \times (1+r)$$
代入数据：$$40 = P \times \frac{{1.02^7 - 1}}{0.02} \times 1.02$$
计算：$$P \approx \frac{{40 \times 0.02}}{1.149 \times 1.02} \approx 6.0$$万元
正确答案：D
2. 题目解析：这是一个分期付款问题，贷款a元，分12个月等额还款，月利率r。
计算公式：$$P = \frac{{a \times r \times (1+r)^{12}}}{{(1+r)^{12}-1}}$$
正确答案：B
3. 题目解析：这是一个增长模型问题，初始1500头，年增长8%，每年卖出100头。
计算公式：$$A_n = (A_{n-1} \times 1.08) - 100$$
经过14年计算（2021-2035），使用递推公式和参考数据，最终存栏数约为2150头。
正确答案：B
4. 题目解析：这是一个等比数列问题，描述塔灯数量逐层倍增。
设顶层x盏灯，则总灯数：$$x(1+2+4+8+16+32+64) = 381$$
计算：$$127x = 381 \Rightarrow x = 3$$
正确答案：C
5. 题目解析：这是一个无限级数问题，描述阿基里斯追赶乌龟的过程。
乌龟每次领先距离构成等比数列：$$1000, 100, 10, 1, 0.1,...$$
总路程：$$S = \frac{{1000}}{1-0.1} = \frac{{10000}}{9}$$米
当距离为$$10^{-2}$$米时，对应项数为n=5，计算部分和：$$S = \frac{{10^5 - 1}}{900}$$米
正确答案：B
6. 题目解析：这是一个生长模型问题，蒲和莞的生长分别遵循不同的规律。
蒲的生长：$$3 \times (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ...)$$
莞的生长：$$\frac{1}{2} \times (1 + 2 + 4 + ...)$$
通过计算发现第5天时两者长度相等。
正确答案：B
7. 题目解析：这是一个等比数列应用题。
设首项a，公比r，则：
$$a \times ar \times ar^2 = 3$$
$$ar^6 \times ar^7 \times ar^8 = 9$$
解得：$$a^3r^3 = 3$$，$$a^3r^{21} = 9$$
第5节容积：$$ar^4 = \sqrt[3]{3}$$
正确答案：D
8. 题目解析：这是一个等比数列求和问题。
总屠肉量：$$S = 5 \times (1 + 2 + 4 + ... + 2^{29}) = 5 \times (2^{30} - 1)$$
正确答案：D
9. 题目解析：这是一个多级等比数列求和问题。
将官8人，先锋$$8 \times 8$$，旗头$$8 \times 8 \times 8$$，...，构成多级等比数列。
总人数：$$8 + \frac{8^2(8^6 - 1)}{8 - 1} = 8 + \frac{1}{7}(8^8 - 8^2)$$
简化后与选项C一致。
正确答案：C
10. 题目解析：这是一个分形几何中的长度计算问题。
每次操作去掉的长度：第一次$$\frac{1}{3}$$，第二次$$2 \times \frac{1}{9}$$，第三次$$4 \times \frac{1}{27}$$，...
总去掉长度：$$S = \frac{1}{3} \times \frac{1 - (2/3)^n}{1 - 2/3} = 1 - (2/3)^n$$
解不等式：$$1 - (2/3)^n \geq 0.9 \Rightarrow n \geq 5$$
正确答案：B