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正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n+1}=\frac{a_{n}} {a_{n}+1} ( n \in{\bf N}^{*} )$$，则$$a_{2 0 2 2}=$$（）
D
A.$$\frac{1} {2 0 1 9}$$
B.$$\frac{1} {2 0 2 0}$$
C.$$\frac{1} {2 0 2 1}$$
D.$$\frac1 {2 0 2 2}$$
2、['数列的递推公式'， '等比数列前n项和的应用'， '其他方法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率19.999999999999996%己知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+2 a_{2}+\， 3 a_{3}+\， \ldots+n a_{n}=( 2 n-1 ) \cdot2^{n}$$.设$$b_{n}=\frac{2 n+1} {n a_{n}}， \， \， S_{n}$$为数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和.若$${{S}_{n}{<}{t}}$$对$${{n}{∈}{{N}^{*}}}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的最小值是（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
3、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且满足$$a_{n} \left( 2 S_{n}-a_{n} \right)=1$$，则下列结论中$${①}$$数列$${{\{}{{S}^{2}_{n}}{\}}}$$是等差数列；$$2$$．
D
A.仅有$${①{②}}$$正确
B.仅有$${①{③}}$$正确
C.仅有$${②{③}}$$正确
D.$${①{②}{③}}$$均正确
4、['数列的递推公式'， '利用导数证明不等式'， '其他方法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率0.0%数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$满足$$a_{1}+3 a_{2}+3^{2} a_{3}+\ldots+3^{n-1} a_{n}=\frac{n} {3}， ~ ( n \in{\bf N}^{*} )，$$$$b_{n}=\frac{3^{n}} {n} \cdot a_{n}$$，若$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则下列选项正确的是（）
D
A.$$\operatorname{l n} 2 0 1 8 > S_{2 0 1 7}$$
B.$$S_{2 0 1 8} > \operatorname{l n} 2 0 1 8+1$$
C.$$\operatorname{l n} 2 0 1 8 < S_{1 0 0 9}-1$$
D.$$S_{2 0 1 8}-1 < \operatorname{l n} 2 0 1 8$$
5、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}=2^{n+1}+m$$，且$$a_{1}， ~ a_{4}， ~ a_{5}-2$$成等差数列，$$b_{n}=\frac{a_{n}} {( a_{n}-1 ) ( a_{n+1}+1 )}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则满足$$T_{n} > \frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$的最小正整数$${{n}}$$的值为（）
B
A.$${{1}{1}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{8}}$$
6、['数列的前n项和'， '其他方法求数列通项']正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$$S_{n}=n^{2}-2 n+1$$，则$${{a}_{4}{=}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
7、['其他方法求数列通项'， '数列的通项公式']正确率60.0%svg异常
A
A.$$\frac{2 9} {8}$$
B.$$\frac{1 5} {8}$$
C.$$\frac{2 9} {4}$$
D.$$\frac{7} {4}$$
8、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '其他方法求数列通项']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$$S_{n}=n^{2}+n$$，那么它的通项公式$${{a}_{n}{=}{（}}$$）
B
A.$${{n}}$$
B.$${{2}{n}}$$
C.$${{2}{n}{+}{1}}$$
D.$${{n}{+}{1}}$$
9、['等比数列的通项公式'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=-\frac{1} {2} S_{n}+1 ( n \in N^{*} )$$，则$${{a}_{6}{=}{（}}$$）
D
A.$${{3}{2}}$$
B.$${{1}{6}}$$
C.$$\frac{1} {1 6}$$
D.$$\frac{1} {3 2}$$
10、['数列的递推公式'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=2 \l\ a_{n+1}=3 a_{n}+2$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{(}{)}}$$
B
A.$$a_{n}=2 n-1$$
B.$$a_{n}=3^{n}-1$$
C.$$a_{n}=2^{2 n-1}$$
D.$$a_{n}=6 n-4$$
1. 解析：
由递推关系 $$a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$$，可以变形为 $$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 1}{a_n} = 1 + \frac{1}{a_n}$$。
设 $$b_n = \frac{1}{a_n}$$，则递推关系变为 $$b_{n+1} = b_n + 1$$，且 $$b_1 = 1$$。
因此，$$b_n$$ 是等差数列，通项为 $$b_n = n$$，即 $$a_n = \frac{1}{n}$$。
所以 $$a_{2022} = \frac{1}{2022}$$，答案为 D。
2. 解析：
由题意，$$S(n) = \sum_{k=1}^n k a_k = (2n - 1) \cdot 2^n$$。
当 $$n \geq 2$$ 时，$$S(n-1) = (2n - 3) \cdot 2^{n-1}$$，故 $$n a_n = S(n) - S(n-1) = (2n - 1) \cdot 2^n - (2n - 3) \cdot 2^{n-1} = (n + 1) \cdot 2^{n-1}$$。
因此，$$a_n = \frac{(n + 1) \cdot 2^{n-1}}{n}$$。
又 $$b_n = \frac{2n + 1}{n a_n} = \frac{2n + 1}{(n + 1) \cdot 2^{n-1}}$$。
计算前 $$n$$ 项和 $$S_n$$ 并比较极限，可得 $$S_n < 2$$，故 $$t$$ 的最小值为 2，答案为 C。
3. 解析：
由 $$a_n (2 S_n - a_n) = 1$$，注意到 $$S_n - S_{n-1} = a_n$$，代入得 $$(S_n - S_{n-1})(2 S_n - (S_n - S_{n-1})) = 1$$，即 $$(S_n - S_{n-1})(S_n + S_{n-1}) = 1$$。
化简得 $$S_n^2 - S_{n-1}^2 = 1$$，故 $$\{S_n^2\}$$ 是等差数列，①正确。
由 $$S_1^2 = a_1^2$$ 和递推关系，可得 $$S_n^2 = S_1^2 + n - 1$$，进一步分析可得 $$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$$，验证②③均正确，答案为 D。
4. 解析：
由 $$a_1 + 3 a_2 + \cdots + 3^{n-1} a_n = \frac{n}{3}$$，对 $$n$$ 求差分得 $$3^{n-1} a_n = \frac{1}{3}$$，故 $$a_n = \frac{1}{3^n}$$。
因此，$$b_n = \frac{3^n}{n} \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{1}{n}$$，$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$ 为调和级数。
利用调和级数与自然对数的关系，$$\ln(n + 1) < S_n < 1 + \ln n$$，验证选项 D 正确，答案为 D。
5. 解析：
由 $$S_n = 2^{n+1} + m$$，得 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2^n$$，且 $$a_1 = 2^1 = 2$$，故 $$m = -2$$。
由 $$a_1, a_4, a_5 - 2$$ 成等差数列，验证 $$a_4 = 16$$，$$a_5 - 2 = 30$$，满足条件。
计算 $$b_n = \frac{2^n}{(2^n - 1)(2^{n+1} + 1)}$$，裂项相消得 $$T_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{2^{n+1} + 1}$$。
解不等式 $$T_n > \frac{2017}{2018}$$，得 $$n \geq 10$$，答案为 B。
6. 解析：
由 $$S_n = n^2 - 2n + 1$$，得 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n - 3$$（$$n \geq 2$$）。
验证 $$a_1 = S_1 = 0$$，不满足通项，故 $$a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5$$，答案为 B。
8. 解析：
由 $$S_n = n^2 + n$$，得 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n$$（$$n \geq 2$$）。
验证 $$a_1 = S_1 = 2$$，满足通项，故答案为 B。
9. 解析：
由 $$a_{n+1} = -\frac{1}{2} S_n + 1$$，得 $$S_{n+1} - S_n = -\frac{1}{2} S_n + 1$$，即 $$S_{n+1} = \frac{1}{2} S_n + 1$$。
解递推关系得 $$S_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$，故 $$a_6 = S_6 - S_5 = \frac{1}{32}$$，答案为 D。
10. 解析：
由递推关系 $$a_{n+1} = 3 a_n + 2$$，设 $$a_n = b_n - 1$$，代入得 $$b_{n+1} = 3 b_n$$。
故 $$b_n = 3^{n-1} b_1 = 3^n$$，即 $$a_n = 3^n - 1$$，答案为 B。