构造法求数列通项-⋆数学归纳法知识点教师选题进阶自测题解析-云南省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['数列的递推公式'， '构造法求数列通项']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$${，{{a}_{1}}{=}{2}{，}}$$且$$a_{n+1}=3 a_{n}+2，$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{a}_{n}{=}}$$（）

A.$$2^{n+1}-2$$

B.$${{3}^{n}{−}{1}}$$

C.$${{2}^{n}{−}{3}}$$

D.$${{4}^{n}{−}{2}}$$

2、['构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n+1}=3 a_{n}+4，$$则$${{a}_{n}{=}}$$（）

A.$${{3}^{n}}$$

B.$$3^{n-1}$$

C.$${{3}^{n}{−}{2}}$$

D.$$3^{n-1}-2$$

3、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项']

正确率40.0%已知数列满足：$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=2 a_{n}+1$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{(}{)}}$$

A.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}}$$

B.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}{−}{1}}$$

C.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}{+}{1}}$$

D.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}{+}{2}}$$

4、['构造法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']

正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$2 a_{n+1}+a_{n}=3 ( n \geq1 )$$，且$$a_{3}=\frac{1 3} {4}$$，其前$${{n}}$$项之和为$${{S}_{n}}$$，则满足不等式$$| S_{n}-n-6 | < \frac{1} {1 2 3}$$的最小整数$${{n}}$$是（）

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

5、['等差数列的通项公式'， '构造法求数列通项']

正确率60.0%在数列$${{1}{，}{2}{，}{\sqrt {7}}{，}{\sqrt {{1}{0}}}{，}{\sqrt {{1}{3}}}{，}{.}{.}{.}{.}{.}{.}{中}{，}{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$是该数列的（）

A.第$${{1}{1}}$$项

B.第$${{1}{2}}$$项

C.第$${{1}{3}}$$项

D.第$${{1}{4}}$$项

6、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{1} {2}， a_{n+1}=3 a_{n}+1$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 6}=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$$\frac{3^{2 0 1 5}-2 0 1 6} {2}$$

B.$$\frac{3^{2 0 1 6}-2 0 1 6} {2}$$

C.$$\frac{3^{2 0 1 5}-2 0 1 7} {2}$$

D.$$\frac{3^{2 0 1 6}-2 0 1 7} {2}$$

7、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '函数单调性的判断'， '函数单调性的应用']

正确率40.0%已知函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$的定义域为$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$，当$${{x}{>}{1}}$$时$${{f}{(}{x}{)}{>}{0}}$$，对任意的$${{x}{，}{y}{∈}{(}{0}{，}{+}{∞}{)}{，}{f}{(}{x}{)}{+}{f}{(}{y}{)}{=}{f}{(}{x}{⋅}{y}{)}}$$成立，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{)}}$$满足$${{a}_{1}{=}{f}{(}{1}{)}}$$，且$$f ( a_{n+1} )=f ( 2 a_{n}+1 )， \， \， \， n \in N^{*}$$，则$$a_{2 0 1 7}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$2^{2 0 1 4}-1$$

B.$$2^{2 0 1 5}-1$$

C.$$2^{2 0 1 6}-1$$

D.$$2^{2 0 1 7}-1$$

8、['等差数列的定义与证明'， '构造法求数列通项']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}{，}}$$满足$$( 1-\frac{1} {a_{1}} ) ( 1-\frac{1} {a_{2}} ) \cdots( 1-\frac{1} {a_{n}} )=\frac{1} {a_{n}}， n \in N^{*}$$，记$$b_{n}=\frac{a_{n}-7} {a_{n}-5 \sqrt{2}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的最大项是（）

A.$${{b}_{8}}$$

B.$${{b}_{7}}$$

C.$${{b}_{6}}$$

D.$${{b}_{5}}$$

9、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项']

正确率60.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \! a_{n+1} \!=\! 2 a_{n} \!+\! 1， ( n \in\bf N^{*} )$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是（）

A.$${{2}^{n}{−}{1}}$$

B.$${{2}^{n}}$$

C.$${{2}^{n}{+}{1}}$$

D.$$2^{n-1}$$

10、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '构造法求数列通项']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{S}_{n}}$$，且$$a_{n}=S_{n} \， S_{n-1} ( n \geqslant2 )$$，$$a_{1}=\frac{2} {9}$$，则$$a_{1 0}=$$（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {7}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{4} {6 3}$$

D.$$\frac{5} {6 3}$$

1. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1}=3a_n+2$$，初始条件 $$a_1=2$$。设 $$a_n = b_n + c$$，代入递推关系得 $$b_{n+1} + c = 3b_n + 3c + 2$$。为使形式简化，令 $$c = -1$$，则 $$b_{n+1} = 3b_n$$，即 $$b_n$$ 是等比数列，通项为 $$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1}$$。由 $$a_1 = b_1 + c = 2$$ 得 $$b_1 = 3$$，故 $$a_n = 3 \cdot 3^{n-1} - 1 = 3^n - 1$$。答案为 B。

2. 解析：

递推关系 $$a_{n+1}=3a_n+4$$，初始条件 $$a_1=1$$。设 $$a_n = b_n + c$$，代入得 $$b_{n+1} + c = 3b_n + 3c + 4$$。令 $$c = -2$$，则 $$b_{n+1} = 3b_n$$，通项为 $$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1}$$。由 $$a_1 = b_1 + c = 1$$ 得 $$b_1 = 3$$，故 $$a_n = 3 \cdot 3^{n-1} - 2 = 3^n - 2$$。答案为 C。

3. 解析：

递推关系 $$a_{n+1}=2a_n+1$$，初始条件 $$a_1=1$$。设 $$a_n = b_n + c$$，代入得 $$b_{n+1} + c = 2b_n + 2c + 1$$。令 $$c = -1$$，则 $$b_{n+1} = 2b_n$$，通项为 $$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$$。由 $$a_1 = b_1 + c = 1$$ 得 $$b_1 = 2$$，故 $$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$$。答案为 B。

4. 解析：

递推关系 $$2a_{n+1} + a_n = 3$$，整理为 $$a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + \frac{3}{2}$$。设特解为常数 $$c$$，代入得 $$c = -\frac{1}{2}c + \frac{3}{2}$$，解得 $$c = 1$$。齐次方程通解为 $$A \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$，故通项为 $$a_n = 1 + A \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$。由 $$a_3 = \frac{13}{4}$$ 解得 $$A = 6$$，因此 $$a_n = 1 + 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$。求和 $$S_n = n + 6 \cdot \frac{-\frac{1}{2} \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{2}} = n - 4 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$。不等式化为 $$\left| -4 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n - 6 \right| < \frac{1}{123}$$，即 $$\left| 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n - 10 \right| < \frac{1}{123}$$。当 $$n = 10$$ 时满足。答案为 C。

5. 解析：

数列通项为 $$\sqrt{3n-2}$$。设 $$2\sqrt{10} = \sqrt{3n-2}$$，平方得 $$40 = 3n - 2$$，解得 $$n = 14$$。答案为 D。

6. 解析：

递推关系 $$a_{n+1}=3a_n+1$$，初始条件 $$a_1=\frac{1}{2}$$。设 $$a_n = b_n + c$$，代入得 $$b_{n+1} + c = 3b_n + 3c + 1$$。令 $$c = -\frac{1}{2}$$，则 $$b_{n+1} = 3b_n$$，通项为 $$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1}$$。由 $$a_1 = b_1 + c = \frac{1}{2}$$ 得 $$b_1 = 1$$，故 $$a_n = 3^{n-1} - \frac{1}{2}$$。求和 $$S_n = \frac{3^n - 1}{2} - \frac{n}{2} = \frac{3^n - n - 1}{2}$$。因此 $$S_{2016} = \frac{3^{2016} - 2017}{2}$$。答案为 D。

7. 解析：

函数性质表明 $$f(x) = \log_k x$$。由 $$f(a_{n+1}) = f(2a_n + 1)$$ 得 $$a_{n+1} = 2a_n + 1$$，初始条件 $$a_1 = f(1) = 0$$。设 $$a_n = b_n + c$$，代入得 $$b_{n+1} + c = 2b_n + 2c + 1$$。令 $$c = -1$$，则 $$b_{n+1} = 2b_n$$，通项为 $$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$$。由 $$a_1 = b_1 + c = 0$$ 得 $$b_1 = 1$$，故 $$a_n = 2^{n-1} - 1$$。因此 $$a_{2017} = 2^{2016} - 1$$。答案为 C。

8. 解析：

由递推关系得 $$\frac{a_{n+1} - 1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n}$$，整理为 $$a_{n+1} = a_n + 1$$。初始条件 $$a_1 = 2$$，故 $$a_n = n + 1$$。代入 $$b_n = \frac{n - 6}{(n + 1) - 5\sqrt{2}}$$，求极值点得 $$n = 7$$ 时 $$b_n$$ 最大。答案为 B。

9. 解析：

10. 解析：

由 $$a_n = S_n S_{n-1}$$ 得 $$\frac{1}{S_n} - \frac{1}{S_{n-1}} = -1$$，故 $$\frac{1}{S_n}$$ 是等差数列，首项 $$\frac{1}{S_1} = \frac{9}{2}$$，公差 $$-1$$。因此 $$\frac{1}{S_n} = \frac{11 - 2n}{2}$$，得 $$S_n = \frac{2}{11 - 2n}$$。故 $$a_{10} = S_{10} S_9 = \frac{2}{-9} \cdot \frac{2}{-7} = \frac{4}{63}$$。答案为 C。

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