.jpg)
正确率60.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{n}=1+\frac{1} {n}，$$则$$\sum_{i=2}^{2 0 2 4} \frac{a_{i-1}} {i^{2}}=$$（）
C
A.$$\frac{2 0 2 4} {2 0 2 5}$$
B.$$\frac{2 0 2 4} {2 0 2 3}$$
C.$$\frac{2 0 2 3} {2 0 2 4}$$
D.$$\frac{2 0 2 5} {2 0 2 4}$$
2、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '裂项相消法求和'， '等比数列的定义与证明']正确率19.999999999999996%高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设$${{x}{∈}{R}{，}}$$用 表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$${{y}{=}}$$称为“高斯函数”.例如：$$[-2. 5 ]=-3， \， \， \， [ 2. 7 ]=2$$.已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=1， \， \， \， a_{2}=3， \， \， \， a_{n+2}+2 a_{n}=3 a_{n+1}，$$若$$b_{n}=[ \operatorname{l o g}_{2} a_{n+1} ]， \， \， S_{n}$$为数列｛$$\frac{1} {b_{n} b_{n+1}}$$｝的前$${{n}}$$项和，则$$S_{2 0 2 4}=$$（）
C
A.$$\frac{2 0 2 3} {2 0 2 4}$$
B.$$\frac{2 0 2 5} {2 0 2 4}$$
C.$$\frac{2 0 2 4} {2 0 2 5}$$
D.$$\frac{2 0 2 6} {2 0 2 5}$$
3、['裂项相消法求和'， '算法与程序框图']正确率60.0%svg异常
C
A.$${{1}{+}{\sqrt {{1}{5}}}}$$
B.$${\sqrt {{1}{5}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${\sqrt {{1}{7}}}$$
4、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等差数列的基本量']正确率60.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{4}=4， \， \， S_{4}=1 0$$，则数列$$\{\frac1 {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{2}{{0}{1}{5}}}$$项和为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{2 \， 0 1 4} {2 \， 0 1 5}$$
B.$$\frac{2 \， 0 1 5} {2 \， 0 1 6}$$
C.$$\frac{2 \， 0 1 6} {2 \， 0 1 5}$$
D.$$\frac{2 \， 0 1 7} {2 \， 0 1 6}$$
5、['等差数列的通项公式'， '裂项相消法求和'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%已知等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$a_{5}=5， \; S_{5}=1 5$$，则数列$$\{\frac{1} {a_{n} a_{n+1}} \}$$的前$${{2}{0}{1}{6}}$$项和为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{2 0 1 6} {2 0 1 7}$$
B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 6}$$
C.$$\frac{2 0 1 5} {2 0 1 7}$$
D.$$\frac{2 0 1 5} {2 0 1 6}$$
6、['等差数列的通项公式'， '等比数列的通项公式'， '等比数列的性质'， '裂项相消法求和'， '等差数列的性质']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是公差不为$${{0}}$$的等差数列，$${{a}_{2}{=}{3}}$$，且$$a_{3} \，， \， \， a_{5} \，， \， \， a_{8}$$成等比数列，设$$b_{n}=\frac{2} {a_{n} a_{n+1}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{T}_{n}}$$为（）
B
A.$$\frac{n-1} {n}$$
B.$$\frac{n} {n+2}$$
C.$$\frac{2 n} {2 n+1}$$
D.$$\frac{n} {2 n+4}$$
7、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '裂项相消法求和']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{3} {2}， \， \， a_{n+1}=a_{n}^{2}-a_{n}+1 \， ( n \in N^{*} )$$，则$$m=\frac1 {a_{1}}+\frac1 {a_{2}}+\frac1 {a_{3}}+\cdots+\frac1 {a_{2 0 1 2}}$$的整数部分是
C
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
8、['利用导数求曲线的切线方程（斜率）'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知函数$$f \mid\textbf{x} ) ~=x^{2}+b x$$的图象在点$$A \left( \textbf{1}， \textbf{f} \left( \textbf{1} \right) \right)$$处的切线的斜率为$${{3}}$$，数列$$\{\frac{1} {f ( n )} \}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 0 1 9}$$的值为（）
D
A.$$\frac{2 0 1 6} {2 0 1 7}$$
B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$
C.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
D.$$\frac{2 0 1 9} {2 0 2 0}$$
9、['数列的前n项和'， '裂项相消法求和']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=\frac{1} {n^{2}+3 n+2}$$，则该数列前$${{2}{0}}$$项的和为 （）
C
A.$$\frac{9} {2 0}$$
B.$$\frac{2 0} {2 1}$$
C.$$\frac{5} {1 1}$$
D.$$\frac{2 1} {2 2}$$
10、['等差数列的通项公式'， '等差数列的定义与证明'， '裂项相消法求和'， '等差数列的基本量']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$S_{n}， \， \， a_{1}=1， \， \， a_{2}=2$$，且$$a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n}=0 ( n \in N^{*} )$$，记$$T_{n}=\frac{1} {S_{1}}+\frac{1} {S_{2}}+\ldots+\frac{1} {S_{n}} ( n \in N^{*} )$$，则$$T_{2 0 1 8}=\mathrm{\Lambda~ (}$$）
C
A.$$\frac{4 0 3 4} {2 0 1 8}$$
B.$$\frac{2 0 1 7} {2 0 1 8}$$
C.$$\frac{4 0 3 6} {2 0 1 9}$$
D.$$\frac{2 0 1 8} {2 0 1 9}$$
### 题目1解析给定数列 $$a_n = 1 + \frac{1}{n}$$，求和式 $$\sum_{i=2}^{2024} \frac{a_{i-1}}{i^2}$$。
首先，将 $$a_{i-1}$$ 代入：
因此，求和式变为：
注意到 $$\frac{1}{(i-1)i} = \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}$$，因此求和式可以拆分为：
这是一个望远镜求和，结果为：
因此，正确答案为 C。
--- ### 题目2解析给定数列 $$a_n$$ 满足递推关系 $$a_{n+2} + 2a_n = 3a_{n+1}$$，初值 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 3$$。
首先解递推关系。其特征方程为：
因此通解为：
利用初值条件：
解得 $$A = -1$$，$$B = 1$$，因此：
定义 $$b_n = \left\lfloor \log_2 a_{n+1} \right\rfloor$$，代入 $$a_{n+1} = 2^{n+1} - 1$$：
由于 $$2^{n+1} - 1$$ 介于 $$2^{n+1} - 1$$ 和 $$2^{n+1}$$ 之间，因此：
求和式 $$S_n$$ 为：
因此，$$S_{2024} = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}$$，答案为 C。
--- ### 题目3解析题目描述不完整，无法解析。
--- ### 题目4解析给定等差数列 $$\{a_n\}$$，$$a_4 = 4$$，$$S_4 = 10$$。
设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则：
解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 1$$，因此 $$a_n = n$$。
求和式为：
答案为 B。
--- ### 题目5解析给定等差数列 $$\{a_n\}$$，$$a_5 = 5$$，$$S_5 = 15$$。
设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则：
解得 $$a_1 = 1$$，$$d = 1$$，因此 $$a_n = n$$。
求和式为：
答案为 A。
--- ### 题目6解析给定等差数列 $$\{a_n\}$$，$$a_2 = 3$$，且 $$a_3, a_5, a_8$$ 成等比数列。
设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则：
等比关系为：
展开并化简得：
因此 $$a_n = n + 1$$。
求和式为：
答案为 B。
--- ### 题目7解析给定数列 $$a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1$$，初值 $$a_1 = \frac{3}{2}$$。
首先计算前几项：
注意到 $$a_{n+1} - 1 = a_n (a_n - 1)$$，因此：
因此求和式为：
由于 $$a_n$$ 增长极快，$$\frac{1}{a_{2012} - 1}$$ 极小，因此 $$m$$ 的整数部分为 1，答案为 C。
--- ### 题目8解析给定函数 $$f(x) = x^2 + b x$$，在点 $$A(1, f(1))$$ 处切线斜率为 3。
导数为：
因此 $$f(x) = x^2 + x$$，求和式为：
因此 $$S_{2019} = \frac{2019}{2020}$$，答案为 D。
--- ### 题目9解析给定数列 $$a_n = \frac{1}{n^2 + 3n + 2}$$，求和前 20 项。
注意到：
因此：
求和式为：
答案为 C。
--- ### 题目10解析给定数列 $$a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 0$$，初值 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$。
这是二阶线性递推关系，其特征方程为：
因此通解为：
利用初值条件：
解得 $$A = 0$$，$$B = 1$$，因此 $$a_n = n$$。
求和式 $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$，因此：
因此 $$T_{2018} = \frac{4036}{2019}$$，答案为 C。
题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱