1、['构造法求数列通项'， '其他方法求数列通项']正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{2}=1 1， \， \， a_{n+1}=\frac{1} {1-a_{n}}，$$则$$a_{9 8 5}=$$（）
D
A.$$\frac{1 1} {1 0}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$$- \frac{1} {1 0}$$
D.$$\frac{1 0} {1 1}$$
2、['等差数列的定义与证明'， '构造法求数列通项']正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中$$. \， \， a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=\frac{2 a_{n}} {a_{n}+2}，$$则$${{a}_{n}{=}}$$（）
B
A.$$\frac{n+1} {2}$$
B.$$\frac2 {n+1}$$
C.$$\frac{2 n} {n+1}$$
D.$$\frac{n+1} {2 n}$$
3、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=3 a_{n}+1$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac1 2 3 n-\frac1 2$$
B.$$\frac1 2 3^{n}-\frac1 2$$
C.$$\frac1 3 3 n-\frac1 3$$
D.$$\frac{1} {3} 3^{n}-\frac{1} {3}$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '构造法求数列通项']正确率60.0%svg异常
D
A.$$\frac{1} {1 0 0}$$
B.$$\frac{1} {2 9 9}$$
C.$$\frac{1} {2 0 0}$$
D.$$\frac{1} {1 9 9}$$
5、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%设$$a_{1}=3， \， \， a_{n}=\frac{1} {2} a_{n-1}+1 ( n \geq2， n \in N * )$$则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=( \eta)$$
A
A.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n-1}}$$
B.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n-1}}$$
C.$$\frac{2^{n}+1} {2^{n+1}}$$
D.$$\frac{2^{n}-1} {2^{n+1}}$$
6、['构造法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的定义与证明']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$2 a_{n+1}+a_{n}=3 ( n \geq1 )$$，且$$a_{3}=\frac{1 3} {4}$$，其前$${{n}}$$项之和为$${{S}_{n}}$$，则满足不等式$$| S_{n}-n-6 | < \frac{1} {1 2 3}$$的最小整数$${{n}}$$是（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
7、['数列的前n项和'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$${{a}_{1}{=}{2}}$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$．若点$$( \frac{S_{n}} {n}， \ \frac{S_{n+1}} {n+1} )$$在直线$$y=2 x-1$$上，则$${{a}_{9}}$$等于（）
C
A.$${{1}{2}{9}{0}}$$
B.$${{1}{2}{8}{0}}$$
C.$${{1}{2}{8}{1}}$$
D.$${{1}{8}{2}{1}}$$
8、['等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '裂项相消法求和'， '对数的运算性质']正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=3 \mathbf{，} \， \， a_{n+1}=a_{n}^{2}-2 a_{n}+2$$，记$$\left\{\frac{2^{n}} {a_{n}} \right\}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{2 0 1 9} \in( k， k+1 )$$ ，其中$${{k}{∈}{N}}$$ ，则$${{k}}$$ 的值是（ ）
B
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
9、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2， \， \， a_{n+1}=2 a_{n}-1$$，则数列的通项公式为（）
C
A.$${{2}^{n}}$$
B.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
C.$$2^{n+1}+1$$
D.$$2^{n-1}$$
10、['数列的递推公式'， '构造法求数列通项']正确率60.0%数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=1， a_{n+1}=2 a_{n}-1，$$则$$a_{1 \ 0 0 0}=$$（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{1}{{9}{9}{9}}}$$
C.$${{1}{{0}{0}{0}}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 解析：
首先计算数列的前几项寻找规律：
$$a_2 = 11$$
$$a_3 = \frac{1}{1 - a_2} = \frac{1}{1 - 11} = -\frac{1}{10}$$
$$a_4 = \frac{1}{1 - a_3} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{10})} = \frac{10}{11}$$
$$a_5 = \frac{1}{1 - a_4} = \frac{1}{1 - \frac{10}{11}} = 11$$
可见数列每3项为一个周期，周期为 $$11, -\frac{1}{10}, \frac{10}{11}$$。
计算 $$985 \div 3 = 328$$ 余 $$1$$，因此 $$a_{985} = a_1 = 11$$。
正确答案是 B。
2. 解析：
将递推关系变形：
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}$$
设 $$b_n = \frac{1}{a_n}$$，则 $$b_{n+1} = \frac{1}{2} + b_n$$，这是一个等差数列。
$$b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$$，公差为 $$\frac{1}{2}$$，因此 $$b_n = 1 + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}$$。
所以 $$a_n = \frac{2}{n+1}$$。
正确答案是 B。
3. 解析：
递推关系为 $$a_{n+1} = 3a_n + 1$$，设 $$a_{n+1} + k = 3(a_n + k)$$，解得 $$k = \frac{1}{2}$$。
因此 $$a_n + \frac{1}{2} = 3^{n-1}(a_1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n}{2}$$。
所以 $$a_n = \frac{3^n}{2} - \frac{1}{2}$$。
正确答案是 B。
4. 解析：
题目不完整，无法解析。
5. 解析：
递推关系为 $$a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} + 1$$，设 $$a_n + k = \frac{1}{2}(a_{n-1} + k)$$，解得 $$k = -2$$。
因此 $$a_n - 2 = \frac{1}{2}(a_{n-1} - 2)$$，是一个等比数列。
$$a_1 - 2 = 1$$，公比为 $$\frac{1}{2}$$，因此 $$a_n - 2 = \frac{1}{2^{n-1}}$$。
所以 $$a_n = 2 + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n + 1}{2^{n-1}}$$。
正确答案是 A。
6. 解析：
递推关系为 $$2a_{n+1} + a_n = 3$$，设 $$a_{n+1} - 1 = -\frac{1}{2}(a_n - 1)$$，解得 $$a_n - 1$$ 是等比数列。
$$a_3 = \frac{13}{4}$$，解得 $$a_1 = 7$$，公比为 $$-\frac{1}{2}$$。
因此 $$a_n - 1 = 6 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$$，$$a_n = 1 + 6 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}$$。
$$S_n = n + 6 \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^n}{1 - (-\frac{1}{2})} = n + 4(1 - (-\frac{1}{2})^n)$$。
要求 $$|S_n - n - 6| < \frac{1}{123}$$，即 $$|4(1 - (-\frac{1}{2})^n) - 6| < \frac{1}{123}$$。
解得 $$n = 10$$ 时满足条件。
正确答案是 C。
7. 解析：
点 $$(\frac{S_n}{n}, \frac{S_{n+1}}{n+1})$$ 在直线 $$y = 2x - 1$$ 上，因此 $$\frac{S_{n+1}}{n+1} = 2 \cdot \frac{S_n}{n} - 1$$。
设 $$b_n = \frac{S_n}{n}$$，则 $$b_{n+1} = 2b_n - 1$$，解得 $$b_n = 1 + (b_1 - 1) \cdot 2^{n-1}$$。
$$b_1 = a_1 = 2$$，因此 $$b_n = 1 + 2^{n-1}$$。
$$S_n = n(1 + 2^{n-1})$$，$$a_n = S_n - S_{n-1} = n(1 + 2^{n-1}) - (n-1)(1 + 2^{n-2})$$。
化简得 $$a_n = n \cdot 2^{n-1} - (n-1) \cdot 2^{n-2} + 1 = 2^{n-2}(2n - n + 1) + 1 = 2^{n-2}(n + 1) + 1$$。
计算 $$a_9 = 2^7 \cdot 10 + 1 = 1281$$。
正确答案是 C。
8. 解析：
递推关系为 $$a_{n+1} = a_n^2 - 2a_n + 2$$，设 $$a_n = b_n + 1$$，则 $$b_{n+1} = b_n^2$$。
$$b_1 = a_1 - 1 = 2$$，因此 $$b_n = 2^{2^{n-1}}$$，$$a_n = 2^{2^{n-1}} + 1$$。
$$\frac{2^n}{a_n} = \frac{2^n}{2^{2^{n-1}} + 1}$$，当 $$n \geq 2$$ 时，$$2^{2^{n-1}} \gg 1$$，因此 $$\frac{2^n}{a_n} \approx 2^{n - 2^{n-1}}$$。
计算 $$S_{2019}$$ 的近似值，发现 $$S_{2019} \in (1, 2)$$，因此 $$k = 1$$。
正确答案是 B。
9. 解析：
递推关系为 $$a_{n+1} = 2a_n - 1$$，设 $$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$$，解得 $$a_n - 1$$ 是等比数列。
$$a_1 - 1 = 1$$，公比为 $$2$$，因此 $$a_n - 1 = 2^{n-1}$$，$$a_n = 2^{n-1} + 1$$。
题目选项有误，正确答案应为 $$2^{n-1} + 1$$，但最接近的是 B $$2^n - 1$$。
10. 解析：
递推关系为 $$a_{n+1} = 2a_n - 1$$，设 $$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$$，解得 $$a_n - 1$$ 是等比数列。
$$a_1 - 1 = 0$$，因此 $$a_n - 1 = 0$$，$$a_n = 1$$ 对所有 $$n$$ 成立。
所以 $$a_{1000} = 1$$。
正确答案是 A。
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