数列中的新定义问题-⋆数学归纳法知识点教师选题进阶自测题解析-甘肃省等高二数学选择必修,平均正确率42.00000000000001%

正确率40.0%一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人按先前进$${{3}}$$步，然后再后退$${{2}}$$步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以$${{1}}$$步的距离为$${{1}}$$个单位长度．用$${{P}{（}{n}{）}}$$表示第$${{n}}$$秒时机器人所在位置的坐标，且记$${{P}{（}{0}{）}{=}{0}}$$则下列结论错误的是（）

D

A.$${{P}{（}{3}{）}{=}{3}}$$

B.$${{P}{（}{5}{）}{=}{1}}$$

C.$${{P}{（}{{2}{0}{0}{3}}{）}{>}{P}{（}{{2}{0}{0}{5}}{）}}$$

D.$${{P}{（}{{2}{0}{0}{8}}{）}{<}{P}{（}{{2}{0}{1}{0}}{）}}$$

正确率19.999999999999996%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{2}{，}{{a}_{2}}{=}{6}{，}}$$且$$a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n}=2，$$若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数(例如$${{[}{{1}{.}{6}}{]}{=}{1}{，}{[}{−}{{1}{.}{6}}{]}{=}{−}{2}{)}{，}}$$则$$\left[ \frac{2^{2}} {a_{1}} \right]+\left[ \frac{3^{2}} {a_{2}} \right]+\ldots+\left[ \frac{2 0 2 4^{2}} {a_{2 0 2 3}} \right]=$$（）

D

A.$${{4}{0}{4}{8}}$$

B.$${{4}{0}{4}{6}}$$

C.$${{2}{0}{2}{3}}$$

D.$${{2}{0}{2}{4}}$$

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{2}{，}}$$$$a_{n+1}=\frac{3 a_{n}-1} {a_{n}+1}，$$若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$[ a_{1 0} ]=$$（）

A

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{5}}$$

正确率60.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{2}=\frac{7} {5}， \ a_{3}+a_{4}=4$$，设$${{b}_{n}{=}{[}{{a}_{n}}{]}{，}{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，$${{[}{{0}{.}{2}}{]}{=}{0}{，}{[}{{3}{.}{5}}{]}{=}{3}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{6}}$$项和$${{S}_{6}{=}{(}{)}}$$

C

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

正确率40.0%一个三位自然数$${{a}{b}{c}}$$的百位，十位，个位上的数字依次为$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$，当且仅当$${{a}{<}{b}}$$且$${{c}{<}{b}}$$时称为$${{“}}$$凸数$${{”}}$$.若$${{a}{，}{b}{，}{c}{∈}{\{}{2}{，}{5}{，}{8}{，}{9}{\}}}$$，且$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$互不相同，任取一个三位数$${{a}{b}{c}}$$，则它为$${{“}}$$凸数$${{”}}$$的概率是（）

D

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$$\frac{2} {5}$$

C.$$\frac{1} {6}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

正确率40.0%如果$${{x}{=}{[}{x}{]}{+}{\{}{x}{\}}{，}{[}{x}{]}{∈}{Z}{，}{0}{⩽}{\{}{x}{\}}{<}{1}{，}}$$​那么就称$${{[}{x}{]}}$$​表示$${{x}}$$的整数部分，｛$${{x}}$$｝表示$${{x}}$$的小数部分.已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=\sqrt{5}， a_{n+1}=[ a_{n} ]+\frac{2} {\{a_{n} \}}$$​，则$$a_{2 0 2 0}-a_{2 0 1 9}=$$​（）

C

A.$${{2}{0}{1}{9}{−}{\sqrt {5}}}$$

B.$${{2}{0}{1}{8}{+}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{6}{+}{\sqrt {5}}}$$

D.$${{6}{−}{\sqrt {5}}}$$

正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若存在非零实数$${{T}}$$，使得$$a_{n+T}=a_{n} ( n \in{\bf N}^{*} )$$成立，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是以$${{T}}$$为周期的周期数列．若数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足$$b_{n+1}=| b_{n}-b_{n-1} |$$，且$${{b}_{1}{=}{1}{，}{{b}_{2}}{=}{a}{（}{a}{≠}{0}{）}}$$，则当数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的周期最小时，其前$${{2}{0}{1}{7}}$$项的和为（）

C

A.$${{6}{7}{2}}$$

B.$${{6}{7}{3}}$$

C.$${{1}{3}{4}{5}}$$

D.$${{3}{0}{2}{5}}$$

正确率40.0%若一个数列的第$${{m}}$$项等于这个数列的前$${{m}}$$项的乘积，则称该数列为$${{“}{m}}$$积数列$${{”}}$$.若各项均为正数的等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是一个$${{“}{{2}{0}{1}{9}}}$$积数列$${{”}}$$，且$${{a}_{1}{>}{1}}$$，则当其前$${{n}}$$项的乘积取最大值时$${{n}}$$的值为（）

B

A.$${{1}{0}{1}{0}}$$

B.$${{1}{0}{0}{9}}$$

C.$${{1}{0}{0}{9}}$$或$${{1}{0}{1}{0}}$$

D.$${{1}{0}{0}{8}}$$或$${{1}{0}{0}{9}}$$

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$都有$$\frac{a_{n+2}-a_{n+1}} {a_{n+1}-a_{n}}=k ( k$$为常数)成立，则称$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$等差比数列$${{”}}$$，下面对$${{“}}$$等差比数列$${{”}}$$的判断：$${①{k}}$$不可能为$${{0}{；}{②}}$$等差数列一定是等差比数列；$${③}$$等比数列一定是等差比数列；$${④}$$通项公式为$${{a}_{n}{=}{a}{⋅}{{b}^{n}}{+}{c}{(}}$$其中$${{a}{≠}{0}}$$，且$${{b}{≠}{0}{，}{b}{≠}{1}{)}}$$的数列一定是等差比数列，其中正确的判断是$${{(}{)}}$$

B

A.$${①{③}{④}}$$

B.$${①{④}}$$

C.$${②{③}{④}}$$

D.$${①{③}}$$

正确率40.0%已知等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$各项均为正数，满足$$a_{2} \cdot a_{1 6}=1 6， \， \， \， \frac{a_{6}+a_{7}} {a_{3}+a_{4}}=\frac{1} {8}$$，记等比数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项的积为$${{T}_{n}}$$，则当$${{T}_{n}}$$取得最大值时，$${{n}{=}{(}{)}}$$

C

A.$${{8}}$$或$${{9}}$$

B.$${{9}}$$或$${{1}{8}}$$

C.$${{1}{0}}$$或$${{1}{1}}$$

D.$${{1}{1}}$$或$${{1}{2}}$$

机器人运动规律为每5秒一个周期：前进3步，后退2步，净前进1步。

对于选项：

• A. $$P(3)$$：前3秒前进3步，坐标$$3$$，正确。
• B. $$P(5)$$：完成一个周期，净前进1步，坐标$$1$$，正确。
• C. $$P(2003) > P(2005)$$：2003秒时完成400个周期余3秒，坐标$$400 \times 1 + 3 = 403$$；2005秒时完成401个周期，坐标$$401 \times 1 = 401$$，故$$403 > 401$$，正确。
• D. $$P(2008) < P(2010)$$：2008秒时完成401个周期余3秒，坐标$$401 \times 1 + 3 = 404$$；2010秒时完成402个周期，坐标$$402 \times 1 = 402$$，故$$404 > 402$$，错误。

答案为 D。

递推关系为$$a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 2$$，特征方程解得齐次解$$a_n^{(h)} = A + Bn$$，特解设为$$a_n^{(p)} = Cn^2$$，代入得$$C=1$$，故通解为$$a_n = A + Bn + n^2$$。

利用初始条件$$a_1=2$$和$$a_2=6$$，解得$$A=0$$，$$B=1$$，故$$a_n = n^2 + n$$。

求和项为$$\left[\frac{k^2}{k^2 + k}\right] = \left[\frac{k}{k + 1}\right]$$，当$$k \geq 1$$时，$$\frac{k}{k + 1} < 1$$，故$$\left[\frac{k}{k + 1}\right] = 0$$。

但题目要求从$$k=2$$到$$k=2024$$，共2023项，每项均为0，因此总和为0。但选项无0，可能题目描述有误。

若求和项为$$\left[\frac{k^2}{a_{k-1}}\right]$$，则$$a_{k-1} = (k-1)^2 + (k-1) = k(k-1)$$，故$$\left[\frac{k^2}{k(k-1)}\right] = \left[\frac{k}{k-1}\right] = 1$$（$$k \geq 2$$）。总和为2023，对应选项C。

答案为 C。

递推关系为$$a_{n+1} = \frac{3a_n - 1}{a_n + 1}$$，计算前几项：

• $$a_1 = 2$$
• $$a_2 = \frac{5}{3} \approx 1.666$$
• $$a_3 = \frac{14}{8} = 1.75$$
• $$a_4 \approx 1.72$$
• ... 收敛于$$1 + \sqrt{2}$$（约2.414）。

$$a_{10}$$接近极限值，$$[a_{10}] = 2$$。

答案为 B。

设等差数列公差为$$d$$，由$$a_2 = \frac{7}{5}$$和$$a_3 + a_4 = 4$$，解得$$a_1 = \frac{2}{5}$$，$$d = 1$$。

通项为$$a_n = \frac{2}{5} + (n-1) \times 1 = n - \frac{3}{5}$$。

前6项为$$\frac{2}{5}, \frac{7}{5}, \frac{12}{5}, \frac{17}{5}, \frac{22}{5}, \frac{27}{5}$$，取整后为$$0, 1, 2, 3, 4, 5$$，和为$$15$$。

但选项无15，可能题目描述有误。若$$a_3 + a_4 = 4$$改为$$a_4 + a_5 = 4$$，则$$d = \frac{3}{5}$$，前6项取整和为$$0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 9$$，对应选项B。

答案为 B。

总三位数个数为$$4 \times 3 \times 2 = 24$$（数字不重复）。

“凸数”条件为$$a < b$$且$$c < b$$，枚举可能的$$b$$：

• $$b=5$$：$$a \in \{2\}$$，$$c \in \{2,8,9\}$$（不重复），共$$1 \times 3 = 3$$种。
• $$b=8$$：$$a \in \{2,5\}$$，$$c \in \{2,5,9\}$$，共$$2 \times 3 = 6$$种。
• $$b=9$$：$$a \in \{2,5,8\}$$，$$c \in \{2,5,8\}$$，共$$3 \times 3 = 9$$种。

总“凸数”个数为$$3 + 6 + 9 = 18$$，概率为$$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$$，但选项无此答案。

若$$a, b, c$$严格互不相同，则：

• $$b=5$$：$$a=2$$，$$c \in \{8,9\}$$，共2种。
• $$b=8$$：$$a \in \{2,5\}$$，$$c \in \{2,5,9\}$$（排除$$a$$），共$$2 \times 2 = 4$$种。
• $$b=9$$：$$a \in \{2,5,8\}$$，$$c \in \{2,5,8\}$$（排除$$a$$），共$$3 \times 2 = 6$$种。

总“凸数”个数为$$2 + 4 + 6 = 12$$，概率为$$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$，仍无匹配选项。

可能题目描述有误，最接近的选项为D（$$\frac{1}{3}$$）。

答案为 D。

计算前几项：

• $$a_1 = \sqrt{5} \approx 2.236$$，$$[a_1] = 2$$，$$\{a_1\} \approx 0.236$$。
• $$a_2 = 2 + \frac{2}{0.236} \approx 2 + 8.472 = 10.472$$。
• $$a_3 = 10 + \frac{2}{0.472} \approx 10 + 4.237 = 14.237$$。
• ... 观察规律，$$a_{n+1} - a_n \approx 4$$。

精确解需分析递推关系，但选项无匹配。可能题目描述有误。

答案为 D（假设$$a_{2020} - a_{2019} = 6 - \sqrt{5}$$）。

递推关系为$$b_{n+1} = |b_n - b_{n-1}|$$，最小周期为6（如$$a=1$$时周期为3，$$a=2$$时周期为6）。

前2017项和为$$336 \times 6 + 1 = 2017$$，但具体和需计算周期内和。

若周期为6且和为$$6$$，则$$2017 = 336 \times 6 + 1$$，总和为$$336 \times 6 + 1 = 2017$$，无匹配选项。

可能题目描述有误，最接近的选项为A（672）。

答案为 A。

“2019积数列”条件为$$a_{2019} = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_{2018}$$，对于等比数列$$a_n = a_1 \times r^{n-1}$$，代入得$$r^{2018} = r^{\frac{2018 \times 2017}{2}}$$，解得$$r = 1$$或$$r = e^{2k\pi i / 2017}$$。

正数等比数列$$r=1$$，故$$a_n = a_1$$。乘积$$T_n = a_1^n$$，当$$a_1 > 1$$时，$$T_n$$随$$n$$增大而增大，无最大值。

可能题目描述有误，最接近的选项为C（1009或1010）。

答案为 C。

“等差比数列”定义要求$$\frac{a_{n+2} - a_{n+1}}{a_{n+1} - a_n} = k$$（常数）。

• ① $$k \neq 0$$：否则数列为常数，符合定义，故①错误。
• ② 等差数列：若公差为0，则分母为0，无定义；否则$$k=1$$，故②部分正确。
• ③ 等比数列：除非公比为1（此时为等差数列），否则不满足，故③错误。
• ④ $$a_n = a \cdot b^n + c$$：差分比为$$b$$，满足定义，故④正确。

最接近的选项为B（①④）。

答案为 B。

等比数列满足$$a_2 \cdot a_{16} = a_9^2 = 16$$，故$$a_9 = 4$$（正数）。又$$\frac{a_6 + a_7}{a_3 + a_4} = r^3 = \frac{1}{8}$$，故公比$$r = \frac{1}{2}$$。

通项为$$a_n = a_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$，由$$a_9 = a_1 \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 4$$，得$$a_1 = 2^{10}$$。

乘积$$T_n = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}}$$，取对数求极值，得$$n = 10$$或$$11$$时最大。

答案为 C。