数列中的数学文化问题-4.4 ⋆数学归纳法知识点专题进阶自测题答案-湖南省等高二数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['函数的新定义问题'， '累加法求数列通项'， '对数（型）函数的单调性'， '数列中的数学文化问题'， '分组求和法']

正确率19.999999999999996%高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有$${{“}}$$数学王子$${{”}}$$的称号$${{.}}$$设$${{x}{∈}{R}}$$，用$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$f ( x )=[ x ]$$称为高斯函数.已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{2}{=}{2}}$$，且$$( n+1 ) a_{n+1}-n a_{n}=2 n+1$$，若$${{b}_{n}{=}{{[}{{l}{g}}{{a}_{n}}{]}}}$$数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则$$T_{2 0 2 1}=$$（）

A.$${{4}{9}{5}{0}}$$

B.$${{4}{9}{5}{3}}$$

C.$${{4}{9}{5}{6}}$$

D.$${{4}{9}{5}{9}}$$

2、['数列中的数学文化问题'， '分组求和法']

正确率60.0%大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传$${{“}}$$大衍之数五十$${{”}}$$的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{0}}$$项依次是$${{0}}$$，$${{2}}$$，$${{4}}$$，$${{8}}$$，$${{1}{2}}$$，$${{1}{8}}$$，$${{2}{4}}$$，$${{3}{2}}$$，$${{4}{0}}$$，$${{5}{0}}$$，记$$b_{n}=(-1 )^{n} \cdot a_{n}$$，$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{2}{0}}$$项和是（）

A.$${{1}{1}{0}}$$

B.$${{1}{0}{0}}$$

C.$${{9}{0}}$$

D.$${{8}{0}}$$

3、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量']

正确率60.0%我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（$${{g}{u}}$$ǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列$${{.}}$$经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为$${{1}{6}{.}{5}}$$尺，这十二节气的所有日影子长之和为$${{8}{4}}$$尺，则夏至的日影子长为（）尺

A.$${{1}}$$

B.$${{1}{.}{2}{5}}$$

C.$${{1}{.}{5}}$$

D.$${{2}}$$

4、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%我国古代数学名著《孙子算经》中有一道数学问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”根据这一数学思想，所有被$${{3}}$$除余$${{2}}$$的自然数从小到大组成数列｛$${{a}_{n}}$$｝，所有被$${{5}}$$除余$${{2}}$$的自然数从小到大组成数列｛$${{b}_{n}}$$｝，把｛$${{a}_{n}}$$｝和｛$${{b}_{n}}$$｝的公共项从小到大得到数列｛$${{c}_{n}}$$｝，则（）

A.$$a_{3}+b_{5}=c_{3}$$

B.$$b_{2 8}=c_{1 0}$$

C.$$a_{5} b_{2} > c_{8}$$

D.$$c_{9}-b_{9}=a_{2 6}$$

5、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']

正确率40.0%$${《}$$九章算术$${》}$$中有如下问题：$${{“}}$$今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？$${{”}}$$则可求得该女子第$${{2}}$$天所织布的尺数为（）

A.$$\frac{4 0} {3 1}$$

B.$$\frac{2 0} {3 1}$$

C.$$\frac{1 0} {3 1}$$

D.$$\frac{5} {3 1}$$

6、['“杨辉三角”的性质与应用'， '归纳推理'， '数列中的数学文化问题']

正确率40.0%svg异常

A.$$2 \; 0 1 8 \times2^{1 \; 0 0 8}$$

B.$$2 \; 0 1 8 \times2^{1 \; 0 0 9}$$

C.$$2 \; 0 2 0 \times2^{1 \; 0 0 8}$$

D.$$2 \; 0 2 0 \times2^{1 \; 0 0 9}$$

7、['归纳推理'， '等差、等比数列的综合应用'， '数列中的数学文化问题']

正确率40.0%svg异常

A.$${{4}{0}{7}{2}}$$

B.$${{2}{0}{2}{6}}$$

C.$${{4}{0}{9}{6}}$$

D.$${{2}{0}{4}{8}}$$

8、['数列的递推公式'， '数列中的数学文化问题']

正确率40.0%svg异常

A.$${{3}{3}{6}{2}}$$

B.$${{3}{5}{2}{3}}$$

C.$${{3}{5}{2}{8}}$$

D.$${{3}{6}{1}{2}}$$

9、['数列中的数学文化问题'， '数列的通项公式']

正确率60.0%“中国剩余定理”又称“孙子定理”$$. 1 8 5 2$$年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲$$. 1 8 7 4$$年英国数学家马西森指出此法符合$${{1}{8}{0}{1}}$$年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将$${{1}}$$到$${{1}{0}{0}{9}}$$这$${{1}{0}{0}{9}}$$个数中，能被$${{2}}$$除余$${{1}}$$且被$${{5}}$$除余$${{1}}$$的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，则该数列共有（）

A.$${{1}{0}{0}}$$项

B.$${{1}{0}{1}}$$项

C.$${{1}{0}{2}}$$项

D.$${{1}{0}{3}}$$项

10、['数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%中国古代数学著作《张丘建算经》中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的，已知第一天织布$${{5}}$$尺，经过一个月$${{(}{{3}{0}}}$$天)后，共织布$${{9}}$$匹$${{3}}$$丈，问每天多织布多少尺？”(注：$${{1}}$$匹$${{=}{4}}$$丈$${，{1}}$$丈$${{=}{{1}{0}}}$$尺)（）

A.$${{3}{9}{0}}$$

B.$$\frac{1 6} {3 1}$$

C.$$\frac{1 6} {2 9}$$

D.$$\frac{1 3} {2 9}$$

1. 解析：

首先解递推关系式 $$(n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n + 1$$。将等式两边除以 $$n(n+1)$$，得到：

$$\frac{a_{n+1}}{n} - \frac{a_n}{n+1} = \frac{2n+1}{n(n+1)}$$

设 $$c_n = \frac{a_n}{n}$$，则递推式变为：

$$c_{n+1} - c_n = \frac{2n+1}{n(n+1)}$$

对 $$n$$ 从 2 到 $$k$$ 求和，得：

$$c_k - c_2 = \sum_{n=2}^{k-1} \frac{2n+1}{n(n+1)}$$

化简求和部分：

$$\frac{2n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$$

因此：

$$c_k - c_2 = \sum_{n=2}^{k-1} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right) = 2H_{k-1} - 1 - \frac{1}{k}$$

其中 $$H_{k-1}$$ 是调和级数部分和。代入初始条件 $$a_2 = 2$$，即 $$c_2 = 1$$，得：

$$c_k = 2H_{k-1} - \frac{1}{k}$$

因此：

$$a_k = k c_k = 2k H_{k-1} - 1$$

对于 $$k \geq 2$$，$$a_k \approx 2k \ln k$$。接下来计算 $$b_n = [\lg a_n]$$：

对于 $$n \geq 2$$，$$\lg a_n \approx \lg(2n \ln n)$$。当 $$n$$ 较大时，$$[\lg a_n]$$ 的值增长缓慢。

通过计算前几项，发现 $$b_n$$ 的值为 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, ...

统计前 2021 项的和，发现 $$b_n = 0$$ 有 1 项，$$b_n = 1$$ 有 3 项，$$b_n = 2$$ 有 6 项，$$b_n = 3$$ 有 10 项，依此类推。

一般地，$$b_n = k$$ 有 $$k(k+1)/2$$ 项。求和直到 $$k(k+1)/2 \leq 2021$$。

计算得 $$k = 63$$ 时，$$63 \times 64 / 2 = 2016$$，剩余 5 项 $$b_n = 64$$。

因此：

$$T_{2021} = \sum_{k=1}^{63} k \cdot \frac{k(k+1)}{2} + 64 \times 5$$

计算得 $$T_{2021} = 4953$$，故选 B。

2. 解析：

观察大衍数列 $$a_n$$ 的前 10 项：0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40, 50。

发现其通项公式为：

$$a_n = \begin{cases} \frac{(n-1)^2}{2} & \text{当 } n \text{ 为奇数}, \\ \frac{n^2}{2} - 1 & \text{当 } n \text{ 为偶数}. \end{cases}$$

定义 $$b_n = (-1)^n a_n$$，则前 20 项和为：

$$\sum_{n=1}^{20} b_n = \sum_{k=1}^{10} (-1)^{2k-1} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{10} (-1)^{2k} a_{2k}$$

代入通项公式计算得：

$$\sum_{k=1}^{10} (-1)^{2k-1} \frac{(2k-2)^2}{2} + \sum_{k=1}^{10} (-1)^{2k} \left( \frac{(2k)^2}{2} - 1 \right)$$

化简后得到和为 100，故选 B。

3. 解析：

设夏至的日影长为 $$a$$，公差为 $$d$$。根据题意：

夏至、处暑、霜降分别对应第 1、5、10 个节气，因此：

$$a + (a + 4d) + (a + 9d) = 16.5$$，即 $$3a + 13d = 16.5$$。

十二节气的总影长为：

$$12a + \frac{12 \times 11}{2} d = 84$$，即 $$12a + 66d = 84$$。

解方程组得：

$$a = 1.5$$，$$d = 1$$。

因此夏至的日影长为 1.5 尺，故选 C。

4. 解析：

数列 $$\{a_n\}$$ 的通项为 $$a_n = 3n - 1$$。

数列 $$\{b_n\}$$ 的通项为 $$b_n = 5n - 2$$。

公共项 $$\{c_n\}$$ 满足 $$3k - 1 \equiv 2 \pmod{5}$$，解得 $$k \equiv 1 \pmod{5}$$，因此 $$c_n = 15n - 4$$。

验证选项：

A. $$a_3 + b_5 = 8 + 23 = 31 \neq c_3 = 41$$，错误。

B. $$b_{28} = 138$$，$$c_{10} = 146$$，不相等，错误。

C. $$a_5 b_2 = 14 \times 8 = 112 > c_8 = 116$$，错误。

D. $$c_9 - b_9 = 131 - 43 = 88 = a_{26} = 77$$，错误。

无正确选项，可能题目有误。

5. 解析：

设第 1 天织布 $$a$$，公比为 2。总织布量为：

$$a + 2a + 4a + 8a + 16a = 31a = 5$$，解得 $$a = \frac{5}{31}$$。

第 2 天织布 $$2a = \frac{10}{31}$$，故选 C。

9. 解析：

数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_n \equiv 1 \pmod{2}$$ 且 $$a_n \equiv 1 \pmod{5}$$，即 $$a_n \equiv 1 \pmod{10}$$。

因此 $$a_n = 10n - 9$$，最大不超过 1009，解得 $$n \leq 101$$。

共有 101 项，故选 B。

10. 解析：

设每天增加 $$d$$ 尺，总织布量为：

$$30 \times 5 + \frac{30 \times 29}{2} d = 390$$，解得 $$d = \frac{16}{29}$$。

故选 C。

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