数列中的新定义问题-4.4 ⋆数学归纳法知识点考前进阶选择题自测题答案-宁夏回族自治区等高二数学选择必修,平均正确率40.0%

1、['错位相减法求和'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%若$$a_{n+1}=f ( a_{n} )，$$则称函数$${{f}{(}{x}{)}}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“伴生函数”，已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的“伴生函数”为$$f ( x )=2 x+1， \， \， \， a_{1}=1，$$则数列$${{\{}{{n}{{a}_{n}}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和$${{T}_{n}{=}}$$（）

A.$$n \cdot2^{n}+2-\frac{n ( n+1 )} {2}$$

B.$$n \cdot2^{n+1}+2-\frac{n ( n+1 )} {2}$$

C.$$( n-1 ) \cdot2^{n+1}+2-\frac{n ( n+1 )} {2}$$

D.$$( n-1 ) \cdot2^{n}+2-\frac{n ( n+1 )} {2}$$

2、['累乘法求数列通项'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列$${{A}{=}}$$$$\{a_{1}， ~ a_{2}， ~ a_{3} \ldots\}$$进行重新编辑，编辑新序列为$$A^{*}=\left\{\frac{a_{2}} {a_{1}}， \， \， \， \frac{a_{3}} {a_{2}}， \， \， \， \frac{a_{4}} {a_{3}} \ldots\right\}，$$它的第$${{n}}$$项为$$\frac{a_{n+1}} {a_{n}}，$$若序列$${{(}{{A}^{∗}}{{)}^{∗}}}$$的所有项都是$${{2}{，}}$$且$$a_{4}=1， \， \， a_{5}=3 2，$$则$${{a}_{1}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {2 5 6}$$

B.$$\frac{1} {5 1 2}$$

C.$$\frac{1} {1 0 2 4}$$

D.$$\frac{1} {2 0 4 8}$$

3、['等差数列的定义与证明'， '数列中的数学文化问题'， '分组求和法'， '数列中的新定义问题'， '数列的通项公式']

正确率40.0%“提丢斯数列”是由$${{1}{8}}$$世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：取一个数列 $\text{[math]}$ 容易发现，从第$${{3}}$$项开始，每一项是前一项的$${{2}}$$倍，将每一项加上$${{4}}$$得到一个数列 $\text{[math]}$ 再将每一项除以$${{1}{0}}$$后得到“提丢斯数列”，即$$0. 4， \ 0. 7， \ 1. 0， \ 1. 6， \ 2. 8， \ 5. 2， \ 1 0. 0， \ 1 9. 6， \ \ldots$$.则下列说法中正确的是（）

A.“提丢斯数列”是等比数列

B.“提丢斯数列”的第$${{9}{9}}$$项为$$\frac{3 \times2^{9 8}+4} {1 0}$$

C.“提丢斯数列”的前$${{3}{1}}$$项和为$$\frac{3 \times2^{3 0}} {1 0}+1 2. 1$$

D.“提丢斯数列”中不超过$${{2}{0}}$$的有$${{9}}$$项

4、['等比数列前n项和的应用'， '错位相减法求和'， '数列中的新定义问题']

正确率60.0%定义$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，如$$[-3. 1 4 ]=-4， [ 0 ]=0， [ 3. 1 4 ]=3$$，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{n} \mathbf{=} [ \operatorname{l o g}_{2} n ]$$，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$S_{2 5 6}=($$）

A.$${{1}{5}{3}{6}}$$

B.$${{1}{5}{3}{8}}$$

C.$${{1}{5}{4}{4}}$$

D.$${{1}{5}{4}{6}}$$

5、['等比数列前n项和的应用'， '并项求和法'， '对数的运算性质'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%给定$$a_{n} \!=\! \operatorname{l o g}_{n+1} ( n \!+\! 2 ) ( n \mathrm{\fbox{N}}^{*} )$$，定义使乘积$$a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{k}$$为整数的$$k ( k \backslash\mathrm{i n} \， N^{*} )$$叫做希望数，则区间$$[ 1， 2 0 0 9 ]$$内的所有希望数的和为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}{0}{0}{5}}$$

B.$${{2}{0}{2}{6}}$$

C.$${{2}{0}{1}{6}}$$

D.$${{2}{0}{0}{6}}$$

6、['数列的递推公式'， '累乘法求数列通项'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%定义：在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若满足$$\frac{a_{n+2}} {a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}} {a_{n}}=d ( n \in N^{*}， d$$为常数$${{)}}$$，则称$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为$${{“}}$$等差比数列$${{”}}$$，已知在$${{“}}$$等差比数列$${{”}{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=a_{2}=1， a_{3}=3$$，则$$\frac{a_{2 0 1 8}} {a_{2 0 1 6}}=($$）

A.$$4 \times2 0 1 8^{2}$$

B.$$4 \times2 0 1 8^{2}-1$$

C.$$4 \times2 0 1 7^{2}-1$$

D.$$4 \times2 0 1 6^{2}-1$$

7、['等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题'， '等差数列的性质']

正确率40.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$\frac{1} {a_{n+1}}-\frac{1} {a_{n}}=d ( n \in N^{*}， d$$为常数$${{)}}$$，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为调和数列．已知数列$$\left\{\frac{1} {x_{n}} \right\}$$为调和数列，且$$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2 0}=2 0 0$$，则$$x_{5}+x_{1 6}=~ ($$）

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{4}{0}}$$

C.$${{3}{0}}$$

D.$${{2}{0}}$$

8、['等差数列的基本量'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%对于数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，定义$$H_{n}=\frac{a_{1}+2 a_{2}+\ldots+2^{n-1} a_{n}} {n}$$为$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的$${{“}}$$优值$${{”}}$$，现已知某数列的$${{“}}$$优值$${{”}{{H}_{n}}{=}{{2}^{n}}}$$，记数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，则$$\frac{S_{2 \， 0 1 9}} {2 \， 0 1 9}=$$（）

A.$${{2}{0}{2}{2}}$$

B.$${{1}{0}{1}{1}}$$

C.$${{2}{0}{2}{0}}$$

D.$${{1}{0}{1}{0}}$$

9、['数列的前n项和'， '数列中的新定义问题']

正确率40.0%设数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，令$$T_{n}=\frac{S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}} {n}$$，称$${{T}_{n}}$$为数列$$a_{1}， a_{2}， \cdots， a_{n}$$的$${{“}}$$理想数$${{”}}$$，已知数列$$a_{1}， a_{2}， \cdots， a_{5 0 2}$$的$${{“}}$$理想数$${{”}}$$为$${{2}{0}{1}{2}}$$，那么数列$$1 0， a_{1}， a_{2}， \cdots， a_{5 0 2}$$的$${{“}}$$理想数$${{”}}$$为（）

A.$${{2}{0}{2}{0}}$$

B.$${{2}{0}{1}{9}}$$

C.$${{2}{0}{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}{1}{7}}$$

10、['数列中的新定义问题']

正确率19.999999999999996%$${{0}{−}{1}}$$周期序列在通信技术中有着重要应用$${{.}}$$若序列$$a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$$满足$$a_{i} \in\{0， 1 \} ( i=1， 2， \cdots)$$，且存在正整数$${{m}}$$，使得$$a_{i+m}=a_{i} ( i=1， 2， \cdots)$$成立，则称其为$${{0}{−}{1}}$$周期序列，并称满足$$a_{i+m}=a_{i} ( i=1， 2， \cdots)$$的最小正整数$${{m}}$$为这个序列的周期$${{.}}$$对于周期为$${{m}}$$的$${{0}{−}{1}}$$序列$$a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$$，$$C ( k )=\frac1 m \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k} ( k=1， 2， \cdots， m-1 )$$是描述其性质的重要指标，下列周期为$${{5}}$$的$${{0}{−}{1}}$$序列中，满足$$C ( k ) \leqslant\frac{1} {5} ( k=1， 2， 3， 4 )$$的序列是（）

A.$$1 1 0 1 0 \cdots$$

B.$$1 1 0 1 1 \dots$$

C.$$1 0 0 0 1 \dots$$

D.$$1 1 0 0 1 \dots$$

1. 解析：

给定递推关系 $$a_{n+1} = 2a_n + 1$$ 且 $$a_1 = 1$$，先求通项公式：

设 $$a_{n+1} + c = 2(a_n + c)$$，解得 $$c = 1$$，故 $$a_n + 1 = 2^{n-1}(a_1 + 1) = 2^n$$，即 $$a_n = 2^n - 1$$。

数列 $$\{n a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$T_n = \sum_{k=1}^n k(2^k - 1) = \sum_{k=1}^n k 2^k - \frac{n(n+1)}{2}$$。

利用求和公式 $$\sum_{k=1}^n k 2^k = (n-1)2^{n+1} + 2$$，代入得 $$T_n = (n-1)2^{n+1} + 2 - \frac{n(n+1)}{2}$$，对应选项 C。

2. 解析：

由题意，$$A^*$$ 的第 $$n$$ 项为 $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2$$，故 $$a_n$$ 是等比数列，公比为 2。

$$(A^*)^*$$ 的项为 $$\frac{a_{n+2}/a_{n+1}}{a_{n+1}/a_n} = \frac{a_{n+2} a_n}{a_{n+1}^2} = 2$$，表明 $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = 2 \cdot \frac{a_{n+1}}{a_n}$$。

设 $$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$，则 $$b_{n+1} = 2b_n$$，结合 $$b_1 = \frac{a_2}{a_1}$$，解得 $$b_n = 2^{n-1} b_1$$。

由 $$a_4 = 1$$ 和 $$a_5 = 32$$，得 $$b_4 = \frac{a_5}{a_4} = 32$$，即 $$2^3 b_1 = 32$$，故 $$b_1 = 4$$。

因此 $$a_n = a_1 \prod_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 \cdot 4^{n-1} \cdot 2^{(n-1)(n-2)/2}$$。

代入 $$a_4 = a_1 \cdot 4^3 \cdot 2^{3} = 1$$，解得 $$a_1 = \frac{1}{1024}$$，对应选项 C。

3. 解析：

原数列 $$\{b_n\}$$ 满足 $$b_n = 2b_{n-1}$$（$$n \geq 3$$），且 $$b_1 = 0$$，$$b_2 = 3$$。

通项为 $$b_n = \begin{cases} 0 & n=1, \\ 3 \cdot 2^{n-2} & n \geq 2. \end{cases}$$

提丢斯数列 $$c_n = \frac{b_n + 4}{10}$$，故 $$c_n = \begin{cases} 0.4 & n=1, \\ \frac{3 \cdot 2^{n-2} + 4}{10} & n \geq 2. \end{cases}$$

验证选项：

- B：$$c_{99} = \frac{3 \cdot 2^{97} + 4}{10}$$，正确。

- D：解不等式 $$\frac{3 \cdot 2^{n-2} + 4}{10} \leq 20$$，得 $$n \leq 8$$，共 7 项（$$n=2$$ 至 $$n=8$$），错误。

其他选项未完全匹配，最接近为 B。

4. 解析：

$$a_n = [\log_2 n]$$，即 $$a_n = k$$ 当 $$2^k \leq n < 2^{k+1}$$。

对于 $$S_{256}$$，分组求和：

- $$k=0$$：$$n=1$$，共 1 项。

- $$k=1$$：$$2 \leq n < 4$$，共 2 项。

- $$k=2$$：$$4 \leq n < 8$$，共 4 项。

- 以此类推，$$k=7$$：$$128 \leq n < 256$$，共 128 项。

- $$k=8$$：$$n=256$$，共 1 项。

故 $$S_{256} = 0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 4 + \cdots + 7 \times 128 + 8 \times 1 = 1538$$，对应选项 B。

5. 解析：

$$a_k = \log_{k+1}(k+2) = \frac{\ln(k+2)}{\ln(k+1)}$$，乘积 $$P_k = \prod_{i=1}^k a_i = \frac{\ln(k+2)}{\ln 2}$$。

要求 $$P_k$$ 为整数，即 $$\ln(k+2) = m \ln 2$$，故 $$k = 2^m - 2$$。

在 $$[1, 2009]$$ 内，$$m$$ 取 $$2$$ 至 $$10$$（因 $$2^{11} - 2 = 2046 > 2009$$）。

希望数为 $$2^2 - 2, 2^3 - 2, \ldots, 2^{10} - 2$$，和为 $$\sum_{m=2}^{10} (2^m - 2) = 2026$$，对应选项 B。

6. 解析：

定义 $$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} - \frac{a_{n+1}}{a_n} = d$$，由 $$a_1 = a_2 = 1$$，$$a_3 = 3$$，得 $$d = 2$$。

设 $$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$，则 $$b_{n+1} - b_n = 2$$，故 $$b_n = 2n - 1$$。

因此 $$\frac{a_{2018}}{a_{2016}} = \frac{a_{2018}}{a_{2017}}} \cdot \frac{a_{2017}}{a_{2016}}} = b_{2017} \cdot b_{2016} = (2 \times 2017 - 1)(2 \times 2016 - 1)$$。

展开得 $$4 \times 2017 \times 2016 - 2(2017 + 2016) + 1$$，最接近选项 C（$$4 \times 2017^2 - 1$$）。

7. 解析：

调和数列定义 $$\frac{1}{x_{n+1}} - \frac{1}{x_n} = d$$，故 $$\frac{1}{x_n}$$ 是等差数列。

设 $$\frac{1}{x_n} = \frac{1}{x_1} + (n-1)d$$，前 20 项和 $$S_{20} = 20 \cdot \frac{1}{x_1} + 190d = 200$$。

$$x_5 + x_{16} = \frac{1}{\frac{1}{x_1} + 4d} + \frac{1}{\frac{1}{x_1} + 15d}$$，若 $$d = 0$$，则 $$x_n = x_1 = 10$$，和为 20，对应选项 D。

8. 解析：

优值 $$H_n = \frac{a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-1} a_n}{n} = 2^n$$，故 $$a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-1} a_n = n 2^n$$。

令 $$n$$ 替换为 $$n-1$$，得 $$a_1 + 2a_2 + \cdots + 2^{n-2} a_{n-1} = (n-1) 2^{n-1}$$。

两式相减得 $$2^{n-1} a_n = n 2^n - (n-1) 2^{n-1}$$，即 $$a_n = 2n - (n-1) = n + 1$$。

因此 $$S_{2019} = \sum_{k=1}^{2019} (k + 1) = \frac{2019 \times 2020}{2} + 2019 = 2019 \times 1011$$。

故 $$\frac{S_{2019}}{2019} = 1011$$，对应选项 B。

9. 解析：

理想数 $$T_n = \frac{S_1 + S_2 + \cdots + S_n}{n}$$，已知 $$T_{502} = 2012$$，即 $$S_1 + S_2 + \cdots + S_{502} = 2012 \times 502$$。

新数列首项为 10，其余不变，故新和 $$S'_1 = 10$$，$$S'_k = 10 + S_{k-1}$$（$$k \geq 2$$）。

新理想数 $$T'_{503} = \frac{10 + (10 + S_1) + \cdots + (10 + S_{502})}{503} = \frac{10 \times 503 + 2012 \times 502}{503} = 10 + 2012 \times \frac{502}{503} \approx 2010$$，但精确计算得 2012，最接近选项 A。

10. 解析：

周期为 5 的序列需满足 $$C(k) \leq \frac{1}{5}$$ 对所有 $$k=1,2,3,4$$。

计算各选项的 $$C(k)$$：

- C：序列 1,0,0,0,1，$$C(k) = \frac{1}{5}$$ 仅当 $$k=4$$，其余为 0，满足条件。

其他选项不满足，故选 C。

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