.jpg)
正确率40.0%如图，阴影正方形的边长为$${{1}{，}}$$以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作第$${{2}}$$个正方形；然后再以第$${{2}}$$个正方形的对角线长为边长，各边均经过第$${{2}}$$个正方形的顶点，作第$${{3}}$$个正方形……依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第$${{1}}$$个正方形，第$${{n}}$$个正方形的面积为$${{a}_{n}{，}}$$则$$\sum_{n=1}^{2 0 2 3} [ ( \operatorname{l o g}_{2} a_{n} ) \cdot\operatorname{c o s} n \pi]=$$（）
B
A.$${{1}{0}{1}{1}}$$
B.$${{−}{{1}{0}{1}{1}}}$$
C.$${{1}{0}{1}{2}}$$
D.$${{−}{{1}{0}{1}{2}}}$$
2、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%公元前$${{5}}$$世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面$${{1}{0}{0}{0}}$$米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的$${{1}{0}}$$倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了$${{1}{0}{0}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}{0}{0}}$$米，当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}{0}}$$米，当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}}$$米……按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯$$1 0^{-2}$$米时，乌龟爬行的总距离为（）
D
A.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0}$$米
B.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0 0}$$米
C.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0}$$米
D.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0 0}$$米
3、['数列在日常经济生活中的应用'， '等比模型']正确率60.0%现存入银行$${{8}}$$万元，年利率为$$2. 5 0 \%，$$若采用一年期自动转存业务(年利率不变)，则第五年年末的本利和为（）
C
A.$$8 \times1. 0 2 5^{3}$$万元
B.$$8 \times1. 0 2 5^{4}$$万元
C.$$8 \times1. 0 2 5^{5}$$万元
D.$$8 \times1. 0 2 5^{6}$$万元
4、['等比模型']正确率40.0%某养猪场$${{2}{0}{2}{1}}$$年年初猪的存栏数为$$1 5 0 0，$$预计以后每年存栏数的增长率为$${{8}{%}{，}}$$且在每年年底卖出$${{1}{0}{0}}$$头，则$${{2}{0}{3}{6}}$$年年初猪的存栏数约为(参考数据：$$1. 0 8^{1 4} \approx2. 9， ~ 1. 0 8^{1 5} \approx3. 2， ~ 1. 0 8^{1 6} \approx3. 4 )$$（）
A
A.$${{2}{0}{5}{0}}$$
B.$${{2}{1}{5}{0}}$$
C.$${{2}{2}{5}{0}}$$
D.$${{2}{3}{5}{0}}$$
5、['等比模型']正确率60.0%$${{2}{0}{2}{0}}$$年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利.为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该企业$${{2}{0}{2}{1}}$$年初投入资金$${{5}{0}{0}}$$万元，资金年平均增长率可达到$${{2}{0}{%}}$$.每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产，为了实现$${{5}}$$年后投入再生产的资金达到$${{8}{0}{0}}$$万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）(单位：万元，结果精确到万元)(参考数据：$$1. 2^{4} \approx2. 0 7， ~ 1. 2^{5} \approx2. 4 9 )$$
B
A.$${{8}{3}}$$
B.$${{6}{0}}$$
C.$${{5}{0}}$$
D.$${{4}{4}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%我国古代的数学名著《九章算术》中有$${{“}}$$衰分问题$${{”}}$$：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问$${{?}}$$其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的$${{2}}$$倍，$${{5}}$$天共织布$${{5}}$$尺，请问第二天织布的尺数是 （）
C
A.$$\frac{4 0} {3 1}$$
B.$$\frac{2 0} {3 1}$$
C.$$\frac{1 0} {3 1}$$
D.$$\frac{5} {3 1}$$
7、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${《}$$趣味数学$${{⋅}}$$屠夫列传$${》}$$中有如下问题：$${{“}}$$戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？$${{”}}$$其意思为：$${{“}}$$有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的$${{2}}$$倍，第一天屠了$${{5}}$$两肉，共屠了$${{3}{0}}$$天，问一共屠了多少两肉？$${（}$$）
D
A.$$5 \times2^{1 0}$$
B.$$5 \times2^{2 9}$$
C.$$2^{3 0}-1$$
D.
正确率40.0%《推背图》是中华预言第一奇书，传说它是唐太宗李世民为推算大唐国运，下令当时两位著名的道士李淳风和袁天罡编写的$${{.}}$$融合了易学、天文、诗词、谜语、图画为一体$${{.}}$$其实该书很可能是一本出自民国初期的伪书，很可能是伪国学$${{!}}$$但在这本书中的第二象中，有一个有趣的数学问题：在一个盘子中摆满了李子，“累累硕果，莫明其数”$${{.}}$$现假设有一个盘子，摆满了李子，最下一层有$${{8}}$$行$${{8}}$$列李子，从第二层开始，每一层李子的个数都是下一层李子的个数的一半，最上层有一个李子，请问盘子中总共有李子的个数为：$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}{0}}$$
B.$${{1}{2}{6}}$$
C.$${{1}{2}{7}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
9、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率80.0%《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，$${{S}_{n}}$$为前$${{n}}$$天两只老鼠打洞长度之和，则$$S_{5}=( \textsubscript{\Lambda} )$$
B
A.$$3 1 \frac{1 5} {1 6}$$
B.$$3 2 \frac{1 5} {1 6}$$
C.$$3 3 \frac{1 5} {1 6}$$
D.$$2 6 \frac{1} {2}$$
10、['数列的函数特征'， '等比模型']正确率40.0%公元前$${{5}}$$世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面$${{1}{0}{0}{0}}$$米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的$${{1}{0}}$$倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了$${{1}{0}{0}{0}}$$米，此时乌龟便领先他$${{1}{0}{0}}$$米；当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}{0}}$$米时，乌龟仍然前于他$${{1}{0}}$$米．当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}}$$米时，乌龟仍然前于他$${{1}}$$米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为$$1 0^{-2}$$米时，乌龟爬行的总距离为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0}$$
B.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0 0}$$
C.$$\frac{1 0^{5}-9} {9 0}$$
D.$$\frac{1 0^{4}-9} {9 0 0}$$
1. 解析：
阴影正方形的边长为1，面积为$$a_1 = 1$$。第2个正方形的对角线长为$$\sqrt{2}$$，边长为$$\sqrt{2}$$，面积为$$a_2 = 2$$。第3个正方形的对角线长为2，边长为2，面积为$$a_3 = 4$$。依此类推，第$$n$$个正方形的面积为$$a_n = 2^{n-1}$$。
题目要求计算$$\sum_{n=1}^{2023} [(\log_2 a_n) \cdot \cos n\pi]$$。由于$$\log_2 a_n = n-1$$，且$$\cos n\pi = (-1)^n$$，因此求和式为：
$$\sum_{n=1}^{2023} (n-1)(-1)^n$$
将求和式分为奇数项和偶数项：
对于奇数项$$n=2k-1$$，$$(-1)^n = -1$$，项为$$(2k-2)(-1) = 2-2k$$。
对于偶数项$$n=2k$$，$$(-1)^n = 1$$，项为$$(2k-1)(1) = 2k-1$$。
总共有1012个奇数项和1011个偶数项。求和结果为：
$$\sum_{k=1}^{1012} (2-2k) + \sum_{k=1}^{1011} (2k-1) = -1011$$
因此，答案为$$\boxed{B}$$。
2. 解析：
乌龟每次领先的距离构成等比数列：$$100, 10, 1, 0.1, \dots$$，公比为$$\frac{1}{10}$$。题目要求领先距离为$$10^{-2}$$米时，乌龟爬行的总距离。
总距离为等比数列的和：
$$S = 100 + 10 + 1 + 0.1 + \dots + 10^{-2}$$
这是一个有限等比数列，和为：
$$S = \frac{100 \left(1 - \left(\frac{1}{10}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10^4 - 1}{90}$$
因此，答案为$$\boxed{A}$$。
3. 解析：
采用一年期自动转存业务，本金每年增长率为$$2.5\%$$。第五年年末的本利和为：
$$8 \times (1 + 0.025)^5 = 8 \times 1.025^5$$
因此，答案为$$\boxed{C}$$。
4. 解析：
设存栏数为$$a_n$$，递推关系为：
$$a_{n+1} = 1.08a_n - 100$$
从2021年到2036年共15年。利用递推公式和等比数列求和，最终存栏数约为：
$$a_{15} \approx 1.08^{15} \times 1500 - 100 \times \frac{1.08^{15} - 1}{0.08} \approx 3.2 \times 1500 - 100 \times \frac{3.2 - 1}{0.08} \approx 4800 - 2750 = 2050$$
因此，答案为$$\boxed{A}$$。
5. 解析：
设每年扣除的消费资金为$$x$$万元。资金增长和扣除的递推关系为：
$$a_{n+1} = 1.2a_n - x$$
5年后投入再生产的资金达到800万元，即：
$$a_5 = 1.2^5 \times 500 - x \times \frac{1.2^5 - 1}{0.2} \geq 800$$
代入$$1.2^5 \approx 2.49$$，解得：
$$2.49 \times 500 - x \times \frac{2.49 - 1}{0.2} \geq 800$$
$$1245 - x \times 7.45 \geq 800$$
$$x \leq \frac{445}{7.45} \approx 60$$
因此，答案为$$\boxed{B}$$。
6. 解析：
设第二天织布尺数为$$x$$，则五天织布尺数依次为$$\frac{x}{2}, x, 2x, 4x, 8x$$。总和为：
$$\frac{x}{2} + x + 2x + 4x + 8x = 5$$
$$\frac{31x}{2} = 5$$
$$x = \frac{10}{31}$$
因此，答案为$$\boxed{C}$$。
7. 解析：
每天屠肉量构成等比数列：$$5, 10, 20, \dots$$，公比为2。30天总屠肉量为：
$$S = 5 \times \frac{2^{30} - 1}{2 - 1} = 5(2^{30} - 1)$$
因此，答案为$$\boxed{D}$$。
8. 解析：
李子总数构成等比数列：$$1, 2, 4, \dots, 8 \times 8$$。层数为$$\log_2(64) + 1 = 7$$层。总和为：
$$S = 2^7 - 1 = 127$$
因此，答案为$$\boxed{C}$$。
9. 解析：
大老鼠打洞长度：$$1, 2, 4, 8, 16$$，和为$$31$$。
小老鼠打洞长度：$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$$，和为$$\frac{31}{16}$$。
总和为：
$$31 + \frac{31}{16} = 32 \frac{15}{16}$$
因此，答案为$$\boxed{B}$$。
10. 解析：
同第2题，乌龟爬行的总距离为等比数列的和：
$$S = \frac{100 \left(1 - \left(\frac{1}{10}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10^5 - 1}{900}$$
因此，答案为$$\boxed{B}$$。