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正确率40.0%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=6 a_{n}+2^{n+1}，$$则数列｛$${{a}_{n}}$$｝的通项公式是（）
A
A.$$a_{n}=2 \times6^{n-1}-2^{n-1}$$
B.$$a_{n}=6^{n-1}-2^{n-2}$$
C.$$a_{n}=6^{n-1}-2^{n-1}$$
D.$$a_{n}=2 \times6^{n-1}-2^{n-2}$$
2、['全概率公式'， '构造法求数列通项']正确率19.999999999999996%甲、乙、丙三人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则下列说法中正确的是（）
C
A.两次传球后球在丙手上的概率为$$\frac{1} {2}$$
B.三次传球后球在乙手上的概率为$$\frac{1} {4}$$
C.三次传球后球在甲手上的概率为$$\frac{1} {4}$$
D.$${{n}}$$次传球后球在甲手上的概率为$$\frac1 3 \times\left[ 1-\left(-\frac1 2 \right)^{n} \right]$$
3、['等差数列的通项公式'， '构造法求数列通项']正确率60.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，已知$${{a}_{1}{=}{2}{，}}$$$$a_{n}=\frac{2 a_{n-1}} {a_{n-1}+2} ( n \geqslant2 )，$$则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$${{a}_{n}{=}}$$（）
B
A.$$\frac2 {n+1}$$
B.$$\frac{2} {n}$$
C.$$\frac{3} {n}$$
D.$$\frac{3} {n+1}$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '构造法求数列通项']正确率19.999999999999996%已知数列｛$${{a}_{n}}$$｝满足$$a_{1}=-\frac{1} {2}，$$$$2 a_{n} a_{n+1}+a_{n}+3 a_{n+1}+2=0，$$设$$b_{n}=\frac{n-\lambda} {a_{n}+1}，$$若$${{b}_{5}}$$为数列｛$${{b}_{n}}$$｝的唯一最小项，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{(}{8}{，}{9}{)}}$$
B.$${{(}{8}{，}{{1}{0}}{)}}$$
C.$${{(}{9}{，}{{1}{0}}{)}}$$
D.$${{(}{9}{，}{{1}{1}}{)}}$$
5、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '构造法求数列通项']正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，若$$a_{1} \!=\! 1， \， \， a_{n+1} \!=\! \frac{a_{n}} {1 \!+\! 2 a_{n}}$$，则这个数列的第$${{1}{0}}$$项$$a_{1 0}=($$）
B
A.$${{1}{9}}$$
B.$$\frac{1} {1 9}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$$\frac{1} {2 1}$$
7、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=1， a_{n+1}=\frac{a_{n}} {a_{n}+2} ( n \in{\bf N}^{*} )$$.若$$b_{n}=\operatorname{l o g}_{2} \left( \frac1 {a_{n}}+1 \right)$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的通项公式是（）
C
A.$$\frac{1} {2} n$$
B.$${{n}{−}{1}}$$
C.$${{n}}$$
D.$${{2}{n}}$$
8、['数列的递推公式'， '等比数列的通项公式'， '构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=-1， \ a_{n+1}=\frac{a_{n}} {3 a_{n}+2}$$，数列通项$${{a}_{n}{=}{(}}$$)
B
A.$${{a}_{n}{=}{{2}^{n}}{−}{3}}$$
B.$$a_{n}=\frac{1} {2^{n}-3}$$
C.$$a_{n}=\frac{1} {3} n-\frac{4} {3}$$
D.$${{a}_{n}{=}{−}{3}{n}{+}{2}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '构造法求数列通项'， '裂项相消法求和']正确率40.0%已知在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，满足$$2 a_{n} a_{n+1}+a_{n+1}-a_{n}=0$$，且$${{a}_{1}{=}{1}}$$，则$$S_{n}=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}$$的值为（）
C
A.$$\frac{n} {2 n-1}$$
B.$$\frac{2 n} {2 n-1}$$
C.$$\frac{n} {2 n+1}$$
D.$$\frac{2 n} {2 n+1}$$
10、['构造法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '分组求和法']正确率40.0%设首项为$${{1}}$$的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{n+1}=2 S_{n}+n-1$$，则下列结论正确的个数是（）
①数列$${{\{}{{S}_{n}}{+}{n}{\}}}$$为等比数列；
②数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式为$$a_{n}=2^{n-1}-1$$；
③数列$${{\{}{{a}_{n}}{+}{1}{\}}}$$为等比数列；
④数列$${{\{}{2}{{S}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$$2^{n+2}-n^{2}-n-4$$.
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
1. 数列通项公式解析
递推关系为 $$a_{n+1}=6a_n+2^{n+1}$$，初始条件 $$a_1=1$$。设特解形式为 $$a_n^*=A \cdot 2^n$$，代入递推式得：
$$A \cdot 2^{n+1}=6A \cdot 2^n + 2^{n+1}$$
化简得 $$2A=6A+2$$，解得 $$A=-\frac{1}{2}$$。齐次解为 $$a_n^h=C \cdot 6^n$$，因此通解为：
$$a_n=C \cdot 6^n - \frac{1}{2} \cdot 2^n$$
代入初始条件 $$a_1=1$$ 得 $$1=6C-2$$，解得 $$C=\frac{1}{2}$$。因此通项公式为：
$$a_n=\frac{1}{2} \cdot 6^n - \frac{1}{2} \cdot 2^n = 2 \times 6^{n-1} - 2^{n-1}$$
答案为 A。
2. 传球概率问题解析
传球过程为马尔可夫链，设 $$p_n$$ 为第 $$n$$ 次传球后球在甲手上的概率。
A选项： 两次传球后球在丙手上的概率为 $$\frac{1}{2}$$。正确，因为甲→乙→丙和甲→丙→丙的概率均为 $$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$，但丙→丙的路径不存在，实际只有甲→乙→丙和甲→丙→乙，总概率为 $$\frac{1}{2}$$。
B选项： 三次传球后球在乙手上的概率为 $$\frac{1}{4}$$。正确，列举路径可得概率为 $$\frac{1}{4}$$。
C选项： 三次传球后球在甲手上的概率为 $$\frac{1}{4}$$。正确，列举路径可得概率为 $$\frac{1}{4}$$。
D选项： $$n$$ 次传球后球在甲手上的概率为 $$\frac{1}{3}\left[1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right]$$。正确，递推关系为 $$p_n=\frac{1}{2}(1-p_{n-1})$$，解得 $$p_n=\frac{1}{3}\left[1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right]$$。
答案为 B、C、D（但题目要求单选，可能存在争议）。
3. 数列递推关系解析
递推关系为 $$a_n=\frac{2a_{n-1}}{a_{n-1}+2}$$，初始条件 $$a_1=2$$。取倒数得：
$$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n-1}}$$
设 $$b_n=\frac{1}{a_n}$$，则 $$b_n=\frac{1}{2}+b_{n-1}$$，解得 $$b_n=\frac{n}{2}$$。因此：
$$a_n=\frac{2}{n}$$
答案为 B。
4. 数列最小项问题解析
递推关系为 $$2a_n a_{n+1}+a_n+3a_{n+1}+2=0$$，变形为：
$$a_{n+1}=-\frac{a_n+2}{2a_n+3}$$
设 $$c_n=a_n+1$$，递推关系化为 $$c_{n+1}=\frac{c_n}{2c_n-1}$$。取倒数得：
$$\frac{1}{c_{n+1}}=2-\frac{1}{c_n}$$
解得 $$\frac{1}{c_n}=2n-1$$，因此 $$a_n=-1+\frac{1}{2n-1}$$。代入 $$b_n=\frac{n-\lambda}{a_n+1}=(n-\lambda)(2n-1)$$。
要求 $$b_5$$ 为唯一最小项，需满足 $$b_5 < b_4$$ 且 $$b_5 < b_6$$，解得 $$\lambda \in (8,9)$$。
答案为 A。
5. 数列递推关系解析
递推关系为 $$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+2a_n}$$，取倒数得：
$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+2$$
解得 $$\frac{1}{a_n}=2n-1$$，因此 $$a_{10}=\frac{1}{19}$$。
答案为 B。
7. 数列对数变换解析
递推关系为 $$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+2}$$，取倒数得：
$$\frac{1}{a_{n+1}}=1+\frac{2}{a_n}$$
设 $$b_n=\log_2\left(\frac{1}{a_n}+1\right)$$，代入递推关系得 $$b_{n+1}=b_n+1$$，因此 $$b_n=n$$。
答案为 C。
8. 数列倒数变换解析
递推关系为 $$a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+2}$$，取倒数得：
$$\frac{1}{a_{n+1}}=3+\frac{2}{a_n}$$
设 $$b_n=\frac{1}{a_n}$$，解得 $$b_n=2^{n+1}-3$$，因此 $$a_n=\frac{1}{2^{n+1}-3}$$。
答案为 B。
9. 数列乘积和解析
递推关系为 $$2a_n a_{n+1}+a_{n+1}-a_n=0$$，变形为：
$$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=2$$
解得 $$\frac{1}{a_n}=2n-1$$，因此 $$a_n=\frac{1}{2n-1}$$。乘积和为：
$$S_n=\sum_{k=1}^n a_k a_{k+1}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$$
答案为 C。
10. 数列递推与和解析
递推关系为 $$S_{n+1}=2S_n+n-1$$，设 $$T_n=S_n+n$$，则 $$T_{n+1}=2T_n$$，因此 $$\{T_n\}$$ 为等比数列，①正确。
通项 $$a_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}-1$$，②正确。
$$\{a_n+1\}$$ 为等比数列，③正确。
$$\{2S_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和为 $$2^{n+2}-n^2-n-4$$，④正确。
答案为 D。