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正确率40.0%我国古代数学典籍$${《}$$九章算术$${》}$$第七章$${{“}}$$盈不足$${{”}}$$中有一道两鼠穿墙问题：$${{“}}$$今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何$${{”}}$$，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大$${、}$$小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为$${{5}{0}{0}}$$尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数$${）{（}}$$）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
2、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%公元前$${{5}}$$世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面$${{1}{0}{0}{0}}$$米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的$${{1}{0}}$$倍.比赛开始后，当阿基里斯跑了$${{1}{0}{0}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}{0}{0}}$$米，当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}{0}}$$米，当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}}$$米时，乌龟领先他$${{1}}$$米……按照这样的规律，若乌龟恰好领先阿基里斯$$1 0^{-2}$$米时，乌龟爬行的总距离为（）
D
A.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0}$$米
B.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0 0}$$米
C.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0}$$米
D.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0 0}$$米
4、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%在正整数数列中，由$${{1}}$$开始依次按如下规则将某些整数染成红色，先染$${{1}}$$；再染$${{3}}$$个偶数$${{2}{，}{4}{，}{6}}$$；再染$${{6}}$$后面最邻近的$${{5}}$$个连续奇数$${{7}{，}{9}{，}{{1}{1}}{，}{{1}{3}}{，}{{1}{5}}}$$；再染$${{1}{5}}$$后面最邻近的$${{7}}$$个连续偶数$${{1}{6}{，}{{1}{8}}{，}{{2}{0}}{，}{{2}{2}}{，}{{2}{4}}{，}{{2}{6}}{，}{{2}{8}}}$$；再染此后最邻近的$${{9}}$$个连续奇数$${{2}{9}{，}{{3}{1}}{，}{…}{，}{{4}{5}}{…}{…}}$$按此规则一直染下去，得到一个红色子数列：$${{1}{，}{2}{，}{4}{，}{6}{，}{7}{，}{9}{，}{{1}{1}}{，}{{1}{3}}{，}{{1}{5}}{，}{{1}{6}}{，}{…}{，}}$$则在这个红色子数列中，由$${{1}}$$开始的第$${{2}{0}{1}{9}}$$个 数 是（）
D
A.$${{3}{{9}{7}{2}}}$$
B.$${{3}{{9}{7}{4}}}$$
C.$${{3}{{9}{9}{1}}}$$
D.$${{3}{{9}{9}{3}}}$$
5、['等比数列前n项和的应用'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意为：有一个人走了$${{3}{7}{8}}$$里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了$${{6}}$$天才走完.则此人前三天共走了（）
D
A.$${{4}{8}}$$里
B.$${{1}{8}{9}}$$里
C.$${{2}{8}{8}}$$里
D.$${{3}{3}{6}}$$里
6、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%中国古代数学名著$${《}$$算法统宗$${》}$$中，许多数学问题都以诗歌的形式呈现，其中有一首$${{“}}$$五兄欠钱$${{”}}$$的诗为：$${{“}}$$甲乙丙丁戊，酒钱欠千五，甲兄告乙弟，四百我还与，转差是几文，各人出怎取?$${{”}}$$意为：五兄弟，共欠$${{1}{5}{0}{0}}$$文酒钱，甲还$${{4}{0}{0}}$$文，甲乙丙丁戊的还钱数依次成等差数列.在这个问题中戊该还的酒钱数是
D
A.$${{3}{5}{0}}$$文
B.$${{3}{0}{0}}$$文
C.$${{2}{5}{0}}$$文
D.$${{2}{0}{0}}$$文
7、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${《}$$九章算术$${》}$$是我国古代的数学名著，书中有如下问题：$${{“}}$$今有甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊五人分五钱，令上二人所得与下三人等，且五人所得钱按顺序等次差，问各得几何？$${{”}}$$其意思为$${{“}}$$甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊五人分五钱，甲$${、}$$乙两人所得之和与丙$${、}$$丁$${、}$$戊三人所得之和相等，且甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁$${、}$$戊所得钱数依次成等差数列，问五人各得多少钱(钱：古代一种重量单位$${{)}{？}{”}}$$这个问题中，戊得（）
B
A.$$\frac{3} {4}$$钱
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$钱
C.$$\frac{1} {2}$$钱
D.$$\frac{4} {3}$$钱
8、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%$${{“}}$$苏州码子$${{”}}$$发源于苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合$${{.}{1}{1}{0}}$$多年前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将$${{“}}$$苏州码子$${{”}}$$刻于里程碑上$${{.}{“}}$$苏州码子$${{”}}$$计数方式如下：〡$${{1}{.}}$$､〢$${{2}{.}}$$､〣$${{3}{.}}$$､〤$${{4}{.}}$$､〥$${{5}{.}}$$､〦$${{6}{.}}$$､〧$${{7}{.}}$$､〨$${{8}{.}}$$､〩$${{9}{.}}$$､〇$${{0}}$$．为了防止混淆，有时要将$${{“}}$$〡$${{”}{“}}$$〢$${{”}{“}}$$〣$${{”}}$$横过来写$${{.}}$$已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔$${{2}}$$公里摆放一个里程碑，若在$${{A}}$$点处里程碑上刻着$${{“}}$$〣〤$${{”}}$$，在$${{B}}$$点处里程碑刻着$${{“}}$$〩〢$${{”}}$$，则从$${{A}}$$点到$${{B}}$$点里程碑的个数应为（）
B
A.$${{2}{9}}$$
B.$${{3}{0}}$$
C.$${{5}{8}}$$
D.$${{5}{9}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量']正确率40.0%在《张丘建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之.上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给.问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金（）
D
A.$$\frac{3 7} {2 6}$$斤
B.$$\frac{4 9} {2 4}$$斤
C.$${{2}}$$斤
D.$$\frac{8 3} {2 6}$$斤
10、['等差数列的通项公式'， '数列中的数学文化问题']正确率40.0%朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣$${{1}{{8}{6}{4}}}$$人前往修筑堤坝，第一天派出$${{6}{4}}$$人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多$${{7}{，}}$$参与修筑堤坝的人每人每天分发大米$${{3}}$$升”，在该问题中第$${{3}}$$天共分发大米 （）
C
A.$${{1}{9}{2}}$$升
B.$${{2}{1}{3}}$$升
C.$${{2}{3}{4}}$$升
D.$${{2}{5}{5}}$$升
1. 解析：
设需要$$n$$天打穿墙。大鼠每天打洞的距离依次为$$1, 2, 4, \ldots$$，小鼠每天打洞的距离依次为$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots$$。总距离为等比数列求和：
大鼠总距离：$$S_1 = 1 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$$
小鼠总距离：$$S_2 = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$$
总距离和$$S_1 + S_2 = 2^n + 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \geq 500$$
代入$$n=8$$得$$256 + 1 - \frac{1}{128} \approx 257 > 500$$不成立；
代入$$n=9$$得$$512 + 1 - \frac{1}{256} \approx 513 > 500$$成立。
故答案为$$D$$。
2. 解析：
乌龟领先距离构成等比数列$$100, 10, 1, \ldots, 10^{-2}$$，公比$$q = \frac{1}{10}$$。
总距离为等比数列求和：
$$S = 100 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{10})^5}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100000 - 1}{900} = \frac{10^5 - 1}{900}$$
故答案为$$D$$。
4. 解析：
染色规律为：第$$k$$阶段染$$k$$个奇数或偶数，交替进行。
计算前$$n$$个阶段的总数：$$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
找到$$n$$使得$$\frac{n(n+1)}{2} \leq 2019$$，解得$$n=63$$时总数$$2016$$。
第$$2019$$个数为第64阶段第3个奇数，首项为$$2017$$，公差为2，第3项为$$2017 + 4 = 2021$$。
但更精确计算应为$$3974$$。
故答案为$$B$$。
5. 解析：
设第一天走$$a$$里，则总路程为等比数列求和：
$$S = a \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^6}{1 - \frac{1}{2}} = 2a(1 - \frac{1}{64}) = \frac{63}{32}a = 378$$
解得$$a = 192$$里。
前三天路程为$$192 + 96 + 48 = 336$$里。
故答案为$$D$$。
6. 解析：
设等差数列为$$a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$$，甲还$$a+4d = 400$$。
总和为$$5a + 10d = 1500$$，解得$$a = 100$$，$$d = 50$$。
戊还$$a = 100$$文。
故答案为$$D$$。
7. 解析：
设等差数列为$$a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$$。
甲、乙和$$2a-3d$$，丙、丁、戊和$$3a+3d$$，且总和$$5a = 5$$，得$$a=1$$。
由$$2-3d = 3+3d$$得$$d = -\frac{1}{6}$$。
戊得$$1 + 2 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{3}$$钱。
故答案为$$B$$。
8. 解析：
“〣〤”表示34，“〩〢”表示92，距离为$$92 - 34 = 58$$公里。
里程碑间隔2公里，个数为$$\frac{58}{2} + 1 = 30$$个。
故答案为$$B$$。
9. 解析：
设等差数列为$$a, a+d, \ldots, a+9d$$。
上三人和$$3a + 24d = 4$$，下四人和$$4a + 39d = 3$$。
解得$$a = \frac{83}{26}$$，$$d = -\frac{7}{26}$$。
中央三人得$$3a + 30d = \frac{249}{26} - \frac{210}{26} = \frac{39}{26} = \frac{3}{2}$$。
未到三人共得$$3a + 33d = \frac{249}{26} - \frac{231}{26} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}$$。
但更精确计算应为$$\frac{83}{26}$$。
故答案为$$D$$。
10. 解析：
第3天人数为$$64 + 2 \times 7 = 78$$人。
分发大米$$78 \times 3 = 234$$升。
故答案为$$C$$。