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正确率40.0%在流行病学中，基本传染数$${{R}_{0}}$$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数$${{.}{{R}_{0}}}$$一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数$${{R}_{0}{=}{3}{，}}$$那么感染人数由$${{1}}$$增加到$${{2}{0}{0}{0}}$$及以上，至少需要的传染轮数为（）
注：初始感染者传染$${{R}_{0}}$$个人为第一轮传染，这$${{R}_{0}}$$个人再分别传染另外$${{R}_{0}}$$个人为第二轮传染.
C
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
2、['等比模型']正确率60.0%某公司决定逐年加大对广告宣传的资金投入，若该公司今年投入的资金为$${{2}{0}{0}{0}}$$万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长$${{1}{2}{%}{，}}$$则该公司投入资金开始超过$${{7}{0}{0}{0}}$$万元需经过（）
$${{(}}$$参考数据：$${{l}{g}{{1}{.}{1}{2}}{≈}{{0}{.}{0}{4}{9}}{，}{{l}{g}}{2}{≈}{{0}{.}{3}{0}{1}}{，}{{l}{g}}{7}{≈}{{0}{.}{8}{4}{5}}{)}}$$
C
A.$${{1}{4}}$$年
B.$${{1}{3}}$$年
C.$${{1}{2}}$$年
D.$${{1}{1}}$$年
3、['数列在日常经济生活中的应用'， '等比数列前n项和的应用'， '公式法求和'， '等比模型'， '等比数列的基本量']正确率60.0%某病毒研究所为了更好地研究新型冠状病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费(单位：万元)从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高$${{9}}$$万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高$${{3}{6}}$$万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为（）
A
A.$${{9}{3}}$$万元
B.$${{4}{5}}$$万元
C.$${{1}{8}{9}}$$万元
D.$${{9}{6}}$$万元
4、['指数方程与指数不等式的解法'， '等比模型']正确率40.0%洗衣服时，小懒说：$${{“}}$$入水三分净$${{”}}$$，即换水洗一次能去污$${{3}{0}{%}}$$．问：要使污渍不高于原来的$${{3}{0}{%}}$$，至少要换水洗多少次？$${（}$$）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
6、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明']正确率40.0%《推背图》是中华预言第一奇书，传说它是唐太宗李世民为推算大唐国运，下令当时两位著名的道士李淳风和袁天罡编写的$${{.}}$$融合了易学、天文、诗词、谜语、图画为一体$${{.}}$$其实该书很可能是一本出自民国初期的伪书，很可能是伪国学$${{!}}$$但在这本书中的第二象中，有一个有趣的数学问题：在一个盘子中摆满了李子，“累累硕果，莫明其数”$${{.}}$$现假设有一个盘子，摆满了李子，最下一层有$${{8}}$$行$${{8}}$$列李子，从第二层开始，每一层李子的个数都是下一层李子的个数的一半，最上层有一个李子，请问盘子中总共有李子的个数为：$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}{0}}$$
B.$${{1}{2}{6}}$$
C.$${{1}{2}{7}}$$
D.$${{1}{2}{8}}$$
7、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率40.0%我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵$${{.}}$$”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
B.$$\frac{1} {7} ( 8^{9}-8 )$$人
C.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{7}-8 )$$人
D.$$8+\frac{1} {7} ( 8^{9}-8^{4} )$$人
8、['等比数列前n项和的应用'， '等比模型'， '等比数列的定义与证明']正确率80.0%我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人共行走了$${{1}{8}{9}}$$里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了$${{6}}$$天才到达目的地．”则该人第一天行走的路程为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{0}{8}}$$里
B.$${{9}{6}}$$里
C.$${{6}{4}}$$里
D.$${{4}{8}}$$里
9、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的应用'， '等比模型']正确率80.0%
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则此人第4天走了（ ）
A.60里
B.48里
C.36里
D.24里
10、['数列的函数特征'， '等比模型']正确率40.0%公元前$${{5}}$$世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面$${{1}{0}{0}{0}}$$米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的$${{1}{0}}$$倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了$${{1}{0}{0}{0}}$$米，此时乌龟便领先他$${{1}{0}{0}}$$米；当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}{0}}$$米时，乌龟仍然前于他$${{1}{0}}$$米．当阿基里斯跑完下一个$${{1}{0}}$$米时，乌龟仍然前于他$${{1}}$$米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为$$1 0^{-2}$$米时，乌龟爬行的总距离为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1 0^{4}-1} {9 0}$$
B.$$\frac{1 0^{5}-1} {9 0 0}$$
C.$$\frac{1 0^{5}-9} {9 0}$$
D.$$\frac{1 0^{4}-9} {9 0 0}$$
1. 解析：感染人数按几何级数增长，每轮传染后总感染人数为 $$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n$$。求和公式为 $$S_n = \frac{3^{n+1} - 1}{2}$$。设 $$S_n \geq 2000$$，代入计算：
$$n=5$$ 时，$$S_5 = \frac{3^6 - 1}{2} = 364$$；
$$n=6$$ 时，$$S_6 = \frac{3^7 - 1}{2} = 1093$$；
$$n=7$$ 时，$$S_7 = \frac{3^8 - 1}{2} = 3280$$。
因此至少需要 $$7$$ 轮传染，选 C。
2. 解析：资金增长模型为 $$2000 \times (1.12)^n > 7000$$。取对数得：
$$n > \frac{\lg 7 - \lg 2}{\lg 1.12} \approx \frac{0.845 - 0.301}{0.049} \approx 11.1$$。
故需 $$12$$ 年，选 C。
3. 解析：设设备费等比数列首项为 $$a$$，公比为 $$r$$。由题意：
$$ar^2 - a = 9$$，
$$ar^4 - ar^2 = 36$$。
解得 $$r^2 = 4$$（舍负），$$a = 3$$。总费用为 $$S_5 = 3 \times \frac{4^5 - 1}{4 - 1} = 93$$ 万元，选 A。
4. 解析：每次换水剩余污渍为 $$70\%$$，设需 $$n$$ 次使 $$0.7^n \leq 0.3$$。取对数：
$$n \geq \frac{\lg 0.3}{\lg 0.7} \approx 3.8$$，故至少需 $$4$$ 次，选 C。
6. 解析：李子总数构成等比数列，首项 $$1$$，公比 $$2$$，共 $$8 \times 8 = 64$$ 层。求和：
$$S = 1 \times \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$$，但选项无此值。题目描述可能有误，实际为 $$8$$ 层时 $$S = 2^8 - 1 = 255$$ 也不匹配。若按 $$7$$ 层计算（$$2^7 - 1 = 127$$），选 C。
7. 解析：人数构成等比数列，首项 $$8$$（将官），公比 $$8$$，共 $$6$$ 项（将官到士兵）。求和：
$$S = 8 \times \frac{8^6 - 1}{8 - 1} = \frac{8^7 - 8}{7}$$，选 A。
8. 解析：设第一天走 $$a$$ 里，总路程为 $$a \left(1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{32}\right) = 189$$。求和得：
$$a \times \frac{1 - (1/2)^6}{1 - 1/2} = 189 \Rightarrow a = 96$$，选 B。
9. 解析：同第8题模型，设第一天走 $$a$$ 里，总路程为 $$378$$ 里。计算得：
$$a \times \frac{1 - (1/2)^6}{1/2} = 378 \Rightarrow a = 192$$。
第4天走 $$192 \times \frac{1}{8} = 24$$ 里，但选项无。若题目为第4天累计，需重新计算。
10. 解析：乌龟每次距离构成等比数列：$$1000, 100, 10, 1, 0.1, \dots$$。总距离为：
$$S = 1000 + 100 + 10 + 1 + 0.1 + \dots = \frac{1000}{1 - 0.1} = \frac{10000}{9}$$。
当距离为 $$10^{-2}$$ 时，部分和为 $$\frac{1000 (1 - 0.1^n)}{0.9}$$，但选项不匹配。精确计算前几项和更接近 $$\frac{10^5 - 1}{900}$$，选 B。