累加法求数列通项-⋆数学归纳法知识点回顾进阶自测题解析-海南省等高二数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['累加法求数列通项'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%$${{“}}$$杨辉三角$${{”}}$$是中国古代重要的数学成就，它比西方的$${{“}}$$帕斯卡三角形$${{”}}$$早了$${{3}{0}{0}}$$多年$${{.}}$$如图所示的是由$${{“}}$$杨辉三角$${{”}}$$拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数$${{1}}$$，$${{3}}$$，$${{6}}$$，$${{1}{0}}$$，$${{…}}$$构成数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$，记$${{a}_{n}}$$为该数列的第$${{n}}$$项，则$$a_{6 3}=$$（）
$$\begin{array} {c c c c c c c c c c c c} {} & {} & {} & {} & {} & {1} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {1} & {} & {} & {1} & {} & {} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {1} & {} & {} & {2} & {} & {} & {1} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {1} & {} & {3} & {} & {} & {3} & {} & {1} & {} & {} \\ {} & {1} & {} & {4} & {} & {} & {6} & {} & {4} & {} & {1} & {} \\ {1} & {} & {5} & {} & {1 0} & {} & {1 0} & {} & {5} & {} & {1} \\ \end{array}$$

A.$${{2}{{0}{1}{6}}}$$

B.$${{4}{{0}{3}{2}}}$$

C.$${{2}{{0}{2}{0}}}$$

D.$${{4}{{0}{4}{0}}}$$

2、['累加法求数列通项']

正确率60.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n}=a_{n-1}+n+1 ( n \geqslant2 )，$$则$${{a}_{8}{=}}$$（）

A.$${{3}{4}}$$

B.$${{4}{3}}$$

C.$${{5}{3}}$$

D.$${{6}{4}}$$

3、['累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的性质']

正确率40.0%在数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=-2， \， \， a_{n+1}=a_{n}-2^{n}$$，则$$a_{2 0 1 7}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$2^{2 0 1 6}$$

B.$$2^{2 0 1 8}$$

C.$$- 2^{2 0 1 7}$$

D.$$2^{2 0 1 7}$$

4、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且满足对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n}$$成立，则$$a_{2 0 1 5}=$$（）

A.$$2^{2 0 1 4}-1$$

B.$$2^{2 0 1 5}+1$$

C.$$2^{2 0 1 5}-1$$

D.$$2^{2 0 1 6}-1$$

6、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']

正确率40.0%在非零数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=1， \; a_{n-1}-\; a_{n}=a_{n} \cdot a_{n-1} \cdot\operatorname{l n} ( 1-\frac{1} {n} ) \; ( n \geqslant2 )$$，则$${{a}_{n}{=}{（}}$$）

A.$${{2}{+}{{l}{n}}{n}}$$

B.$${{2}{−}{{l}{n}}{n}}$$

C.$$\frac{1} {1-\operatorname{l n} n}$$

D.$$\frac{1} {1+\operatorname{l n} n}$$

7、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '组合的应用'， '绝对值的概念与几何意义']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$共有$${{5}}$$项，满足$${{a}_{1}{=}{0}{，}{{a}_{5}}{=}{{1}{0}}}$$，且$$| a_{k+1}-a_{k} |=5 ( k=1， 2， 3， 4 )$$，则符合条件的数列有（）

A.$${{3}}$$个

B.$${{4}}$$个

C.$${{5}}$$个

D.$${{6}}$$个

8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '累加法求数列通项']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， a_{n}-a_{n+1}=n a_{n} a_{n+1} ( n \in N^{*} )$$，则$${{a}_{n}}$$的最大值为（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{3} {4}$$

9、['累加法求数列通项'， '导数与极值'， '裂项相消法求和'， '数列与函数的综合问题']

正确率40.0%设$${{x}{=}{1}}$$是函数$$f ( x ) \!=\! a_{n+1} x^{3} \!-\! a_{n} x^{2} \!-\! a_{n+2} x \!+\! 1 ( n \backslash{\mathrm{i n}} \， N_{+} )$$的极值点，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \， \， \， a_{2} \!=\! 2， \， \， \， b_{n} \!=\! \operatorname{l o g}_{2} a_{n+1}$$，若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$[ \frac{1} {b_{1} b_{2}}+\frac{1} {b_{2} b_{3}}+\dots+\frac{1} {b_{2 0 1 8} b_{2 0 1 9}} ]=0$$）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}{0}{1}{8}}$$

D.$${{2}{0}{1}{9}}$$

10、['数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '累加法求数列通项'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%设$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的函数，对任意$${{x}{，}{y}{∈}{R}}$$，都有$${{f}{{(}{x}{+}{y}{)}}{=}{f}{{(}{x}{)}}{+}{f}{{(}{y}{)}}}$$，且$${{f}{{(}{1}{)}}{=}{1}}$$.若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足：$$a_{1}=1 8， a_{n}-a_{n-1}=2 f \left( n \right)， \， \， \， ( n \geqslant2 \Hat{l} n \in N^{*} )$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$${{7}}$$

B.$${{9}}$$

C.$$\frac{1 5} {2}$$

D.$$\frac{1 9} {2}$$

1. 题目中的数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$对应杨辉三角的斜对角线上的数，即组合数$$C(n+1, 2)$$。因此，$$a_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。计算$$a_{63}$$：

$$a_{63} = \frac{63 \times 64}{2} = 2016$$

正确答案是A。

2. 数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的递推关系为$$a_n = a_{n-1} + n + 1$$，初始条件$$a_1 = 1$$。逐项计算：

$$ \begin{aligned} a_2 &= a_1 + 2 + 1 = 4 \\ a_3 &= a_2 + 3 + 1 = 8 \\ a_4 &= a_3 + 4 + 1 = 13 \\ a_5 &= a_4 + 5 + 1 = 19 \\ a_6 &= a_5 + 6 + 1 = 26 \\ a_7 &= a_6 + 7 + 1 = 34 \\ a_8 &= a_7 + 8 + 1 = 43 \\ \end{aligned} $$

正确答案是B。

3. 数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的递推关系为$$a_{n+1} = a_n - 2^n$$，初始条件$$a_1 = -2$$。展开递推：

$$ \begin{aligned} a_2 &= a_1 - 2^1 = -4 \\ a_3 &= a_2 - 2^2 = -8 \\ a_4 &= a_3 - 2^3 = -16 \\ &\vdots \\ a_n &= -2^n \\ \end{aligned} $$

因此，$$a_{2017} = -2^{2017}$$。正确答案是C。

4. 数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的递推关系为$$a_{n+1} - a_n = 2^n$$，初始条件$$a_1 = 1$$。累加求和：

$$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 1 + (2^n - 2) = 2^n - 1 $$

因此，$$a_{2015} = 2^{2015} - 1$$。正确答案是C。

6. 递推关系为$$a_{n-1} - a_n = a_n a_{n-1} \ln(1 - \frac{1}{n})$$。整理得：

$$ \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n-1}} = \ln\left(\frac{n}{n-1}\right) $$

累加求和：

$$ \frac{1}{a_n} = 1 + \sum_{k=2}^n \ln\left(\frac{k}{k-1}\right) = 1 + \ln n $$

因此，$$a_n = \frac{1}{1 + \ln n}$$。正确答案是D。

7. 数列从$$a_1 = 0$$到$$a_5 = 10$$，每次变化$$5$$或$$-5$$。设$$k$$次增加$$5$$，$$4 - k$$次减少$$5$$，则：

$$ 5k - 5(4 - k) = 10 \Rightarrow k = 3 $$

共有$$C(4, 3) = 4$$种符合条件的数列。正确答案是B。

8. 递推关系为$$a_n - a_{n+1} = n a_n a_{n+1}$$。整理得：

$$ \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_n} = n $$

累加求和：

$$ \frac{1}{a_n} = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2} $$

因此，$$a_n = \frac{2}{n^2 - n + 2}$$。当$$n = 1$$时，$$a_1 = 1$$为最大值。正确答案是A。

9. 由$$x = 1$$是极值点，得$$f'(1) = 0$$，即：

$$ 3a_{n+1} - 2a_n - a_{n+2} = 0 \Rightarrow a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n $$

解得数列$${{\{}{a}_{n}{\}}}$$的通项为$$a_n = 2^n - 2^{n-1} + 1$$。但更简单的方法是观察前几项：

$$ a_1 = 1, \, a_2 = 2, \, a_3 = 4, \, a_4 = 8, \, \dots, \, a_n = 2^{n-1} $$

因此，$$b_n = \log_2 a_{n+1} = n$$。求和：

$$ \sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{2019} $$

取整后为$$0$$。正确答案是A。

10. 函数$$f(x)$$满足$$f(x+y) = f(x) + f(y)$$，且$$f(1) = 1$$，因此$$f(n) = n$$。数列递推关系为：

$$ a_n - a_{n-1} = 2n \Rightarrow a_n = a_1 + 2 \sum_{k=2}^n k = 18 + n(n+1) - 2 $$

因此，$$a_n = n^2 + n + 16$$。求$$\frac{a_n}{n} = n + 1 + \frac{16}{n}$$的最小值，当$$n = 4$$时取得最小值$$9$$。正确答案是B。

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