累加法求数列通项-4.4 ⋆数学归纳法知识点课后进阶选择题自测题解析-重庆市等高二数学选择必修,平均正确率36.0%

1、['等差数列的定义与证明'， '极限'， '累加法求数列通项'， '等比数列的定义与证明'， '数列与不等式的综合问题']

正确率19.999999999999996%分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线$${{P}_{0}}$$，$${{P}_{1}}$$，$${{…}}$$，$${{P}_{n}}$$，$${{…}}$$．已知$${{P}_{0}}$$是边长为$${{1}}$$的等边三角形，$$P_{k+1}$$是对$${{P}_{k}}$$进行如下操作而得到：将$${{P}_{k}}$$的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉$$( k=0， 1， 2， \cdots)$$，记$${{P}_{n}}$$的周长为$${{L}_{n}}$$、所围成的面积为$${{S}_{n}}$$．对于$${{∀}{n}{∈}{N}}$$，下列结论正确的是（）
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A.$$\left\{\frac{S_{n}} {L_{n}} \right\}$$为等差数列

B.$$\left\{\frac{S_{n}} {L_{n}} \right\}$$为等比数列

C.$${{∃}{M}{>}{0}}$$，使$${{L}_{n}{<}{M}}$$

D.$${{∃}{M}{>}{0}}$$，使$${{S}_{n}{<}{M}}$$

2、['累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\frac{1} {2}， a_{n+1}=a_{n}+\frac{1} {2^{n}} ( n \in{\bf N}^{*} )，$$则$$a_{2 0 2 3}=$$（）

A.$$1-\frac{1} {2^{2 0 2 1}}$$

B.$$1-\frac{1} {2^{2 0 2 2}}$$

C.$$\frac{3} {2}-\frac{1} {2^{2 0 2 1}}$$

D.$$\frac3 2-\frac1 {2^{2 0 2 2}}$$

3、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '累加法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项为$${{a}_{1}}$$，且$$\left( 1+\frac{1} {n} \right) a_{n-1}-a_{n}=1 \left( n \in\mathbf{N^{*}} \right)$$，若$${{a}_{n}{⩾}{{a}_{4}}}$$，则$${{a}_{1}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{9} {2}， \frac{2 5} {2} ]$$

B.$$[ \frac{4 9} {8}， \frac{8 1} {8} ]$$

C.$$[ 6， 1 0 ]$$

D.$$\left[ \frac{2 5} {4}， 9 \right]$$

4、['等比数列的通项公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=1， \， \， a_{n+1}=a_{n}+2^{n}， \， \， S_{n}$$为数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和，则$${{S}_{n}{=}{（}}$$）

A.$${{2}^{n}{−}{1}}$$

B.$$2^{n+1}-n-2$$

C.$$2^{n+2}-n-4$$

D.$${{2}^{n}{+}{1}}$$

5、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']

正确率0.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且满足$$a_{n+1}-a_{n}=~ ( ~-{\frac{1} {2}} ) ~^{n} ~ ( ~ n \in{\bf N}^{+} ~ )$$，如果存在正整数$${{n}}$$，使得$$( \ a_{n}-\lambda) / ( \ a_{n+1}-\lambda) / < 0$$成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围是（）

A.$$( \; \frac{1} {2}， \; 2 )$$

B.$$( \frac{2} {3}， \ 1 )$$

C.$$( \; \frac{1} {2}， \; \; 1 )$$

D.$$( \ \frac{2} {3}， \ \frac{5} {6} )$$

6、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项']

正确率40.0%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，$$a_{1}=2， \ a_{n+1}=a_{n}+\operatorname{l o g}_{2} \frac{n+1} {n}$$，则$$a_{8}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

7、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等差数列的前n项和的性质'， '利用基本不等式求最值'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=2 5， \， \， a_{n+1}-a_{n}=2 n$$，则$$\frac{a_{n}} {n}$$的最小值为

A.$${{6}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

8、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等差数列的基本量']

正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足，$$a_{n+1}=a_{n}+\frac{n} {2} ( n \in N^{*} )$$，且$${{a}_{1}{=}{2}}$$，则$$a_{1 6}$$为（）

A.$${{6}{0}}$$

B.$${{6}{2}}$$

C.$${{6}{5}}$$

D.$${{6}{8}}$$

9、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '对数的运算性质'， '数列的通项公式']

正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$${{a}_{1}{=}{1}}$$，满足$$a_{n+1}-a_{n}=\operatorname{l n} ( 1+\frac{1} {n} )$$，则$$a_{2 0 1 9}=\langle$$）

A.$${{1}{+}{{l}{n}}{{2}{0}{2}{0}}}$$

B.$${{1}{−}{{l}{n}}{{2}{0}{2}{0}}}$$

C.$${{1}{+}{{l}{n}}{{2}{0}{1}{9}}}$$

D.$${{1}{−}{{l}{n}}{{2}{0}{1}{9}}}$$

10、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']

正确率40.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+2^{n}， \， \， \， n \in{\bf N}^{*}， \， \， \， T_{n}$$为$${{a}_{n}}$$的前$${{n}}$$项的积，则使得$$T_{n} > 2^{1 8}$$的$${{n}}$$的最小值为（）

A.$${{8}}$$

B.$${{9}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{1}}$$

1. 解析：

对于分形几何学的问题，$$P_0$$是边长为1的等边三角形，周长为$$L_0 = 3$$，面积为$$S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$。每次操作将每条边三等分，中间部分向外作等边三角形，因此每条边变为4条边，长度为原来的$$\frac{1}{3}$$，故$$L_{k+1} = \frac{4}{3} L_k$$，$$S_{k+1} = S_k + \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{1}{3^{k+1}}\right)^2 \cdot 3 \cdot 4^k$$。由此可得：

$$L_n = 3 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n$$，$$S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^k\right)$$。

计算$$\frac{S_n}{L_n}$$：

$$\frac{S_n}{L_n} = \frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \frac{1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (4/9)^n}{1 - 4/9}}{(4/3)^n}$$，显然不是等差或等比数列，排除A、B。

由于$$L_n$$随$$n$$增长而趋于无穷，不存在$$M$$使$$L_n < M$$，排除C。

$$S_n$$收敛于$$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{8}{5}$$，存在$$M$$使$$S_n < M$$，故选D。

2. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2^n}$$，初始条件$$a_1 = \frac{1}{2}$$。

展开得：

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} + \left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{n-1}}$$。

代入$$n = 2023$$：

$$a_{2023} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2^{2022}}$$，故选D。

3. 解析：

递推关系为$$\left(1 + \frac{1}{n}\right) a_{n-1} - a_n = 1$$，整理得：

$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) a_{n-1} - 1$$。

解递推关系得：

$$a_n = n \left(a_1 - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\right)$$。

由$$a_n \geq a_4$$，代入$$n = 4$$得：

$$a_1 \geq \frac{49}{8}$$，且$$a_1 \leq \frac{81}{8}$$，故选B。

4. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = a_n + 2^n$$，初始条件$$a_1 = 1$$。

展开得：

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2^n - 1$$。

前$$n$$项和$$S_n = \sum_{k=1}^n (2^k - 1) = 2^{n+1} - n - 2$$，故选B。

5. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} - a_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$，初始条件$$a_1 = 1$$。

展开得：

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right)^k = 1 + \frac{-\frac{1}{2} \left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$。

由题意存在$$n$$使$$(a_n - \lambda)(a_{n+1} - \lambda) < 0$$，即$$\lambda$$在$$a_n$$和$$a_{n+1}$$之间。

分析极限$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$$，且$$a_1 = 1$$，$$a_2 = \frac{1}{2}$$，$$a_3 = \frac{5}{6}$$，故$$\lambda \in \left(\frac{2}{3}, 1\right)$$，故选B。

6. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = a_n + \log_2 \frac{n+1}{n}$$，初始条件$$a_1 = 2$$。

展开得：

$$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \log_2 \frac{k+1}{k} = 2 + \log_2 n$$。

代入$$n = 8$$：

$$a_8 = 2 + \log_2 8 = 5$$，故选C。

7. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} - a_n = 2n$$，初始条件$$a_1 = 25$$。

展开得：

$$a_n = 25 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 25 + n(n-1)$$。

$$\frac{a_n}{n} = \frac{25}{n} + n - 1$$，求导或枚举得最小值在$$n = 5$$时为7，故选B。

8. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} = a_n + \frac{n}{2}$$，初始条件$$a_1 = 2$$。

展开得：

$$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2} = 2 + \frac{(n-1)n}{4}$$。

代入$$n = 16$$：

$$a_{16} = 2 + \frac{15 \times 16}{4} = 62$$，故选B。

9. 解析：

递推关系为$$a_{n+1} - a_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)$$，初始条件$$a_1 = 1$$。

展开得：

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) = 1 + \ln n$$。

代入$$n = 2019$$：

$$a_{2019} = 1 + \ln 2019$$，故选C。

10. 解析：

递推关系为$$a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2^n$$，初始条件$$a_1 = \sqrt{2}$$。

展开得：

$$a_n^2 = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2^n$$，故$$a_n = 2^{n/2}$$。

前$$n$$项的积$$T_n = \prod_{k=1}^n 2^{k/2} = 2^{\frac{n(n+1)}{4}}$$。

解不等式$$2^{\frac{n(n+1)}{4}} > 2^{18}$$，即$$\frac{n(n+1)}{4} > 18$$，得$$n \geq 10$$，故选C。

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