格物学 第四章 数列4.4 ⋆数学归纳法

等差模型-4.4 ⋆数学归纳法知识点回顾进阶选择题自测题解析-陕西省等高二数学选择必修,平均正确率52.0%

2025-07-17
等差模型-4.4 ⋆数学归纳法知识点回顾进阶选择题自测题解析-陕西省等高二数学选择必修,平均正确率52.0%
1、['等差模型', '等差数列的基本量']

正确率40.0%我国某著作中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织迄……”其大意为:有一女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织$${{5}}$$尺,最后一天织一尺,三十天织完……则该女子第$${{1}{1}}$$天织布(

B

A.$$\frac{1 1} {3}$$尺

B.$$\frac{1 0 5} {2 9}$$尺

C.$$\frac{6 5} {2 9}$$尺

D.$$\frac{7} {3}$$尺

2、['累加法求数列通项', '等差模型']

正确率40.0%南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中,研究了二阶等差数列.若$$\{a_{n+1}-a_{n} \}$$是公差不为零的等差数列,则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为二阶等差数列.现有一个$${{“}}$$三角垛$${{”}}$$,共有$${{4}{0}}$$层,各层小球个数构成一个二阶等差数列,第一层放$${{1}}$$个小球,第二层放$${{3}}$$个小球,第三层放$${{6}}$$个小球,第四层放$${{1}{0}}$$个小球,$${{⋯}}$$,则第$${{4}{0}}$$层放小球的个数为(

C

A.$${{1}{6}{4}{0}}$$

B.$${{1}{5}{6}{0}}$$

C.$${{8}{2}{0}}$$

D.$${{7}{8}{0}}$$

3、['等差模型', '等差数列的基本量', '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%据有关文献记载,我国古代一座九层塔共挂了$${{1}{2}{6}}$$盏灯,且相邻两层中的下一层灯的盏数比上一层灯的盏数都多$${{n}{(}{n}}$$为常数$${{)}}$$,底层灯的盏数是顶层的$${{1}{3}}$$倍,则该塔的底层共有灯(

C

A.$${{3}{9}}$$盏

B.$${{4}{2}}$$盏

C.$${{2}{6}}$$盏

D.$${{1}{3}}$$盏

4、['等差模型', '数列中的数学文化问题', '等差数列的基本量', '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著,书中有下面的表述:某王为夺得敌人的大象,第一天行军$${{2}}$$由旬(由旬为古印度长度单位),以后每天均比前一天多行相同的路程,七天一共行军$${{8}{0}}$$由旬到达地方城市.则最后三天共行(

D

A.$${{2}{7}}$$由旬

B.$${{5}{3}}$$由旬

C.$$\frac{1 8 8} {7}$$由旬

D.$$\frac{3 7 2} {7}$$由旬

5、['等差模型']

正确率40.0%svg异常

B

A.$$\frac{1 2} {3 5}$$

B.$$\frac{1 2} {3 7}$$

C.$$\frac{1} {6}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

6、['等差数列的通项公式', '等差模型']

正确率60.0%我国古代数学名著$${《}$$孙子算经$${》}$$中有如下故事:$${{“}}$$今有有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归,$${{”}}$$意思是:$${{“}}$$一家出嫁的三个女中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家.聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开,$${{”}}$$假如回娘家当天均回夫家,若当地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是(

D

A.小女儿回家$${{6}{8}}$$天

B.二女儿回家$${{5}{2}}$$天

C.大女儿回家$${{3}{8}}$$天

D.有女儿在娘家的天数为$${{1}{2}{0}}$$天

7、['等差模型', '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%svg异常

A

A.$${{1}{2}{3}{5}}$$

B.$${{1}{8}{0}{0}}$$

C.$${{2}{6}{0}{0}}$$

D.$${{3}{0}{0}{0}}$$

8、['等差模型', '等差、等比数列的综合应用', '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%某大学毕业生为自主创业于$${{2}{0}{1}{9}}$$年$${{8}}$$月初向银行贷款$${{2}{4}{0}{{0}{0}{0}}}$$元,与银行约定按$${{“}}$$等额本金还款法$${{”}}$$分$${{1}{0}}$$年进行还款,从$${{2}{0}{1}{9}}$$年$${{9}}$$月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为$${{0}{.}{5}{%}}$$,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于$${{2}{0}{2}{4}}$$年$${{8}}$$月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少()元(注:$${{“}}$$等额本金还款法$${{”}}$$是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率;年按$${{1}{2}}$$个月计算)​

B

A.$${{1}{8}{{0}{0}{0}}}$$

B.$${{1}{8}{{3}{0}{0}}}$$

C.$${{2}{8}{{3}{0}{0}}}$$

D.$${{3}{6}{{3}{0}{0}}}$$

9、['等差模型', '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%在超市中购买一个卷筒纸,其内圆直径为$${{4}{c}{m}}$$,外圆直径为$${{1}{2}{c}{m}}$$,一共卷$${{6}{0}}$$层,若把各层都视为一个同心圆,令$${{π}{=}{{3}{.}{1}{4}}{,}}$$则这个卷筒纸的长度(精确到个位)为(

C

A.$${{1}{7}{m}}$$

B.$${{1}{6}{m}}$$

C.$${{1}{5}{m}}$$

D.$${{1}{4}{m}}$$

10、['等差模型', '等差数列的前n项和的应用']

正确率80.0%《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问五人各得几何?”其意思为“有$${{5}}$$个人分$${{6}{0}}$$个橘子,他们分得的橘子数成公差为$${{3}}$$的等差数列,问$${{5}}$$人各得多少子,”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是$${{(}{)}}$$

C

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{7}}$$

1. 解析:该问题描述的是一个等差数列,首项 $$a_1 = 5$$ 尺,末项 $$a_{30} = 1$$ 尺,项数 $$n = 30$$。由等差数列求和公式 $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$,可求出总织布量。进一步利用通项公式 $$a_n = a_1 + (n-1)d$$,代入 $$a_{30} = 1$$ 求出公差 $$d = -\frac{4}{29}$$。第11天的织布量为 $$a_{11} = a_1 + 10d = 5 + 10 \times \left(-\frac{4}{29}\right) = \frac{105}{29}$$ 尺,故选 B。

2. 解析:二阶等差数列的差分为一阶等差数列。已知 $$a_1 = 1$$,$$a_2 = 3$$,$$a_3 = 6$$,$$a_4 = 10$$,差分 $$b_n = a_{n+1} - a_n$$ 为 $$2, 3, 4, \dots$$,公差为1。二阶差分 $$c_n = b_{n+1} - b_n = 1$$。通过递推或求和公式,可得通项 $$a_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。第40层的小球数为 $$a_{40} = \frac{40 \times 41}{2} = 820$$,故选 C。

3. 解析:塔的灯数成等差数列,顶层为 $$a_1$$,底层为 $$a_9 = a_1 + 8n$$,且 $$a_9 = 13a_1$$。由总和 $$S_9 = \frac{9(a_1 + a_9)}{2} = 126$$,代入 $$a_9 = 13a_1$$,解得 $$a_1 = 2$$,$$n = 3$$。底层灯数为 $$a_9 = 13 \times 2 = 26$$ 盏,故选 C。

4. 解析:行军路程成等差数列,首项 $$a_1 = 2$$,7天总和 $$S_7 = \frac{7(2 + a_7)}{2} = 80$$,解得 $$a_7 = \frac{146}{7}$$。公差 $$d = \frac{a_7 - a_1}{6} = \frac{22}{7}$$。最后三天路程为 $$a_5 + a_6 + a_7 = 3a_1 + (4+5+6)d = 6 + 15 \times \frac{22}{7} = \frac{372}{7}$$ 由旬,故选 D。

5. 解析:题目不完整,无法解析。

6. 解析:大女儿每5天回一次,二女儿每4天回一次,小女儿每3天回一次。200天内,大女儿回家 $$\left\lfloor \frac{200}{5} \right\rfloor = 40$$ 天,二女儿回家 $$\left\lfloor \frac{200}{4} \right\rfloor = 50$$ 天,小女儿回家 $$\left\lfloor \frac{200}{3} \right\rfloor = 66$$ 天。有女儿在娘家的天数为 $$200 - \left\lfloor \frac{200}{\text{lcm}(3,4,5)} \right\rfloor = 200 - 10 = 190$$ 天。题目选项有误,无正确答案。

7. 解析:题目不完整,无法解析。

8. 解析:贷款24万元,分10年(120个月)还清,每月还本金 $$2000$$ 元。前60个月(5年)已还本金 $$12$$ 万元,剩余本金 $$12$$ 万元。原计划总利息为 $$\sum_{k=1}^{120} (240000 - 2000(k-1)) \times 0.5\% = 73200$$ 元。提前还款后,实际利息为 $$\sum_{k=1}^{60} (240000 - 2000(k-1)) \times 0.5\% = 36600$$ 元。节省利息 $$73200 - 36600 = 36600$$ 元,但选项最接近的是 D(36300 元)。

9. 解析:卷筒纸各层周长成等差数列,内半径 $$r = 2$$ cm,外半径 $$R = 6$$ cm,层数 $$n = 60$$。每层半径差 $$d = \frac{6-2}{60} = \frac{1}{15}$$ cm。总长度 $$L = \sum_{k=0}^{59} 2\pi (2 + kd) \approx 2\pi \times 60 \times \left(2 + \frac{59}{30}\right) \approx 1507$$ cm ≈ 15 m,故选 C。

10. 解析:5人分橘子成等差数列,总和 $$S_5 = \frac{5(2a_1 + 4 \times 3)}{2} = 60$$,解得 $$a_1 = 6$$。最少的人得 $$a_1 = 6$$ 个,故选 C。

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