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正确率40.0%南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若$$\{a_{n+1}-a_{n} \}$$是公差不为零的等差数列，则称数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$为二阶等差数列．现有一个$${{“}}$$三角垛$${{”}}$$，共有$${{4}{0}}$$层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放$${{1}}$$个小球，第二层放$${{3}}$$个小球，第三层放$${{6}}$$个小球，第四层放$${{1}{0}}$$个小球，$${{⋯}}$$，则第$${{4}{0}}$$层放小球的个数为（）
C
A.$${{1}{6}{4}{0}}$$
B.$${{1}{5}{6}{0}}$$
C.$${{8}{2}{0}}$$
D.$${{7}{8}{0}}$$
2、['等差模型']正确率60.0%某文具店开业期间，用$${{1}{0}{0}}$$根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层的铅笔有$${{1}{6}}$$根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多$${{1}{，}}$$则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
3、['等差模型'， '数列中的数学文化问题']正确率60.0%我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干?”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米?”则甲应该分得的白米为（）
B
A.$${{9}{6}}$$石
B.$${{7}{8}}$$石
C.$${{6}{0}}$$石
D.$${{4}{2}}$$石
6、['等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%$${《}$$张丘建算经$${》}$$卷上一题为$${{“}}$$今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按$${{3}{0}}$$天计）共织布$${{3}{9}{0}}$$尺，最后一天织布$${{2}{1}}$$尺$${{”}}$$，则该女第一天共织多少布？$${（}$$）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
7、['等差数列的通项公式'， '等差模型'， '数列中的数学文化问题'， '等差数列的基本量'， '等差数列的前n项和的应用']正确率60.0%中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于$${{6}{0}}$$岁时完成杰作$${《}$$直指算法统宗$${》}$$，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：$${{“}}$$今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？$${{”}}$$翻译成现代文就是：$${{“}}$$今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？$${{”}}$$请你计算甲应该分得
A
A.$${{7}{8}}$$石
B.$${{7}{6}}$$石
C.$${{7}{5}}$$石
D.$${{7}{4}}$$石
8、['等差数列的通项公式'， '数列的递推公式'， '等差模型'， '二次函数的图象分析与判断']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的首项$${{a}_{1}{=}{{2}{1}}}$$，且满足$$( 2 n-5 ) a_{n+1}=( 2 n-3 ) a_{n}+4 n^{2}-1 6 n+1 5$$，则$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的最小的一项是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{a}_{5}}$$
B.$${{a}_{6}}$$
C.$${{a}_{7}}$$
D.$${{a}_{8}}$$
9、['等差数列的通项公式'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率80.0%《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的．“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{8}}$$岁
B.$${{1}{1}}$$岁
C.$${{2}{0}}$$岁
D.$${{3}{5}}$$岁
10、['等差数列的通项公式'， '公式法求和'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']正确率40.0%《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈$${{(}{1}}$$匹$${{=}{{4}{0}}}$$尺，一丈$${{=}{{1}{0}}}$$尺$${{)}}$$，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织$${{5}}$$尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按$${{3}{1}}$$天算，记该女子一个月中的第$${{n}}$$天所织布的尺数为$${{a}_{n}}$$，则$$\frac{a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2 9}+a_{3 1}} {a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 8}+a_{3 0}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{1 6} {5}$$
B.$$\frac{1 6} {1 5}$$
C.$$\frac{1 6} {2 9}$$
D.$$\frac{1 6} {3 1}$$
1. 二阶等差数列问题解析：
给定数列 $$\{a_n\}$$ 为二阶等差数列，即 $$\{a_{n+1} - a_n\}$$ 是等差数列。已知前几项：
$$a_1 = 1, \quad a_2 = 3, \quad a_3 = 6, \quad a_4 = 10, \quad \cdots$$
计算一阶差分：
$$a_2 - a_1 = 2, \quad a_3 - a_2 = 3, \quad a_4 - a_3 = 4, \quad \cdots$$
可见一阶差分 $$\{b_n\}$$ 为 $$b_n = n + 1$$，公差为 1。
二阶差分 $$\{b_{n+1} - b_n\} = 1$$ 为常数，验证其为二阶等差数列。
通项公式推导：
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 1) = 1 + \frac{(n-1)(n + 2)}{2} = \frac{n(n + 1)}{2}$$
因此，第 40 层小球数为：
$$a_{40} = \frac{40 \times 41}{2} = 820$$
正确答案为 C。
2. 等差数列求和问题解析：
铅笔堆成等腰梯形，从下到上每层减少 1 根，最下层 16 根，共 100 根。
设最上层有 $$x$$ 根，层数为 $$n$$，则：
$$x + (x + 1) + \cdots + 16 = 100$$
等差数列求和公式：
$$\frac{n(x + 16)}{2} = 100 \quad \text{且} \quad 16 - x + 1 = n$$
解得 $$n = 9$$，$$x = 8$$。
正确答案为 A。
3. 等差数列分配问题解析：
甲、乙、丙分得的米数构成等差数列，设甲为 $$a + d$$，乙为 $$a$$，丙为 $$a - d$$。
已知甲比丙多 36 石：
$$(a + d) - (a - d) = 2d = 36 \Rightarrow d = 18$$
总和为 180 石：
$$(a + d) + a + (a - d) = 3a = 180 \Rightarrow a = 60$$
因此，甲分得 $$a + d = 78$$ 石。
正确答案为 A。
6. 等差数列织布问题解析：
每天织布量构成等差数列，首项 $$a_1$$，公差 $$d$$，第 30 天织 21 尺，总和 390 尺。
第 30 项：
$$a_{30} = a_1 + 29d = 21$$
总和：
$$\frac{30(a_1 + a_{30})}{2} = 15(a_1 + 21) = 390 \Rightarrow a_1 + 21 = 26 \Rightarrow a_1 = 5$$
正确答案为 C。
7. 等差数列分配问题（重复题）：
同第 3 题，甲分得 78 石。
正确答案为 A。
8. 递推数列最小值问题解析：
给定递推关系：
$$(2n - 5)a_{n+1} = (2n - 3)a_n + 4n^2 - 16n + 15$$
整理为：
$$a_{n+1} = \frac{2n - 3}{2n - 5}a_n + \frac{4n^2 - 16n + 15}{2n - 5}$$
通过递推计算前几项：
$$a_1 = 21, \quad a_2 = 17, \quad a_3 = 13, \quad a_4 = 11, \quad a_5 = 11, \quad a_6 = \frac{53}{5}, \quad a_7 = \frac{67}{7}, \quad a_8 = \frac{85}{9}$$
比较得最小值为 $$a_5 = 11$$。
正确答案为 A。
9. 等差数列年龄问题解析：
九个儿子年龄成等差数列，公差为 3，总和为 207。
设最小儿子年龄为 $$a_1$$，则：
$$\frac{9}{2}(2a_1 + 8 \times 3) = 207 \Rightarrow 2a_1 + 24 = 46 \Rightarrow a_1 = 11$$
正确答案为 B。
10. 奇数项与偶数项比值问题解析：
织布量成等差数列，首项 $$a_1 = 5$$，公差 $$d$$，总和为 9 匹 3 丈 = 390 尺。
总和公式：
$$\frac{31}{2}(2 \times 5 + 30d) = 390 \Rightarrow 10 + 30d = \frac{780}{31} \Rightarrow d = \frac{16}{31}$$
奇数项和与偶数项和的比：
$$\frac{a_1 + a_3 + \cdots + a_{31}}{a_2 + a_4 + \cdots + a_{30}} = \frac{16 \times (a_1 + 15d)}{15 \times (a_1 + d + 15d)} = \frac{16}{15}$$
正确答案为 B。