.jpg)
正确率40.0%设等差数列｛$${{a}_{n}}$$｝的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{，}}$$公差$$d > 0， ~ a_{6}$$和$${{a}_{8}}$$是函数$$f ( x )=\frac{1 5} {4} \mathrm{l n} x+\frac{1} {2} x^{2}-8 x$$的极值点，则$${{S}_{8}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{{3}{8}}}$$
B.$${{3}{8}}$$
C.$${{−}{{1}{7}}}$$
D.$${{1}{7}}$$
2、['三角恒等变换综合应用'， '数列的递推公式'， '等差数列的定义与证明'， '等差数列的性质'， '等差数列的前n项和的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，满足$$S_{n}=a n^{2}+b n ( a， b )$$为常数$${{)}}$$，且$$a_{9}={\frac{\pi} {2}}$$.设函数$$f ( x )=2+\operatorname{s i n} \， 2 x-2 \mathrm{s i n}^{2} \， \frac{x} {2}$$，记$$y_{n}=f ( a_{n} )$$，则数列$${{\{}{{y}_{n}}{\}}}$$的前$${{1}{7}}$$项和为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}{7}}$$
B.$${{9}{π}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$$\frac{1 7} {2} \pi$$
3、['等比数列的通项公式'， '等比数列前n项和的性质'， '等比数列的基本量'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$是递增的等比数列，且$$a_{1}+a_{4}=9， \， \， a_{2} a_{3}=8$$，则数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为（）
A
A.$${{2}^{n}{−}{1}}$$
B.$$\mathbf{1 6 [ 1-~ ( \frac{1} {2} ) ~^{n} ]}$$
C.$$2^{n-1}-1$$
D.$$\mathbf{1 6 [ 1-\tau( \frac{1} {2} )^{\tau^{n-1} ]}}$$
4、['函数的对称性'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right)=3 \left( \begin{matrix} {x-5} \\ \end{matrix} \right)^{3}+2 x-8， \left\{a_{n} \right\}$$是公差不为$${{0}}$$的等差数列，$$f \left( \begin{matrix} {a_{1}} \\ \end{matrix} \right) ~+f \left( \begin{matrix} {a_{2}} \\ \end{matrix} \right) ~+\ldots+f \left( \begin{matrix} {a_{2 0 1 7}} \\ \end{matrix} \right) ~=4 0 3 4$$，则$$f \ ( \ a_{1 0 0 9} )$$的值为（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{5}}$$
5、['数列的函数特征'， '函数单调性的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率60.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的通项公式是$$a_{n}=-n^{2}+b n+c$$，若$$a_{n+1} < a_{n}$$对$${{n}{∈}{{N}_{+}}}$$恒成立，则实数$${{b}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{b}{>}{0}}$$
B.$${{b}{⩾}{−}{1}}$$
C.$${{b}{⩽}{3}}$$
D.$${{b}{<}{3}}$$
6、['等比数列的性质'， '等差、等比数列的综合应用'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%$${《}$$九章算术$${》}$$第三章$${{“}}$$衰分$${{”}}$$介绍比例分配问题：$${{“}}$$衰分$${{”}}$$是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为$${{“}}$$衰分比$${{”}}$$.如：甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁衰分得$$1 0 0， ~ 7 0， ~ 4 9，$$个单位，递减的比例为$${{3}{0}{%}{.}}$$今共有粮$$m ( m > 0 )$$石，按甲$${、}$$乙$${、}$$丙$${、}$$丁的顺序进行$${{“}}$$衰分$${{”}}$$，已知乙衰分得$${{9}{0}}$$石，甲$${、}$$丙衰分所得的和为$${{1}{8}{1}}$$石，则$${{“}}$$衰分比$${{”}}$$与丁衰分所得分别为$${{(}{)}}$$
A
A.$$1 0 7_{0}， ~ 7 2. 9$$石
B.$$4 0 7_{0}， ~ 3 2. 4$$石
C.$$6 0 7_{0}， ~ 3 2. 4$$石
D.$$9 0 7_{0}， ~ 7 2. 9$$石
7、['等差数列的前n项和的应用'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，其中$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，则下列命题错误的是（）
D
A.若$${{a}_{n}{>}{0}}$$，则$${{S}_{n}{>}{0}}$$
B.若$${{S}_{n}{>}{0}}$$，则$${{a}_{n}{>}{0}}$$
C.若$${{a}_{n}{>}{0}}$$，则$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$是单调递增数列
D.若$${{\{}{{S}_{n}}{\}}}$$是单调递增数列，则$${{a}_{n}{>}{0}}$$
8、['数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%已知甲$${、}$$乙两个容器，甲容器容量为$${{x}}$$，装满纯酒精，乙容器容量为$${{z}}$$，其中装有体积为$${{y}}$$的水$$( x， y < z$$，单位：$${{L}{)}}$$.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计．设经过$$n ( n \in N^{*} )$$次操作之后，乙容器中含有纯酒精$${{a}_{n}{(}}$$单位：$${{L}{)}}$$，下列关于数，列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.当$$x=y=a$$时，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$有最大值$$\frac{a} {2}$$
B.设$$b_{n}=a_{n+1}-a_{n} ( n \in N^{*} )$$，则数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$为递减数列
C.对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，始终有$$a_{n} \leq\frac{x y} {z}$$
D.对任意的$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$，都有$$a_{n} \leqslant\frac{x y} {x+y}$$
9、['抽象函数的应用'， '等比数列的定义与证明'， '函数单调性的判断'， '数列与函数的综合问题']正确率19.999999999999996%已知函数$${{y}{=}{f}{{(}{x}{)}}}$$的定义域为$$( 0，+\infty)$$，当$${{x}{>}{1}}$$时，$${{f}{{(}{x}{)}}{>}{0}}$$，对任意的
成立，若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=f \left( 1 \right)$$，且$$f \left( a_{n+1} \right)=f \left( 2 a_{n}+1 \right) \left( n \in N^{*} \right)$$，则$$a^{2 0 1 7}$$的值为$${{(}{)}}$$
C
A.$$a^{2 0 1 4}-1$$
B.$$a^{2 0 1 5}-1$$
C.$$a^{2 0 1 6}-1$$
D.$$a^{2 0 1 7}-1$$
10、['累加法求数列通项'， '导数与极值'， '裂项相消法求和'， '数列与函数的综合问题']正确率40.0%设$${{x}{=}{1}}$$是函数$$f ( x ) \!=\! a_{n+1} x^{3} \!-\! a_{n} x^{2} \!-\! a_{n+2} x \!+\! 1 ( n \backslash{\mathrm{i n}} \， N_{+} )$$的极值点，数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1} \!=\! 1， \， \， \， a_{2} \!=\! 2， \， \， \， b_{n} \!=\! \operatorname{l o g}_{2} a_{n+1}$$，若$${{[}{x}{]}}$$表示不超过$${{x}}$$的最大整数，则$$[ \frac{1} {b_{1} b_{2}}+\frac{1} {b_{2} b_{3}}+\dots+\frac{1} {b_{2 0 1 8} b_{2 0 1 9}} ]=0$$）
A
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}{0}{1}{8}}$$
D.$${{2}{0}{1}{9}}$$
1. 首先求函数 $$f(x) = \frac{15}{4} \ln x + \frac{1}{2} x^2 - 8x$$ 的极值点，对其求导得：
$$f'(x) = \frac{15}{4x} + x - 8$$
令导数为零，解得极值点满足 $$x^2 - 8x + \frac{15}{4} = 0$$，即 $$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 15}}{2} = \frac{8 \pm 7}{2}$$，所以极值点为 $$x = \frac{15}{2}$$ 和 $$x = \frac{1}{2}$$。
由于 $$a_6$$ 和 $$a_8$$ 是极值点，且数列为等差数列，设首项为 $$a_1$$，公差为 $$d$$，则：
$$a_6 = a_1 + 5d = \frac{1}{2}$$
$$a_8 = a_1 + 7d = \frac{15}{2}$$
解得 $$d = \frac{15}{2} - \frac{1}{2} = 7$$，$$a_1 = \frac{1}{2} - 5 \times 7 = -34.5$$。
前 8 项和 $$S_8 = 8a_1 + 28d = 8 \times (-34.5) + 28 \times 7 = -276 + 196 = -80$$。但选项无此答案，重新检查计算：
极值点应为 $$x = 7.5$$ 和 $$x = 0.5$$，但 $$x = 0.5$$ 不在定义域内（$$\ln x$$ 定义域为 $$x > 0$$），故极值点只有 $$x = 7.5$$，题目描述可能有误，假设 $$a_6$$ 和 $$a_8$$ 对应极值点 $$x = 7.5$$ 和 $$x = 0.5$$，重新计算：
$$a_6 = a_1 + 5d = 0.5$$
$$a_8 = a_1 + 7d = 7.5$$
解得 $$d = 3.5$$，$$a_1 = -17$$。
$$S_8 = 8a_1 + 28d = -136 + 98 = -38$$，对应选项 A。
2. 数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$S_n = a n^2 + b n$$，通项公式为 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2a n + b - a$$。
由 $$a_9 = 18a + b - a = \frac{\pi}{2}$$，得 $$17a + b = \frac{\pi}{2}$$。
函数 $$f(x) = 2 + \sin 2x - 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 + \sin 2x - (1 - \cos x) = 1 + \sin 2x + \cos x$$。
由于 $$a_n$$ 是等差数列，设 $$a_n = kn + c$$，则 $$y_n = f(a_n) = 1 + \sin (2kn + 2c) + \cos (kn + c)$$。
前 17 项和为 $$\sum_{n=1}^{17} y_n = 17 + \sum_{n=1}^{17} \sin (2kn + 2c) + \sum_{n=1}^{17} \cos (kn + c)$$。
由于正弦和余弦函数的周期性，若 $$k$$ 为 $$2\pi$$ 的有理数倍，则和为零。因此总和为 17，对应选项 A。
3. 等比数列 $$\{a_n\}$$ 满足 $$a_1 + a_4 = 9$$ 和 $$a_2 a_3 = 8$$。
设公比为 $$r$$，则 $$a_4 = a_1 r^3$$，$$a_2 = a_1 r$$，$$a_3 = a_1 r^2$$。
由 $$a_2 a_3 = a_1^2 r^3 = 8$$ 和 $$a_1 + a_1 r^3 = 9$$，解得 $$a_1 = 1$$，$$r = 2$$。
前 $$n$$ 项和 $$S_n = \frac{1 \times (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$$，对应选项 A。
4. 函数 $$f(x) = 3(x-5)^3 + 2x - 8$$ 关于 $$x = 5$$ 对称，且 $$f(5 + t) + f(5 - t) = 4$$。
等差数列 $$\{a_n\}$$ 的公差为 $$d$$，则 $$a_{1009}$$ 为中项，$$f(a_{1009}) = 2$$（因为对称性求和为 4034，共 2017 项，中项为 2）。
对应选项 C。
5. 数列 $$\{a_n\}$$ 通项为 $$a_n = -n^2 + b n + c$$，要求 $$a_{n+1} < a_n$$ 对所有 $$n \in \mathbb{N}_+$$ 成立。
即 $$-(n+1)^2 + b(n+1) + c < -n^2 + b n + c$$，化简得 $$-2n - 1 + b < 0$$，即 $$b < 2n + 1$$。
对所有 $$n \in \mathbb{N}_+$$ 成立的最小 $$b$$ 为 $$b < 3$$（当 $$n = 1$$ 时），对应选项 D。
6. 衰分比为 $$r$$，甲、乙、丙、丁分别为 $$m$$，$$m(1-r)$$，$$m(1-r)^2$$，$$m(1-r)^3$$。
由题意，$$m(1-r) = 90$$，$$m + m(1-r)^2 = 181$$。
设 $$1 - r = k$$，则 $$m k = 90$$，$$m + m k^2 = 181$$，代入得 $$m + \frac{90^2}{m} = 181$$，解得 $$m = 100$$，$$k = 0.9$$，即 $$r = 0.1$$（10%）。
丁衰分得 $$100 \times 0.9^3 = 72.9$$ 石，对应选项 A。
7. 选项 B 错误，因为 $$S_n > 0$$ 不一定推出 $$a_n > 0$$（例如数列 $$a_n = 3 - n$$，$$S_3 = 3 > 0$$ 但 $$a_3 = 0$$）。
其他选项均正确，对应选项 B。
8. 选项 D 正确，因为每次操作后乙容器中的酒精量不超过 $$\frac{xy}{x+y}$$（极限值）。
其他选项不一定成立，对应选项 D。
9. 函数 $$f$$ 满足 $$f(xy) = f(x) + f(y)$$，是指数函数 $$f(x) = \log_a x$$。
由 $$f(a_{n+1}) = f(2a_n + 1)$$，得 $$a_{n+1} = 2a_n + 1$$，递推得 $$a_n = 2^n - 1$$。
$$a^{2017} = 2^{2017} - 1$$，对应选项 D。
10. 函数 $$f(x) = a_{n+1} x^3 - a_n x^2 - a_{n+2} x + 1$$ 在 $$x = 1$$ 处极值，故 $$f'(1) = 3a_{n+1} - 2a_n - a_{n+2} = 0$$，即 $$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$$。
递推数列的特征方程为 $$r^2 - 3r + 2 = 0$$，解得 $$r = 1$$ 或 $$r = 2$$，通项为 $$a_n = A \cdot 1^n + B \cdot 2^n$$。
由初始条件 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，解得 $$A = 0$$，$$B = \frac{1}{2}$$，故 $$a_n = 2^{n-1}$$。
$$b_n = \log_2 a_{n+1} = n$$，求和 $$\sum_{k=1}^{2018} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{2019}$$，取整为 0，对应选项 A。