等差模型-4.4 ⋆数学归纳法知识点课后基础选择题自测题解析-海南省等高二数学选择必修,平均正确率74.0%

1、['等差模型'， '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干?”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米?”则甲应该分得的白米为（）

A.$${{9}{6}}$$石

B.$${{7}{8}}$$石

C.$${{6}{0}}$$石

D.$${{4}{2}}$$石

2、['等差模型'， '等差数列的基本量'， '数列中的数学文化问题']

正确率60.0%据有关文献记载，我国古代一座九层塔共挂了$${{1}{2}{6}}$$盏灯，且相邻两层中的下一层灯的盏数比上一层灯的盏数都多$${{n}{(}{n}}$$为常数$${{)}}$$，底层灯的盏数是顶层的$${{1}{3}}$$倍，则该塔的底层共有灯（）

A.$${{3}{9}}$$盏

B.$${{4}{2}}$$盏

C.$${{2}{6}}$$盏

D.$${{1}{3}}$$盏

6、['等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率60.0%为了参加冬季运动会的$${{5}{{0}{0}{0}}{m}}$$长跑比赛，某同学给自己制订了$${{7}}$$天的训练计划：第$${{1}}$$天跑$${{5}{{0}{0}{0}}{m}{，}}$$以后每天比前$${{1}}$$天多跑$${{2}{0}{0}{m}}$$.则这个同学$${{7}}$$天一共将跑（）

A.$${{3}{9}{{2}{0}{0}}{m}}$$

B.$${{3}{9}{{3}{0}{0}}{m}}$$

C.$${{3}{9}{{4}{0}{0}}{m}}$$

D.$${{3}{9}{{5}{0}{0}}{m}}$$

7、['等差数列的通项公式'， '等差模型']

正确率60.0%我国古代数学名著$${《}$$孙子算经$${》}$$中有如下故事：$${{“}}$$今有有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，$${{”}}$$意思是：$${{“}}$$一家出嫁的三个女中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．聚齐后，三个女儿从娘家同一天离开，$${{”}}$$假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的两百天内，下列说法正确的是（）

A.小女儿回家$${{6}{8}}$$天

B.二女儿回家$${{5}{2}}$$天

C.大女儿回家$${{3}{8}}$$天

D.有女儿在娘家的天数为$${{1}{2}{0}}$$天

8、['等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率80.0%一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶$${{1}}$$座，第二阶$${{3}}$$座，第三阶$${{3}}$$座，第四阶$${{5}}$$座，第五阶$${{5}}$$座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为$${{5}}$$，公差为$${{2}}$$的等差数列，总计$${{1}{0}{8}}$$座，故名一百零八塔．则该塔的阶数是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{1}{1}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{3}}$$

9、['等差数列的通项公式'， '一次函数模型的应用'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率80.0%甲、乙两物体分别从相距$${{7}{0}{m}}$$的两处同时相向运动，甲第一分钟走$${{2}{m}}$$，以后每分钟比前$${{1}}$$分钟多走$${{1}{m}}$$，乙每分钟走$${{5}{m}{.}}$$甲、乙开始运动，第一次相遇后继续前行；如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前$${{1}}$$分钟多走$${{1}{m}}$$，乙继续每分钟走$${{5}{m}}$$，那么开始运动几分钟后第二次相遇?$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{2}{0}}$$

D.$${{1}{5}}$$

10、['等差数列的通项公式'， '公式法求和'， '等差模型'， '等差数列的前n项和的应用']

正确率40.0%《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈$${{(}{1}}$$匹$${{=}{{4}{0}}}$$尺，一丈$${{=}{{1}{0}}}$$尺$${{)}}$$，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织$${{5}}$$尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按$${{3}{1}}$$天算，记该女子一个月中的第$${{n}}$$天所织布的尺数为$${{a}_{n}}$$，则$$\frac{a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{2 9}+a_{3 1}} {a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 8}+a_{3 0}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1 6} {5}$$

B.$$\frac{1 6} {1 5}$$

C.$$\frac{1 6} {2 9}$$

D.$$\frac{1 6} {3 1}$$

1. 设甲、乙、丙分得的白米数分别为 $$a_1$$, $$a_2$$, $$a_3$$，构成等差数列。由题意知 $$a_1 - a_3 = 36$$，且 $$a_1 + a_2 + a_3 = 180$$。设公差为 $$d$$，则 $$a_2 = a_1 - d$$，$$a_3 = a_1 - 2d$$。代入得：

$$a_1 - (a_1 - 2d) = 36 \Rightarrow 2d = 36 \Rightarrow d = 18$$

$$a_1 + (a_1 - 18) + (a_1 - 36) = 180 \Rightarrow 3a_1 - 54 = 180 \Rightarrow a_1 = 78$$

因此，甲分得 $$78$$ 石，选 B。

2. 设顶层灯数为 $$a_1$$，底层灯数为 $$a_9$$，公差为 $$n$$。由题意知 $$a_9 = 13a_1$$，且总灯数为 $$126$$。根据等差数列求和公式：

$$S_9 = \frac{9}{2}(a_1 + a_9) = 126 \Rightarrow \frac{9}{2}(a_1 + 13a_1) = 126 \Rightarrow 63a_1 = 126 \Rightarrow a_1 = 2$$

$$a_9 = 13 \times 2 = 26$$

因此，底层共有 $$26$$ 盏灯，选 C。

6. 训练计划中每天跑的距离构成等差数列，首项 $$a_1 = 5000$$，公差 $$d = 200$$。7 天总距离为：

$$S_7 = \frac{7}{2}[2 \times 5000 + (7 - 1) \times 200] = \frac{7}{2}(10000 + 1200) = \frac{7}{2} \times 11200 = 39200$$

因此，总距离为 $$39200$$ 米，选 A。

7. 三个女儿回娘家的周期分别为 5 天、4 天、3 天。在 200 天内：

- 小女儿回家次数：$$\left\lfloor \frac{200}{3} \right\rfloor = 66$$ 天（实际为 66 次，每次 1 天，共 66 天）。 - 二女儿回家次数：$$\left\lfloor \frac{200}{4} \right\rfloor = 50$$ 天。 - 大女儿回家次数：$$\left\lfloor \frac{200}{5} \right\rfloor = 40$$ 天。 - 有女儿在娘家的天数需计算容斥原理，但题目未明确要求具体值。

选项中仅 B（二女儿回家 52 天）最接近实际值，但严格计算应为 50 天，题目可能存在误差。

8. 塔的总数为 108 座，前四阶分别为 1, 3, 3, 5 座，第五阶开始构成等差数列，首项为 5，公差为 2。设总阶数为 $$n$$，则：

$$1 + 3 + 3 + 5 + S_{n-4} = 108$$ $$S_{n-4} = 96$$ $$S_{n-4} = \frac{n-4}{2}[2 \times 5 + (n-5) \times 2] = 96$$ $$\frac{n-4}{2}(10 + 2n - 10) = 96$$ $$(n-4)n = 96 \Rightarrow n^2 - 4n - 96 = 0 \Rightarrow n = 12$$

因此，塔的阶数为 12，选 C。

9. 甲的运动距离为等差数列求和，乙为匀速运动。第一次相遇时：

甲的运动距离：$$S_k = \frac{k}{2}[2 \times 2 + (k-1) \times 1] = \frac{k(k+3)}{2}$$ 乙的运动距离：$$5k$$ $$\frac{k(k+3)}{2} + 5k = 70 \Rightarrow k^2 + 13k - 140 = 0 \Rightarrow k = 7$$

第二次相遇时，总距离为 $$3 \times 70 = 210$$ 米。设总时间为 $$t$$ 分钟： $$\frac{t(t+3)}{2} + 5t = 210 \Rightarrow t^2 + 13t - 420 = 0 \Rightarrow t = 15$$

因此，第二次相遇在 15 分钟后，选 D。

10. 织布量构成等差数列，首项 $$a_1 = 5$$，公差为 $$d$$。总织布量为 9 匹 3 丈 = 390 尺：

$$S_{31} = \frac{31}{2}[2 \times 5 + 30d] = 390 \Rightarrow 5 + 15d = \frac{780}{31} \Rightarrow d = \frac{780/31 - 5}{15} = \frac{16}{31}$$

奇数项和偶数项的和分别为： $$S_{\text{奇}} = \frac{16}{2}[2 \times 5 + 15 \times \frac{32}{31}] = 8 \times \frac{310 + 480}{31} = \frac{8 \times 790}{31}$$ $$S_{\text{偶}} = \frac{15}{2}[2 \times (5 + \frac{16}{31}) + 14 \times \frac{32}{31}] = \frac{15}{2} \times \frac{310 + 16 + 448}{31} = \frac{15 \times 774}{62}$$ 比值化简后为 $$\frac{16}{15}$$。

因此，比值为 $$\frac{16}{15}$$，选 B。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}