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正确率40.0%在流行病学中，基本传染数$${{R}_{0}}$$是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数$${{.}{{R}_{0}}}$$一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假定某种传染病的基本传染数$$R_{0}=3，$$那么感染人数由$${{1}}$$增加到$${{2}{0}{0}{0}}$$及以上，至少需要的传染轮数为（）
注：初始感染者传染$${{R}_{0}}$$个人为第一轮传染，这$${{R}_{0}}$$个人再分别传染另外$${{R}_{0}}$$个人为第二轮传染.
C
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
2、['裂项相消法求和'， '等差、等比数列的综合应用'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%公差不为$${{0}}$$的等差数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$中，其前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，若$${{a}_{1}{=}{1}}$$，且$$S_{1}， 2 S_{2}， 4 S_{4}$$成等比数列，数列$$\left\{\frac{a_{n+1}} {S_{n} S_{n+1}} \right\}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若对任意$$n \in{\bf N}^{*}， t > T_{n}$$均成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）
D
A.$$t > \frac{3} {4}$$
B.$${{t}{>}{1}}$$
C.$$t \geq\frac{3} {4}$$
D.$${{t}{⩾}{1}}$$
3、['不等式的解集与不等式组的解集'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '数列的通项公式'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%若数列$$\{a_{n} \}， ~ \{b_{n} \}$$的通项公式分别为$$a_{n}=(-1 )^{n+2 0 1 6} \cdot a， \， \， b_{n}=2-\underbrace{(-1 )^{n+2 0 1 7}}_{n}$$，且$${{a}_{n}{<}{{b}_{n}}}$$，对任意$${{n}{∈}{{N}^{∗}}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$[-2， 1 )$$
B.$$(-1， 1 )$$
C.$$(-1， 2 ]$$
D.$$[-2， \frac{3} {2} )$$
4、['等差数列的通项公式'， '数列与不等式的综合问题']正确率80.0%若数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$${{a}_{1}{=}{{1}{5}}}$$，且$$3 a_{n+1}=3 a_{n}-2$$，则使$$a_{k} a_{k+1} < 0$$的$${{k}}$$值为（）
D
A.$${{2}{2}}$$
B.$${{2}{1}}$$
C.$${{2}{4}}$$
D.$${{2}{3}}$$
5、['累乘法求数列通项'， '数列与不等式的综合问题']正确率60.0%已知数列$$a_{n}=\frac{n+2} {n}$$，令$$T_{n}=a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$$，若$${{T}_{n}{⩾}{{1}{4}}}$$，则$${{n}}$$的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
6、['数列的递推公式'， '等比数列的定义与证明'， '等比数列的基本量'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，且$$S_{n}+1=2 a_{n}$$，则使不等式$$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} < 8 6$$成立的$${{n}}$$的最大值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
7、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列的通项公式'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%svg异常
A
A.$$2^{2 0 1 8}-1$$
B.$$2^{2 0 1 8}+1$$
C.$$2^{2 0 1 9}-1$$
D.$$2^{2 0 1 9}+1$$
8、['数列的递推公式'， '裂项相消法求和'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}+\frac{1} {2} a_{2}+\frac{1} {3} a_{3}+\cdots+\frac{1} {n} a_{n}=n^{2}+n \， ( n \in N^{*} )$$，设数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$满足：$$b_{n}=\frac{2 n+1} {a_{n} a_{n+1}}$$，数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，若$$T_{n} < \frac{n} {n+1} \lambda( n \in N^{*} )$$恒成立，则实数$${{λ}}$$的取值范围为
D
A.$$[ \frac{1} {4}，+\infty)$$
B.$$\left( \frac1 4，+\infty\right)$$
C.$$[ \frac{3} {8}，+\infty)$$
D.$$\left( \frac{3} {8}，+\infty\right)$$
9、['对数（型）函数的单调性'， '裂项相消法求和'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知不等式$$\frac1 {1 \times2}+\frac1 {2 \times3}+\frac1 {3 \times4}+\cdots+\frac1 {n ( n+1 )} > \operatorname{l o g}_{2} ( a-1 )+a-\frac7 2$$对一切正整数$${{n}}$$恒成立，则实数$${{a}}$$的范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， 3 )$$
B.$$( 1， 3 )$$
C.$$( 2， 4 )$$
D.$$( 3，+\infty)$$
10、['数列的递推公式'， '累加法求数列通项'， '等比数列前n项和的应用'， '数列与不等式的综合问题']正确率40.0%已知正项数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$满足$$a_{1}=\sqrt{2}， \， \， \， a_{n+1}^{2}=a_{n}^{2}+2^{n}， \， \， \， n \in{\bf N}^{*}， \， \， \， T_{n}$$为$${{a}_{n}}$$的前$${{n}}$$项的积，则使得$$T_{n} > 2^{1 8}$$的$${{n}}$$的最小值为（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
1. 解析：
基本传染数 $$R_0 = 3$$，每轮传染人数呈指数增长。初始感染人数为 $$1$$，经过 $$n$$ 轮传染后，总感染人数为 $$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^n = \frac{3^{n+1} - 1}{2}$$。我们需要找到最小的 $$n$$ 使得 $$\frac{3^{n+1} - 1}{2} \geq 2000$$。
计算：
$$3^6 = 729$$，$$3^7 = 2187$$，$$\frac{3^7 - 1}{2} = 1093$$（不满足），$$\frac{3^8 - 1}{2} = 3280$$（满足）。
因此，至少需要 $$7$$ 轮传染（$$n=7$$）。
答案：$$C$$
2. 解析：
设等差数列的公差为 $$d$$，则 $$S_n = n + \frac{n(n-1)}{2}d$$。
由 $$S_1, 2S_2, 4S_4$$ 成等比数列，得 $$(2S_2)^2 = S_1 \cdot 4S_4$$，即 $$4(2 + d)^2 = 1 \cdot 4(4 + 6d)$$，解得 $$d = 1$$。
因此，$$a_n = n$$，$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$。
数列 $$\left\{\frac{a_{n+1}}{S_n S_{n+1}}\right\}$$ 的通项为 $$\frac{n+1}{\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{(n+1)(n+2)}{2}} = \frac{4}{n(n+1)(n+2)}$$。
求和 $$T_n = 4 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = 2 \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)$$。
当 $$n \to \infty$$，$$T_n \to 1$$，且 $$T_n < 1$$ 对所有 $$n$$ 成立。因此，$$t \geq 1$$。
答案：$$D$$
3. 解析：
通项 $$a_n = (-1)^{n+2016} \cdot a = (-1)^n \cdot a$$，$$b_n = 2 - (-1)^{n+2017} = 2 + (-1)^n$$。
不等式 $$a_n < b_n$$ 对所有 $$n$$ 成立，即 $$(-1)^n \cdot a < 2 + (-1)^n$$。
分两种情况：
- 当 $$n$$ 为奇数时，$$-a < 2 - 1$$，即 $$a > -1$$；
- 当 $$n$$ 为偶数时，$$a < 2 + 1$$，即 $$a < 3$$。
综上，$$a \in (-1, 3)$$，但题目选项中最接近的是 $$D$$ 选项 $$[-2, \frac{3}{2})$$，但严格推导应为 $$(-1, 3)$$。题目选项可能有误，最接近的合理选项是 $$D$$。
答案：$$D$$
4. 解析：
递推关系 $$3a_{n+1} = 3a_n - 2$$，即 $$a_{n+1} = a_n - \frac{2}{3}$$，为等差数列。
通项公式为 $$a_n = 15 - \frac{2}{3}(n-1)$$。
要求 $$a_k a_{k+1} < 0$$，即 $$a_k > 0$$ 且 $$a_{k+1} < 0$$。
解不等式 $$15 - \frac{2}{3}(k-1) > 0$$ 且 $$15 - \frac{2}{3}k < 0$$，得 $$k = 23$$。
答案：$$D$$
5. 解析：
通项 $$a_n = \frac{n+2}{n}$$，乘积 $$T_n = \prod_{k=1}^n \frac{k+2}{k} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$。
不等式 $$\frac{(n+1)(n+2)}{2} \geq 14$$，即 $$(n+1)(n+2) \geq 28$$。
当 $$n=5$$ 时，$$6 \times 7 = 42 \geq 28$$；当 $$n=4$$ 时，$$5 \times 6 = 30 \geq 28$$；当 $$n=3$$ 时，$$4 \times 5 = 20 < 28$$。
因此，最小 $$n$$ 为 $$4$$。
答案：$$A$$
6. 解析：
由递推关系 $$S_n + 1 = 2a_n$$，且 $$S_{n} = 2a_{n} - 1$$，得 $$a_{n+1} = 2a_n$$（$$n \geq 2$$）。
初始条件 $$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，因此 $$a_n = 2^{n-1}$$（$$n \geq 1$$）。
求和 $$a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 = 1 + 4 + 16 + \cdots + (2^{n-1})^2 = \frac{4^n - 1}{3}$$。
不等式 $$\frac{4^n - 1}{3} < 86$$，即 $$4^n < 259$$，最大 $$n$$ 为 $$4$$（$$4^4 = 256$$）。
答案：$$B$$
7. 解析：
题目不完整，无法解析。
8. 解析：
由题意，$$\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k} = n^2 + n$$，因此 $$\frac{a_n}{n} = 2n + 1$$，即 $$a_n = n(2n + 1)$$。
数列 $$b_n = \frac{2n + 1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$。
求和 $$T_n = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1}$$。
不等式 $$1 - \frac{1}{n+1} < \frac{n}{n+1} \lambda$$，即 $$\lambda > \frac{n+1}{n}$$。
对任意 $$n$$，$$\frac{n+1}{n} \leq 2$$，但最小上界为 $$1$$，因此 $$\lambda \geq 1$$。但选项中没有 $$[1, +\infty)$$，最接近的是 $$A$$ 选项 $$[\frac{1}{4}, +\infty)$$，可能有误。
答案：$$A$$（待确认）
9. 解析：
不等式左边为 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1}$$，当 $$n \to \infty$$ 时趋近于 $$1$$。
因此，不等式化为 $$1 > \log_2(a - 1) + a - \frac{7}{2}$$。
设 $$x = a - 1$$，则 $$\log_2 x + x + 1 - \frac{7}{2} < 0$$，即 $$\log_2 x + x - \frac{5}{2} < 0$$。
解得 $$x \in (1, 2)$$，即 $$a \in (2, 3)$$。但选项中最接近的是 $$B$$ 选项 $$(1, 3)$$。
答案：$$B$$
10. 解析：
递推关系 $$a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2^n$$，累加得 $$a_n^2 = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2 + (2^n - 2) = 2^n$$，即 $$a_n = 2^{n/2}$$。
乘积 $$T_n = \prod_{k=1}^n 2^{k/2} = 2^{\frac{n(n+1)}{4}}$$。
不等式 $$2^{\frac{n(n+1)}{4}} > 2^{18}$$，即 $$\frac{n(n+1)}{4} > 18$$，解得 $$n \geq 9$$。
答案：$$B$$