并项求和法-4.4 ⋆数学归纳法知识点考前进阶自测题解析-陕西省等高二数学选择必修,平均正确率44.00000000000001%

第一题：已知函数$$f(x)=x^{2} \cos \pi x$$，数列$$\{a_{n}\}$$满足$$a_{n}=f(n)+f(n+1) (n \in \mathbf{N}^{*})$$，设$$S_{n}$$为$$\{a_{n}\}$$的前$$n$$项和，则$$S_{2n}=$$（ ）。

解析：计算$$a_{n}=n^{2} \cos \pi n + (n+1)^{2} \cos \pi (n+1)$$。

注意$$\cos \pi n = (-1)^{n}$$，$$\cos \pi (n+1) = (-1)^{n+1}$$。

所以$$a_{n}=(-1)^{n} n^{2} + (-1)^{n+1} (n+1)^{2} = (-1)^{n} [n^{2} - (n+1)^{2}] = (-1)^{n} (-2n-1) = (-1)^{n+1} (2n+1)$$。

因此$$a_{n}=(-1)^{n+1}(2n+1)$$。

前$$2n$$项和：$$S_{2n}=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}(2k+1)$$。

分组：奇数项$$k=2m-1$$：$$(-1)^{2m}(4m-1)=4m-1$$；偶数项$$k=2m$$：$$(-1)^{2m+1}(4m+1)=-(4m+1)$$。

所以$$S_{2n}=\sum_{m=1}^{n} [(4m-1) - (4m+1)] = \sum_{m=1}^{n} (-2) = -2n$$。

答案：D.$$-2n$$

第二题：已知数列$$\{a_{n}\}$$的通项公式为$$a_{n}=(-1)^{n-1} \cdot \frac{2n+1}{n^{2}+n} (n \in \mathbf{N}^{*})$$，则前$$2020$$项和为（ ）。

解析：注意$$\frac{2n+1}{n^{2}+n} = \frac{(n+1)+n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$$。

所以$$a_{n}=(-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right)$$。

前$$2020$$项和：$$S_{2020}=\sum_{k=1}^{2020} (-1)^{k-1} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \right)$$。

展开：$$S_{2020}=\sum_{k=1}^{2020} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \sum_{k=1}^{2020} \frac{(-1)^{k-1}}{k+1}$$。

调整第二项下标：令$$j=k+1$$，则$$\sum_{k=1}^{2020} \frac{(-1)^{k-1}}{k+1} = \sum_{j=2}^{2021} \frac{(-1)^{j-2}}{j} = \sum_{j=2}^{2021} \frac{(-1)^{j}}{j}$$（因为$$(-1)^{j-2}=(-1)^{j}$$）。

所以$$S_{2020}=\sum_{k=1}^{2020} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \sum_{j=2}^{2021} \frac{(-1)^{j}}{j} = 1 + \sum_{k=2}^{2020} \frac{(-1)^{k-1}}{k} + \sum_{k=2}^{2020} \frac{(-1)^{k}}{k} + \frac{(-1)^{2021}}{2021}$$。

注意$$\frac{(-1)^{k-1}}{k} + \frac{(-1)^{k}}{k} = 0$$，且$$(-1)^{2021}=-1$$。

所以$$S_{2020}=1 + 0 + \left( -\frac{1}{2021} \right) = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}$$。

答案：C.$$\frac{2020}{2021}$$

第三题：已知数列$$\{a_{n}\}$$满足$$a_{1}=1$$，$$\sqrt{a_{n-1}} - \sqrt{a_{n}} = \frac{\sqrt{a_{n-1}}}{n} (n \geq 2)$$，且$$a_{n} b_{n} = \cos \frac{2n\pi}{3} (n \in \mathbf{N}^{*})$$，求$$\{b_{n}\}$$的前$$18$$项和。

解析：由递推式：$$\sqrt{a_{n-1}} - \sqrt{a_{n}} = \frac{\sqrt{a_{n-1}}}{n}$$，整理得$$\sqrt{a_{n}} = \sqrt{a_{n-1}} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \sqrt{a_{n-1}} \cdot \frac{n-1}{n}$$。

迭代：$$\sqrt{a_{n}} = \sqrt{a_{1}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{n-1}{n} = 1 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n}$$，所以$$a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$$。

由$$a_{n} b_{n} = \cos \frac{2n\pi}{3}$$，得$$b_{n} = n^{2} \cos \frac{2n\pi}{3}$$。

前$$18$$项和：$$S=\sum_{k=1}^{18} k^{2} \cos \frac{2k\pi}{3}$$。

注意$$\cos \frac{2k\pi}{3}$$的周期为3：$$k=1: \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$；$$k=2: \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$；$$k=3: \cos 2\pi = 1$$；以此循环。

每3项一组：$$k=3m-2$$：$$\cos \frac{2(3m-2)\pi}{3} = \cos \left(2m\pi - \frac{4\pi}{3}\right) = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$；

$$k=3m-1$$：$$\cos \frac{2(3m-1)\pi}{3} = \cos \left(2m\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$；

$$k=3m$$：$$\cos \frac{6m\pi}{3} = \cos 2m\pi = 1$$。

所以每组和：$$\sum_{j=1}^{3} [ (3m-2)^{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + (3m-1)^{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + (3m)^{2} \cdot 1 ]$$。

计算：$$= -\frac{1}{2}[(3m-2)^{2}+(3m-1)^{2}] + 9m^{2}$$。

展开：$$(3m-2)^{2}+(3m-1)^{2}=9m^{2}-12m+4+9m^{2}-6m+1=18m^{2}-18m+5$$。

所以每组和：$$-\frac{1}{2}(18m^{2}-18m+5) + 9m^{2} = -9m^{2}+9m-\frac{5}{2}+9m^{2}=9m-\frac{5}{2}$$。

共6组（$$m=1$$到$$6$$），所以$$S=\sum_{m=1}^{6} \left(9m - \frac{5}{2}\right) = 9 \sum_{m=1}^{6} m - 6 \cdot \frac{5}{2} = 9 \cdot 21 - 15 = 189 - 15 = 174$$。

答案：B.$$174$$

第四题：数列$$\{a_{n}\}$$的通项公式是$$a_{n}=(-1)^{n}(3n-1)$$，前$$n$$项和为$$S_{n}$$，求$$S_{11}$$。

解析：$$a_{n}=(-1)^{n}(3n-1)$$。

前11项：$$S_{11}=\sum_{k=1}^{11} (-1)^{k}(3k-1)$$。

分组：奇数项$$k=2m-1$$：$$(-1)^{2m-1}(6m-4)=-(6m-4)$$；偶数项$$k=2m$$：$$(-1)^{2m}(6m-1)=6m-1$$。

$$m$$从1到5（因为$$2*5=10$$，第11项单独）。

所以$$S_{11}=\sum_{m=1}^{5} [-(6m-4) + (6m-1)] + a_{11}$$。

计算括号内：$$-(6m-4)+(6m-1)=3$$。

所以$$\sum_{m=1}^{5} 3 = 15$$。

$$a_{11}=(-1)^{11}(33-1)=(-1)*32=-32$$。

所以$$S_{11}=15 + (-32) = -17$$。

答案：D.$$-17$$

第五题：已知数列$$\{a_{n}\}$$是等差数列，$$a_{1}=1$$，$$a_{5}=13$$，设$$S_{n}$$为数列$$\{(-1)^{n} a_{n}\}$$的前$$n$$项和，求$$S_{2018}$$。

解析：公差$$d$$：$$a_{5}=a_{1}+4d=1+4d=13$$，所以$$d=3$$。

通项：$$a_{n}=1+3(n-1)=3n-2$$。

所以$$(-1)^{n} a_{n} = (-1)^{n}(3n-2)$$。

前2018项和：$$S_{2018}=\sum_{k=1}^{2018} (-1)^{k}(3k-2)$$。

分组：每2项一组，共1009组。

第$$m$$组：$$k=2m-1$$和$$k=2m$$。

和：$$(-1)^{2m-1}(6m-5) + (-1)^{2m}(6m-2) = -(6m-5) + (6m-2) = 3$$。

所以$$S_{2018}=1009 \times 3 = 3027$$。

答案：C.$$3027$$

第六题：svg异常，无法解析，跳过。

第七题：已知数列$$\{a_{n}\}$$的首项为$$2$$，且满足$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+1}{a_{n}-1}$$，求前$$2016$$项和$$S_{2016}$$。

解析：计算前几项：$$a_{1}=2$$；

$$a_{2}=\frac{2+1}{2-1}=3$$；

$$a_{3}=\frac{3+1}{3-1}=2$$；

$$a_{4}=\frac{2+1}{2-1}=3$$；

可见周期为2：$$a_{2k-1}=2$$，$$a_{2k}=3$$。

所以前2016项中，1008个2和1008个3。

和：$$S_{2016}=1008 \times 2 + 1008 \times 3 = 1008 \times 5 = 5040$$。

答案：C.$$5040$$

第八题：数列$$\{a_{n}\}$$中，$$a_{n+1}+(-1)^{n} a_{n}=2n-1$$，求前40项和。

解析：写出递推式：

当$$n$$为奇数：$$a_{n+1} - a_{n} = 2n-1$$；

当$$n$$为偶数：$$a_{n+1} + a_{n} = 2n-1$$。

计算前几项：设$$a_{1}=c$$（未知）。

$$n=1$$（奇）：$$a_{2} - a_{1} = 1$$，所以$$a_{2}=c+1$$；

$$n=2$$（偶）：$$a_{3} + a_{2} = 3$$，所以$$a_{3}=3 - (c+1)=2-c$$；

$$n=3$$（奇）：$$a_{4} - a_{3} = 5$$，所以$$a_{4}=5+(2-c)=7-c$$；

$$n=4$$（偶）：$$a_{5} + a_{4} = 7$$，所以$$a_{5}=7 - (7-c)=c$$；

可见周期为4：$$a_{1}=c$$，$$a_{2}=c+1$$，$$a_{3}=2-c$$，$$a_{4}=7-c$$，$$a_{5}=c$$，...。

前40项和：10个周期，每个周期和：$$c + (c+1) + (2-c) + (7-c) = 10$$。

所以$$S_{40}=10 \times 10 = 100$$？但选项无100，检查。

实际上：$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=c+(c+1)+(2-c)+(7-c)=10$$。

但$$a_{5}=c=a_{1}$$，所以确实周期4。

但选项有820,800,840,860，可能初始值影响？实际上和与$$c$$无关，恒为10每周期。

所以$$S_{40}=10 \times 10 = 100$$，但无此选项，可能误。

重新考虑：可能不是简单周期，需累加。

由递推：$$a_{n+1} = 2n-1 - (-1)^{n} a_{n}$$。

前40项和：$$S_{40}=\sum_{k=1}^{40} a_{k}$$。

也写出$$a_{n+1}+(-1)^{n}a_{n}=2n-1$$。

对$$n$$从1到40求和？但右边已知。

实际上，考虑奇偶分组：

令$$n=2m-1$$：$$a_{2m} - a_{2m-1} = 4m-3$$；

$$n=2m$$：$$a_{2m+1} + a_{2m} = 4m-1$$。

对$$m$$从1到20求和（因40项）：

$$\sum_{m=1}^{20} (a_{2m} - a_{2m-1}) = \sum_{m=1}^{20} (4m-3) = 4 \sum m - 60 = 4*210 - 60=840-60=780$$；

$$\sum_{m=1}^{20} (a_{2m+1} + a_{2m}) = \sum_{m=1}^{20} (4m-1) = 4*210 -20=840-20=820$$。

注意$$\sum_{m=1}^{20} a_{2m+1} = S_{奇} - a_{1} + a_{41}$$？但只到40。

实际上，第二和包括$$a_{3}+a_{2}+a_{5}+a_{4}+...+a_{41}+a_{40}$$，但$$a_{41}$$超出。

所以只用到$$m=19$$？复杂。

更直接：计算$$S_{40}=a_{1}+...+a_{40}$$。

由上面两式相加：$$(a_{2m} - a_{2m-1}) + (a_{2m+1} + a_{2m}) = a_{2m+1} - a_{2m-1} + 2a_{2m} = (4 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}